14.1. A kombinatív képességek, a fő kérdések, a problémák szintjei
A gondolkodási kulcskompetencia működése során meglevő tudásból módosult új tudás keletkezik. Megjelenési formái:
Konvertáló képesség: a meglevő tudás formai átalakítása kódolással, azaz más jelrendszerbe való váltás, például lerajzolás.
Rendszerező képesség: a dolgok közti viszonyok felismerése, és ez alapján a dolgok rendezése.
Kombináló képesség: feltételeknek megfelelő lehetőségek létrehozása, számbavétele.
Prediktív képesség: valószínűségi következtetés, becslés, magyarázat, indoklás. (Nagy, 2007, p. 39)
Az elemi kombinatív képességet szenzomotoros szinten 4-8 éves gyermekek körében vizsgálták, és megállapították, hogy már az óvodás korban érdemes elkezdeni a gyermekek ilyen irányú fejlesztését, hiszen a gyerekek között nagy különbségeket találtak, amelyek oka valószínűsíthetően az óvodai fejlesztés. (Hajduné, 2007)
A rendszerező képességgel korábban a halmazképzésnél már foglalkoztunk, amikor a dolgokat egy vagy több tulajdonságuk alapján csoportosítottuk. A következőkben a kombinálás eszközeként alkalmazzuk.
A kombinálás során feltételeknek megfelelő elemekből álló véges halmaz elemeit, elemszámát kell meghatározni. A közhiedelemmel ellentétben nem az a kérdés, hogy permutációról, kombinációról vagy variációról van szó. A halmaz elemeinek számbevételekor a két fontos kérdés az, hogy
- különböző elemeket vettünk-e számba;
- minden elemet számba vettünk-e.
A kombinatorikai problémák szintjei:
1. Egy vagy több feltételnek megfelelő elemek megadása (4-5 évtől).
Előbb egy elem alkotása a feladat, majd fokozatosan ki kell alakítani az igényt arra, hogy ha a feltételeknek több elem is megfelel, akkor keressünk több elemet. Itt lényeges a feltételeknek megfelelő elemek megkülönböztetése. Ehhez a gyerekeknek gyakorolniuk kell a különbségek, azonosságok felismerését. A kombinatorika feladatok megfogalmazásának nagy problémája annak leírása, hogy mikor tekintünk két esetet azonosnak, és mikor különbözőnek. Sokszor előfordul, hogy ennek megértése a legnehezebb, ezért feltétlenül szükséges a példa, a szóbeli magyarázat még az iskolai feladatok esetén is. A gyerekeknek kezdetben egy feltételnek megfelelő alkotásokat kell létrehozni, majd két, három feltételt is megadhatunk egyszerre. A feltételek számának növelése nagyban nehezíti a probléma megoldását. Figyelni kell az életkori sajátosságokra, mikortól képesek a gyerekek több szempont egyidejű figyelembe vételére, ami egyébként függ a tartalomtól és annak reprezentációjától is. Például a gyerekekhez közel álló, ismerős tartalom megkönnyíti a több feltételnek megfelelő alkotást, ahogy az is, ha ezek az alkotások manuálisan kirakható konkrét tárgyak. Fontos, hogy csak olyan eszközt alkalmazzunk, amellyel az összes elem egyidejűleg kirakható.
Az iskola alsóbb osztályaiban egyszerű problémák esetén már felmerül az igénye annak, hogy a feltételeknek megfelelő összes elemet megtaláljuk előbb kirakással, később ábrázolással. Az elemek ötletszerű felsorolása után fokozatosan jutunk a rendszerezéshez. A gyerekek előbb részrendszereket alkotnak, például egy tulajdonságot rögzítenek az egyik szempont szerint, és csak a másik szempont szerint változtatják a tulajdonságokat, de ezt a stratégiát még nem tudják végigvinni az egész probléma megoldásán.
Az összes lehetőség felsorolását játszhatjuk úgy, hogy a játékosok körben haladva egy-egy új lehetőséget raknak ki a feltételeknek megfelelően. Akinek ez sikerül, kap egy zsetont, aki olyat rak, ami már szerepelt, az visszaad egy zsetont, aki nem tud rakni, passzol, nem nyer, és nem veszít zsetont. A játék vége felé annak megállapítása, hogy már nincs több lehetőség igényli a rendszerezést, amit a játékosok közösen végezhetnek el.
3. Rendszerezés az összes elem megtalálásához (9-10 évtől).
A feltételeknek megfelelő elemek felsorolása már rendszerben történik, de még minden elemet felsorolunk. A rendszerezésnek különböző stratégiái lehetnek. Előfordul a szisztematikus cserélgetés, de általában hatékonyabb az a stratégia, amikor az egyik feltételnek megfelelően egy tulajdonságot rögzítünk, és a többi feltételnek megfelelő tulajdonságokat változtatjuk. Fontos, hogy ezt a stratégiát következetesen végig tudják vinni a gyerekek, egy tulajdonság rögzítése után ugyanannak a feltételnek megfelelő másik tulajdonságot rögzítsenek, ne térjenek át a másik feltétel szerinti tulajdonság rögzítésére. A rendszerezés eszközei a táblázatba rendezés valamint az ágrajz.
4. Szimbolikus módszerek az összes elem számának meghatározására (12-13 év).
Ezen a szinten már nem fontos az összes elem felsorolása. Általában egy felismert rendszer egy részének megadása segít abban, hogy a gyerekek a szabályosság alapján a további elemek számát már felsorolás nélkül is ki tudják számolni műveletsorral. Gyakori hiba, hogy a túl korai alkalmazása a szorzásoknak, összeadásoknak odavezet, hogy a gyerekek hamis szabályosságot feltételezve számolnak.
A tipikus módszerek:
- szorzási szabály,
- összeadási szabály, (ezek a műveletek fogalmát is segítenek elmélyíteni).
- a probléma átfogalmazása, konvertálása más reprezentációba (doboz módszer, +/- módszer), amely már ismert probléma megoldását jelenti.
- komplementerre áttérés: jó elemek száma = összes elem száma – rossz elemek száma. (Több feltétel esetén hasznos stratégia lehet, ha kezdetben az egy feltételnek megfelelő összes elemet keressük meg, és a többi feltételnek is megfelelő jó elemeket végül az összes és a többi feltételnek nem megfelelő, rossz elemek számának különbségeként kapjuk.)
5. Modellek alkalmazása, alkotása (16 évtől).
A leggyakoribb modellek a permutáció, variáció és kombináció ismétlés nélkül és ismétléssel. Az iskolai kombinatorika tanítás legfőbb problémája, hogy gyakran előkészítés nélkül és túl korán erre a szintre ugranak, ezzel megfosztva a tanulókat az absztrakció folyamatának végigjárásától, amikor a konkrét tárgyi, majd képi tapasztalatok alapján fokozatosan maguk alkothatják meg ezeket a modelleket. Így a modell nem csupán üres képlet lesz számukra, felismerik a modelleket a különböző kontextusokban is, valamint tudnak alkalmazkodni az alapmodell változtatásaihoz.
A kombinatorika feladatok nehézségét nagyban befolyásolja, egyrészt a feltételeknek megfelelő elemek száma, másrészt a feltételek száma. Gyakran ugyanaz a feladat kirakással óvodásoknak is megfelelő probléma, kis elemszámmal 8 évesek már megtalálják az összes esetet, majd az elemszám növelésével a feladat már nem lesz kirakható, így szimbolikus módszert vagy modellt igényel, csak magasabb osztályokban alkalmazható.