6.3. Nulla és 1 a szorzatban, a szorzás tulajdonságai.

Ha a szorzó 1-nél nagyobb természetes szám, akkor ismételt összeadással megkapjuk a szorzatot, akkor is, ha a szorzandó 0 vagy 1.

Az előző értelmezés nem vonatkozik arra az esetre, amikor a szorzó 0 vagy 1, mert az összeadás kétváltozós művelet.

Megállapodunk abban, hogy minden szám 1-szerese önmaga, 0-szorosa pedig 0.

Fontos, hogy a műveletek tulajdonságaira ne néhány számpéldából következtessünk, hanem dolgok kétféleképpen való összeszámlálásával, ahogyan az alábbi példában is látható.

A szorzásban a tényezők felcserélhetőségét egy emeletes ház ablakainak összeszámlálásával mutatjuk meg. 

A ház ablakait összeszámolhatjuk emeletenként: 2 + 2 + 2 = 3 · 2.

Összeszámolhatjuk lépcsőházanként: 3 + 3 = 2 · 3.

A kétféle számolási mód ugyanazt az eredményt adja, tehát 3 · 2 = 2 · 3.

A szorzás asszociativitását téglatestet alkotó kiskockák számának összeszámlálásával mutatjuk meg. A téglatest egy csúcsban összefutó élei 2, 3 és 4 egység hosszúak. A 3x4-es lapjára állítva az alsó rétegben 3 · 4 kiskocka van, 2 ilyen réteg van, ezért a kiskockák száma: 2 · (3 · 4). Ha a téglatestet 1x1x4-es rudakra vágva képzeljük el, akkor a 2x3-as lap minden kis négyzetéből indul egy ilyen rúd, így 2 · 3 rúd van, amiből azt kapjuk, hogy a kiskockák száma (2 · 3) · 4.

A kétféle számolási mód ugyanazt az eredményt adja, tehát 2 · (3 · 4) = (2 · 3) · 4.

Az asszociativitás praktikus számolásra ad alkalmat, például: 2 · (5 · 7) = (2 · 5) · 7 = 10 · 7

A szorzás disztributívitását az összeadásra nézve egy téglalapot alkotó négyzetek összeszámlálásával mutatjuk meg.

A téglalap (2 + 3) · 4 négyzetből áll. Ha külön számoljuk a felső és az alsó téglalapban szereplő négyzeteket, akkor 2 · 4 + 3 · 4-et kapunk. A kétféle számolási mód ugyanazt az eredményt adja, tehát (2 + 3) · 4 = 2 · 4 + 3 · 4.

A disztributivitás miatt szorozhatunk kétjegyű számokat fejben a következőképpen: 3 · 27 = 3 · (20 + 7) = 3 · 20 + 3 · 7

Műveleti sorrend

A kéttagú műveletek tagjait mindig zárójelbe kellene tenni. Ahhoz, hogy ne kelljen olyan sok zárójelet írni, megállapodás szerint a szorzás és osztás műveletek tagjait nem feltétlenül kell zárójelbe tenni. A műveleteket balról jobbra haladva végezzük el, először a zárójelben levő műveleteket, majd a szorzásokat, osztásokat balról jobbra, végül az összeadásokat, kivonásokat balról jobbra haladva.

(5 – 3) · 4 – 3 · 2 = 2 · 4 – 6 = 8 – 6 = 2.