dr. Szilassi Lajos:
A hiperbolikus geometria Poincaré - féle körmodellje

  Háttérismeretek a BOLYAI.EXE számítógépi programhoz 

Az általános és középiskolai geometria oktatásunk teljes egészében az euklideszi geometriára épül. Tanítványaink  jobb esetben  hallanak ugyan valamit Bolyai János munkásságáról, azonban a Bolyai - geometria, vagy általában a nem euklideszi geometriák témaköre távoli misztikumnak tűnik a legtöbb gimnazista, sőt még a felsőbb matematikát tanulók jelentős része számára is.
Mindez talán azért van így, mert   mivel precíz axiomatikus tárgyalásra  nyilvánvalóan nem kerülhet sor  még azokat az absztrakciós lehetőségeket sem használjuk ki, amelyek pedig szinte kézenfekvően kínálják magukat. Az idegenkedés oka lehet az is, hogy nem tartjuk kellően szemléletesnek a problémát ahhoz, hogy foglalkozzunk vele. A BOLYAI.EXE számítógépi program célja ennek az idegenkedésnek az oldása. 
A program használata csak a legalapvetőbb számítástecnikai ismereteket igényli: elindítása után minden lépéshez részletes segítséget nyújtanak a menüpontokhoz rendelt HELP funkciók. A program hardware igénye is minimális, bármely IBM kompatibilis PC -n futtatható, bár igényli a  színes (legalább EGA felbontású) képernyőt. Lassúbb gépen néha várni kell egy-egy rajz elkészültére.
A program használatához azonban szükséges, hogy a felhasználó rendelkezzék némi ismerettel a hiperbolikus geometria témaköréből. Ez a leírás azon érdeklődő, de a témával csak most ismerkedő felhasználók számára készült, akik eddig nem foglalkoztak a hiperbolikus geometriával, vagy fel szeretnék eleveníteni az ezzel kapcsolatos ismereteiket. Így e leírás csak a középiskolai ismeretekre támaszkodva bevezeti a hiperbolikus geometria legalapvetőbb fogalmait, azonban ezt szinte csak az ismeretterjesztés szintjén teszi. Sem a programnak, sem ennek a leírásnak nem feladata, hogy a nem euklideszi geometriákról átfogó ismereteket nyújtson, mindössze egy szemléletes képeskönyv szintjén próbál kedvet teremteni a téma elmélyültebb, matematikai igényességet feltételező megismeréséhez. Ehhez bőséges irodalom áll a téma iránt érdeklődők rendelkezésére.

Az abszolút, az euklideszi, és a hiperbolikus geometria kapcsolata

A geometria bármely axiomatikus  vagy többé-kevésbé axiomatikus felépítése során kimondott axiómákat az alábbi csoportokra oszthatjuk:
	 illeszkedési axiómák;
	 rendezési axiómák;
	 egybevágósági axiómák;
	 folytonossági (mérési) axiómák;
	 párhuzamossági axióma.
Az első négy axiómacsoportra, az ún. maradék axiómarendszerre épül a  Bolyai János szóhasználatával élve  abszolút geometria, amely semmilyen formában nem tartalmazza a párhuzamossági axiómát. Attól függően, hogy a felmerülő lehetőségek közül melyiket választjuk párhuzamossági axiómaként, az euklideszi vagy a Bolyai - Lobacsevszkij - féle ún. hiperbolikus geometriát építhetjük tovább. 
A továbbiakban, amikor különböző kijelentéseket (axiómákat, definíciókat, tételeket) fogalmazunk meg, vagy fogalmakat vezetünk be, jó lenne határozottan kiemelnünk, hogy egy kijelentés az abszolút geometria körébe tartozik-e, vagy csak az euklideszi, ill. a hiperbolikus geometriában érvényes. Ezért az abszolút geometriai kijelentéseinket normál betűtípussal, szaggatott vonalú keretbe, az euklideszit aláhúzva, folytonos keretbe, a hiperbolikus geometriában érvényeseket dőlt   betűtípussal, kettős keretbe foglalva fogjuk írni. Íme a három kategória három - vizsgálataink szempontjából kulcsfontosságú - kijelentése:
A maradék axiómarendszerrel bizonyítható, hogy a sík egy adott egyenesére merőleges egyenesek nem metszik egymást, így vannak egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek. Nevezzünk párhuzamosnak két egyenest, ha egy síkban vannak és nem metszők. 
Ha adott egy egyenes, és egy rá nem illeszkedő pont, akkor a pont és egyenes síkjában az adott ponton át az adott egyenessel legalább egy párhuzamos húzható.
Egy adott egyeneshez és a rá nem illeszkedő ponthoz a pont és egyenes síkjának legfeljebb egy  olyan egyenese tartozik, amely az adott egyenest nem metszi.
Egy adott egyeneshez és a rá nem illeszkedő ponthoz a pont és egyenes síkjának legalább két olyan egyenese tartozik, amely az adott egyenest nem metszi.
A két utóbbi kijelentés az euklideszi, ill. a hiperbolikus geometria párhuzamossági axiómája, melyek egymás tagadásai. Az abszolút geometria axiómarendszerén belüli eszközökkel ugyanis nem dönthető el, hogy hány ilyen, adott egyenessel párhuzamos egyenes illeszthető a sík egy adott pontjára. Bolyai János zsenialitása kellett ahhoz, hogy erre a megállapításra jussunk. Így a kérdést egy újabb axióma bevezetése oldhatta csak fel, amely azonban kétfelé ágaztatta az addig egységes geometriai rendszert.
A párhuzamosság kérdésére adhatunk olyan választ is, miszerint nincsenek egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek, ez azonban ellentmond a maradék axiómarendszernek. Arra a kijelentésre, hogy bármely két egy síkban fekvő egyenes metsző, felépíthető az ún. elliptikus geometria. Ehhez azonban módosítanunk kell a maradék axiómarendszerünket. Az elliptikus geometriában pl. az egyenes zárt vonal, így nem értelmezhető a félegyenes, a szakasz, a tengelyes  tükrözés stb.  fogalma. 
A hiperbolikus síkgeometria szemléltetésére és relatív ellentmodás-mentességének az igazolására készültek a hiperbolikus sík euklideszi modelljei, melyek közül a két legismertebb a Cayley - Klein - féle ill. a Poincaré - féle körmodell. Ezek a modellek arra is alkalmasak, hogy segítségükkel az abszolút geometria fogalmait, tételeit kissé más megvilágításba helyezzük azzal, hogy a szokásostól eltérő módon fogjuk őket szemléltetni. 
Egy ilyen modell megismerése előtt érdemes elgondolkodnunk azon, hogy mit is jelent valójában a szemléltetés, vagy modellezés. Tekintsünk pl. egy magyarázkodást nem igénylő matematikai fogalmat, a kör fogalmát. Amikor a papírra, képernyőre, vagy akár a homokba rajzolunk valamit, amire azt mondjuk, hogy ez egy kör, akkor lényegében modelleztük a tudatunkban absztrakciók sorozatával kiépített fogalmat. Az sem számít, ha ez a kör inkább egy krumplira hasonlít, lényeg az, hogy miközben a rajzot nézzük, a modellezett  fogalomra, a körre gondoljunk. A modellel szemben támasztott egyetlen követelmény, hogy a vizsgált jelenség szempontjából ugyanazokat a tulajdonságokat tükrözze, mint amelyeket maga a vizsgálat tárgya, vagy jelen esetben a vizsgált fogalom. Ha a megszokottól eltérő modellel szemléltetünk egy fogalmat, amely azonban ugyancsak jól tükrözi  a vizsgált  absztrakt  tulajdonságokat, akkor joggal számíthatunk arra, hogy ezzel jobban sikerül megismernünk a vizsgált fogalom lényegéből (és nem a rajzolt modellből) adódó tulajdonságokat. Például, ha azt a kijelentést  tételt  akarjuk szemléltetni, miszerint ha egy háromszögnek van két egyenlő oldala, akkor van két egyenlő szöge is, akkor ehhez - az euklideszi geometria szokásos szemléltetési lehetőségein belül - nem tudunk olyan rajzot  készíteni, amely az egyik tulajdonságot jól tükrözi, a másikat kevésbé. Már ezért is érdemes egy a szokásostól eltérő modellezési lehetőséggel megismerkednünk. Így ugyanis világosabbá válhat a kapcsolat az axiomatikus felépítéssel kiépített és a szemléletünk alapján elfogadott, ill. elfogadható geometriai összefüggések között.  
A nem-euklideszi geometriák szemléletessé tétele összetettebb feladat.  Ha pl. a síkot  mint fogalmat  egy körlappal modellezzük, magát a kört pedig egy a papírra, vagy jelen esetben a képernyőre rajzolt ábrával, akkor ebből az ábrából egy kettős absztrakció révén jutunk el magáig a vizsgált fogalomig. Reméljük, hogy ez a kettősség nem fogja zavarni a program felhasználóit.
A hiperbolikus geometria euklideszi modelljei közül most a Poincaré - féle körmodellel  a továbbiakban P-modell  foglalkozunk, amelyben a szög metrikája a közismert euklídeszi  és egyúttal hiperbolikus geometriai  metrika. A P-modellnek ez az ún. szögtartó tulajdonsága az, amely talán személetesebbé teszi a többi modellnél.
A modell bevezetéséhez meg kell először ismerkednünk egy a középiskolában nem tárgyalt, de a középiskolai ismeretekkel könnyen kezelhető geometriai transzformációval. 
Az inverzióról

Legyen adott a síkon  egy O középpontú , r sugarú  k(O,r) kör. A sík minden  O -tól különböző P pontjához rendeljük hozzá azt a P'  pontot, melyre teljesül, hogy   , valamint, hogy , azaz P' illeszkedik az O kezdőpontú   félegyenesre. Ez a leképezés  - az O pont kivételével - a sík minden pontjához kölcsönösen egyértelműen hozzárendeli a sík egy pontját, tehát a sík O -tól különböző pontjaiból álló halmaznak egy transzformációja, melyet a k(O,r) -re vonatkozó inverziónak nevezünk. és így jelöljük: 
Könnyen belátható, hogy az inverzió a körvonal pontjait önmagába, a körön belül lévő pontokat a körön kívülre viszi  és viszont. Ezt a transzformációt a képpontokra alkalmazva visszakapjuk az eredeti  pontokat, azaz , vagyis a transzformáció négyzete az identikus  transzformáció. Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy az inverzió megegyezik az inverzével:  Ezért szokás az inverziót körre vonatkozó tükrözésnek is nevezni. 
Az inverzió értelmezési tartományát és értékkészletét  ki lehet terjeszteni úgy, hogy az alapkör O középpontjának is legyen inverze: Egészítsük ki az euklídeszi síkot egy ideális ponttal, amely éppen az O pont inverze! Ezzel az ún. inverzív síkhoz jutunk. Az inverzív síkon lényegében nem teszünk különbséget kör és egyenes között. Pl. két metsző egyenesre azt mondjuk, hogy ezek olyan körök, melyeknek egyik metszéspontja az ideális pont. 
Nyilvánvaló, hogy az O -ra illeszkedő egyeneseknek az O -tól különböző pontjai  ugyancsak illeszkednek ugyanerre az egyenesre. Azt mondjuk, hogy az O-ra illeszkedő egyenesek invariánsak. Az is belátható, hogy az O-ra nem illeszkedő egyenesek pontjait invertálva egy az O -ra illeszkedő kört kapunk, valamint, hogy a transzformáció körtartó, azaz egy az O -ra nem illeszkedő kör pontjainak az  inverzei ugyancsak egy O-ra nem illeszkedő kör pontjai lesznek. Az inverzió szögtartó is, azaz két kör, két egyenes, vagy egy kör és egy egyenes inverzének a szöge  megegyezik az eredetiek szögével.
Ahogy a tengelyes tükrözésre nézve invariáns alakzatok a tengelyre merőleges egyenesek (valamint a tengelyre merőleges körök, melyek középpontjai illeszkednek a tengelyre), az inverziónak is megvannak a maga invariáns alakzatai. Be lehet látni, hogy  a  k alapkörre merőleges körök (valamint a k -ra merőleges - vagyis az O -ra illeszkedő - egyenesek) invariánsak.

Ha ugyanis két kör merőlegesen metszi egymást, akkor az egyik kör metszéspontba húzott sugara a másik kör érintője, és viszont.  Pl. a  k  kör  r sugara az O középpontjához és az s körhöz tartozó érintőtávolság, így mértani közepe az OP  és OP szakaszoknak, azaz P és  P valóban egymásnak a  k  körre vonatkozó inverzei,  ahol P a k kör tetszőleges pontja, P pedig az [OP) félegyenesnek az  s körrel alkotott másik metszéspontja.
Mivel a merőlegesség  a körök közötti is  szimmetrikus reláció, ezért  ,vagyis ha az s kör invariáns a k -ra vonatkozó inverzióra, akkor k is invariáns az s -re vonatkozó inverzióra. Az inverziónak ezt a tulajdonságát fogjuk kihasználni a hiperbolikus geometria modellezésénél.
A későbbiekben szükségünk lesz még a körsorok fogalmára.
A sík valamely  P pontjának egy  k(O,r)  körre vonatkozó hatványán a ponthoz és a körhöz tartozó (bármely, a P pontra illeszkedő és  k-t metsző egyenes által meghatározott) szelődarabok előjeles szorzatát értjük. Be lehet látni, hogy a P  pont  k -ra vonatkozó hatványa  h = d2-r2, ahol d az O és P pontok távolsága.  Ha adott két nem koncentrikus kör, akkor azon pontok mértani helye, amelyeknek a két körre vonatkozó hatványa megegyezik, egy egyenes, melyet a két kör hatványvonalának nevezünk.  Ha a két kör egyenletével adott, akkor hatványvonaluk a két egyenlet különbségeként előálló lineáris egyenlet, függetlenül attól, hogy a két kör metszi-e egymást.
Körsornak nevezzük a sík azon köreinek a halmazát, amelyek közül bármely kettőnek ugyanaz a hatványvonala. Egy körsor elliptikus, ha bármely két elemének nincs közös pontja, parabolikus, ha bármely két köre  érinti egymást (ugyanabban a pontban) és hiperbolikus, ha  bármely kettő metszi egymást  (ugyanabban a két pontban). Két körsor ortogonális (merőleges), ha az egyik körsor minden köre merőleges a másik körsor minden körére. Egy elliptikus körsor ortogonális körsora hiperbolikus, és viszont. A parabolikus körsorra ortogonális körsor is parabolikus.  Az ortogonális körsorok hatványvonalai merőlegesek egymásra.  A körsort bármely két köre egyértelműen meghatározza. 
Ha egy körsort invertálunk valamely elemére, akkor az önmagába megy át: a körsorhoz tartozó bármely kör inverze továbbra is ugyanennek a körsornak lesz egy (másik)  köre. Ugyanakkor e körsor ortogonális körsorának minden köre invariáns lesz erre az inverzióra nézve.

A Poincaré - féle körmodell
A P-modellen a (hiperbolikus) síknak egy (az euklideszi síkba rajzolt) nyitott körlap felel meg, amelyhez eszerint a körvonal pontjai nem tartoznak hozzá. Nevezzük a modellt meghatározó kört a P-modell k(O,r) alapkörének. A hiperbolikus sík egyeneseinek  a megfelelői a P-modell alapkörét merőlegesen metsző köröknek az alapkör belsejébe eső ívei, ill. a k kör  O -ra illeszkedő átmérői lesznek.
A továbbiakban a program szerkezetének megfelelő sorrendben fogalmazunk meg állításokat, melyeket azonnal szemléltetünk az (itt félkövér betűtípussal szedett) menüpontokkal aktivizálható alprogram segítségével.

 Geometriai alakzatok
Egyenes
Két pontra egy és csakis egy egyenes illeszkedik. Egy egyenes a rá nem illeszkedő pontokat két osztályba sorolja. Egy osztályba azok a pontok tartoznak, amelyek által meghatározott szakasznak nincs közös pontja a egyenessel. (Röviden azt mondjuk, hogy az egyenes a síkot két félsíkra bontja.)
Valóban: ha adott a P-modell két pontja, (P és Q), egyértelműen meghatározzák azt az s kört, amely merőlegesen metszi k -t. Az s kör tulajdonképpen a  P, Q és a  pontokra illeszkedő kör lesz. 
Van olyan egyenes, amely a sík egy adott pontjára illeszkedik, és egy adott egyenesét nem metszi.
Két egy síkban fekvő egyenes lehet metsző, párhuzamos (egyirányú) vagy ultrapárhuzamos (eltérő).
A hiperbolikus sík egyirányú egyenesei a modell olyan - egyeneseket modellező - körívei, (ill. átmérői,) melyek a modell alapkörén érintik egymást.

Az ábra  a  egyeneséhez képest  b  és  c   egyirányú,  d  eltérő.

A sík egy adott pontjára végtelen sok olyan egyenes illeszkedik, amely egy a pontra nem illeszkedő egyenest metsz, végtelen sok olyan is illeszkedik, amely az adott egyeneshez képest eltérő, és ezeket az adott egyeneshez és az adott ponthoz tartozó két egyirányú egyenes választja el egymástól. 

Szakasz
Az egybevágósági axiómák egyik lehetséges (és  mint látni fogjuk  praktikus) megadási módja a tér pontjainak a síkra vonatkozó tükrözésére fogalmaz meg axiómákat, melyekből hamarosan eljuthatunk  a (síkbeli) tengelyes tükrözésére vonatkozó állításokig. A további (síkbeli) egybevágósági transzformációkat már mint tengelyes tükrözések szorzatait értelmezhetjük.
A sík egy egyenese egyértelműen meghatározza a sík önmagára való  tengelyes tükrözésnek nevezett  transzformációját, amely az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:
 az egyenes által meghatározott egyik félsík pontjaihoz a másik félsík pontjait rendeli;
 a képpontokhoz az eredeti pontokat  rendeli, azaz involutórikus;  egy egyenes pontjaihoz egyenes pontjait rendeli;
Két ponthoz egy és  csakis egy tükörtengely tartozik, amelyre vonatkozó tükrözés egyiket a másikba viszi. 
Két félegyeneshez egy és csakis egy tükörtengely tartozik, amelyre vonatkozó tükrözés egyiket a másikba viszi.
Ha egy tengelyes tükrözés az   a   egyenest a   b  egyenesbe viszi át, akkor ugyanez a tükrözés az  a -hoz szimmetrikus pontokat  b -hez szimmetrikus pontokba viszi.
A P-modellen a tengelyes tükrözésnek az "egyenest" meghatározó s  körre vonatkozó inverzió felel meg. Valóban: ez felcseréli a "félsíkokat", a négyzete az identikus transzformáció, "egyenestartó", hiszen az inverzió kört körbe (vagy az origón átmenő egyenesbe) visz át.
Győződjünk meg pl. annak az állításnak a modellbeli helyességéről, miszerint két ponthoz egy és  csakis egy tükörtengely tartozik! Legyen  adott a P-modell A és B pontja! Az előbb láttuk, miként szerkeszthető a rájuk illeszkedő és k -ra merőleges s kör. Most olyan t kört kell szerkesztenünk, amelyre igaz, hogy  , merőleges k -ra, mert "egyenes" és merőleges s -re, mert "az  felező merőlegese". (Mivel az inverzió szögtartó, a P - modell is az, tehát a "merőleges egyenesek" a modell merőleges körívei. Könnyen beláthatjuk, hogy a t kör középpontját a k  és s  körök metszéspontjaira, valamint az A és B pontokra illeszkedő egyenesek metszéspontja adja. (Ha ez nem létezik, akkor t  a k  alapkör átmérője lesz.)

A programrészlet lényegében csak arra képes, hogy szemléltessen egy szakaszt és a szakaszfelező merőleges egyenesét, amely két egybevágó (egyenlő) részre osztja az adott  szakaszt.
Két szakaszt vagy bármilyen két geometriai alakzatot akkor tekintünk egybevágónak, ha tengelyes tükrözések szorzatával egymásba vihetők. 
Itt már érezhetően különbözik a látvány az absztrakt fogalomtól. Ez várható is, hiszen egy egész "sík" -ot egy körlapra zsúfoltunk össze. Minél távolabb van a modell középpontjától a szakasz egyik végpontja, annál kisebbnek látszik az egyik fele, mint a másik. Itt jegyezzük meg, hogy a hiperbolikus sík - éppen úgy mint az euklideszi - mindenütt homogén (ugyanolyan), bár úgy tűnik, mintha a modell középpontjának kitüntetett szerepe lenne. Lehet mondani, hogy ez a modell sajátossága, a modellezés lényegét nem érinti.  Két szakasz (a modellen körív) egyenlőségét - egybevágóságát - nem az dönti el, hogy mekkorának látjuk őket, hanem az, átvihetők-e egymásba tengelyes tükrözések  (a modellen inverziók) sorozatával.
Lehetőségünk van arra, hogy több szakaszt, ill. ezek felező merőleges egyeneseit is modellezzünk. Ezt kihasználva észrevehetjük, hogy:
Egy háromszög szakaszfelező merőleges egyenesei nem feltétlenül metszik egymást.
Ezzel a kérdéssel azonban részletesebben foglalkozik a következő programrészlet.

Három pont
Három különböző pontról az alábbi állítások fogalmazhatók meg:
Három pontra vagy egy kör, vagy egy egyenes illeszkedik.
Mivel ez az állítás csak az euklídeszi geometriában érvényes, a hiperbolikus geometriában nyilvánvalóan más lehetőségnek is kell lennie. Íme:
Három pontra vagy egy kör, vagy egy egyenes, vagy egy paraciklus, vagy egy hiperciklus  illeszkedik.
Itt eddig nem ismert fogalmakkal találkozunk, amelyek jelentését meg kell világítanunk. Ehhez bevezetjük a sugársor fogalmát, amely - ebben a megfogalmazásban -  abszolút geometriai fogalom:
A sík  egyenesei halmazának egy valódi, nem véges H  részhalmazát sugársornak nevezzük, ha bármely két  H -beli  a  és b egyeneshez van olyan H -beli t egyenes, amelyre teljesül, hogy az a  és b egyenesek szimmetrikusak t -re, és bármely t  H  egyenesre tükrözve H  bármely egyenesét, a tükörkép is H -beli egyenes lesz.
Ebben a definícióban nagy szükség volt mind a “valódi”, mind a “nem véges” jelzőre. Ugyanis ha a H  halmaz az euklídeszi sík összes egyeneséből, vagy csak három, egy pontra illeszkedő, egymással 60-os szöget bezáró egyenesből állna, akkor is kielégítené a többi feltételt.

Mivel az euklídeszi síkban két egyenes párhuzamos, vagy metsző, ezért kétféle sugársor létezik: az egy pontra illeszkedő egyenesek halmaza, a centrális sugársor, ill. az egymással párhuzamos egyenesek halmaza, a párhuzamos sugársor.
 A hiperbolikus geometriában - mivel két egyenes kölcsönös helyzete háromféle lehet: metsző, egyirányú (párhuzamos), ill. eltérő  (ultrapárhuzamos), ennek megfelelően háromféle sugársor létezik: centrális, egyirányú és eltérő sugársor, amely rendre az egy pontra illeszkedő, a közös végtelen távoli ponttal rendelkező, ill. a sík egy adott egyenesére merőleges egyenesek halmazát jelenti. 
Bármely két  egyenes egyértelműen meghatározza a sík egy sugársorát. Ha a sík egy tetszőleges pontját egy sugársor minden elemére tükrözünk, akkor e pont a tükörképeivel együtt egy ún. szabályos görbét, másképpen ciklust alkot,  amely  a sugársor bármely elemére nézve szimmetrikus alakzat. Egy sugársor minden egyenese merőleges a sugársorhoz tartozó bármely ciklusra. Egy centrális sugársor szabályos görbéi koncentrikus körök, melyek közös centruma a sugársor tartója (mind az euklídeszi, mind a hiperbolikus geometriában). 
A centrális sugársor tartóját kivéve a sík minden pontjára egy adott sugársornak pontosan egy egyenese és pontosan egy ciklusa illeszkedik.

Az euklídeszi geometria párhuzamos sugársorához tartozó szabályos görbék a sugársor elemeire merőleges egyenesek. 
A hiperbolikus geometria egyirányú sugársorához tartozó szabályos görbék az ún. paraciklusok. Az egyirányú sugársor tartója a sugársor elemeinek a közös iránya. Az  eltérő sugársor elemeihez pontosan egy olyan egyenes tartozik, amely  a sugársor minden elemére merőleges. (Ez a sugársor tartóegyenese.) A sugársorhoz tartozó szabályos görbék az ún. hiperciklusok. A hiperciklus a sugársor  tartóegyenesétől egyenlő távolságra levő pontok mértani helye. 
Itt említjük meg, hogy az euklídeszi párhuzamossági axióma ebben a formában is megfogalmazható:
Egy félsík pontjai közül a félsík határegyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye egyenes. 
Ez a programrészlet szemlélteti a három, tetszőlegesen megadott ponthoz tartozó ciklust, a három pont által meghatározott három szakaszt, ezek szakaszfelező merőlegeseit, végül az adott pontokra illeszkedő és a kapott ciklusra merőleges egyeneseket. Tapasztalni fogjuk, hogy ez a hat egyenes ugyanahhoz a sugársorhoz tartozik.
A sugársorok és ciklusaik kapcsolatát később részletesebben is meg fogjuk ismerni.

Mozgó háromszög
Ebben a programrészletben felváltva mozgathatjuk egy háromszög csúcsait. Kétállapotú kapcsolókkal szabályozhatjuk, hogy eközben lássuk-e a háromszög oldalfelező merőleges egyeneseit, magasság egyeneseit és súlyvonalait. A modell alapján megállapíthatjuk, hogy:
A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei ugyanannak a sugársornak az elemei. Ugyanezt állíthatjuk a háromszög magasságegyeneseiről is. A háromszög súlyvonalai egy pontra illeszkednek. 
Lehetséges, hogy ez a súlyvonalakkal kapcsolatos állítás többek számára meglepő. Ugyanis a súlypontra vonatkozó tétel legelterjedtebb bizonyítása a hasonlóság fogalmára épül. A hasonlóság pedig csak az euklídeszi geometriában bevezethető fogalom.
A programrészlet kiszámítja a megadott háromszög oldalainak hosszát és szögeinek a nagyságát. A szakaszok mérésével - a távolság fogalmával - később részletesebben foglalkozunk. Most a háromszög szögeiről ejtsünk néhány szót.
A szögfogalom  kialakítása, a szögek mérése az abszolút geometria eszközeivel a szokásos módon megoldható. A P-modell már említett előnye, hogy a szögek mérésére, mértékegységeire bevezetett közismert összefüggések a modellen jól tükröződnek: két metsző egyenes szöge egyenlő a modell egyeneseket reprezentáló köríveinek ill. átmérőinek a szögével.
Legendre igazolta hogy:
Bármely háromszög belső szögeinek összege kisebb vagy egyenlő az egyenesszögnél.
A háromszög defektusának (szöghiányának) nevezzük az egyenesszög és a  háromszög szögösszegének a különbségét. 

Eszerint Legendre tétele így is megfogalmazható:
A háromszög defektusa nem negatív. 

Belátható, hogy:
Ha egy háromszöget két vagy több háromszögre bontunk, akkor a részháromszögek defektusainak az összege egyenlő az eredeti háromszög defektusával. 
Legendre azt is megmutatta, hogy:
Ha van nulla defektusú háromszög, akkor bármely háromszög defektusa nulla. 
A defektus fogalmával újabb átfogalmazásait adhatjuk az euklídeszi, ill.  hiperbolikus geometria párhuzamossági axiómájának:
Van olyan háromszög, amely belső szögeinek összege egyenlő az egyenesszöggel, azaz defektusa nulla. 
Bármely háromszög belső szögeinek összege kisebb az egyenesszögnél, azaz defektusa pozitív. 
A háromszög defektusának additív tulajdonsága, miszerint a részháromszögek defektusainak az összege az eredeti háromszög defektusát adja, alkalmas arra, hogy a hiperbolikus geometriában a háromszögek területét a defektusukkal mérjük: a háromszög területe a defektusának egy (alkalmas) konstansszorosa. 
A számítógépi modellünk megengedi azt is, hogy a vizsgált háromszög egy, vagy akár mindhárom csúcsa végtelen távoli pont legyen. Az ilyen, ún. aszimptotikus háromszögnek a végtelen távoli csúcsában mért szöge nulla. 
Két egyirányú egyenes szöge nulla. Ultrapárhuzamos egyenesek szögét nem értelmezzük.
 Ha egy háromszög mindhárom csúcsa végtelen távoli, akkor ennek a legnagyobb a defektusa, ti. az egyenesszög.
Ez ismét ad egy újabb lehetőséget  a párhuzamossági axiómák átfogalmazására:
Bármely háromszögnél van nagyobb területű háromszög. 
Van legnagyobb területű háromszög. 

n oldalú szabályos sokszög
A szabályos sokszöget egyértelműen meghatározza oldalainak száma, középpontja és egy csúcsa. Ez a programrészlet ezekből az  interaktív módon változtatható   adatokból  állít elő szabályos sokszögeket. Megfigyelhetjük, hogy a szabályos sokszög szöge  amely az euklídeszi geometriában csak a sokszög oldalainak a számától függ  itt miként függ a sokszöget meghatározó három adattól. 

Párhuzamossági szög
Legyen adott a síkban egy   s  egyenes, egy attól   d   távolságban lévő   P   pont! Legyen továbbá  a P pontra illeszkedő  és az adott egyenesre merőleges m  egyenesnek a P -re illeszkedő  e  -vel egyirányú egyenessel bezárt szöge  . A  d  távolságot a P ponthoz és az  s  egyeneskez tartozó párhuzamossági távolságnak,   -t  a  P -hez és  s  -hez tartozó párhuzamossági szögnek nevezzük. 
Bolyai János szóhasználatával élve nevezhetjük ezt a szöget az elpattanás szögének is. Ugyanis  a P  tartójú sugársor egyenesei közül azok, amelyek  m-el  -nál kisebb szöget zárnak be, még metszik  s  -t , az első nem metsző (elpattanó) egyenes éppen a  szög  szára.
Ez a programrészlet bemutatja, hogy ez a két mennyiség miként függ egymástól. Ez a kapcsolat - éppúgy, mint a programban bemutatott bármely numerikus összefüggés - nem a modellnek, hanem magának a hiperbolikus sík metrikájának a sajátossága. 

Egybevágóság

Az egybevágóság fogalma abszolút geometriai fogalom.  Ha például   a síkgeometriára szorítkozva  axiómaként elfogadjuk a tengelyes tükrözés már említett tulajdonságait, a többi egybevágósági transzformációt így értelmezhetjük:
Centrális tükrözésnek nevezzük két tengelyes tükrözés szorzatát, ha a két tengely merőleges egymásra. Metszéspontjuk a tükrözés centruma. Mivel az egyenesek közötti merőlegesség szimmetrikus reláció, a tükrözések sorrendje felcserélhető, így a centrális tükrözés involutórikus transzformáció. 
Forgatásnak nevezzük két tengelyes tükrözés szorzatát, ha a két tengely nem merőlegesen metszi egymást. A forgatás centruma az egyenesek metszéspontja, szöge a két egyenes szögének a kétszerese. A forgatás irányát a tükrözések sorrendje határozza meg
(Egyenes menti) eltolásnak nevezzük két tengelyes tükrözés szorzatát, ha a két tengely egy adott egyenesre merőleges. Az eltolás nagysága az egyenesek közös merőlegesükkel alkotott metszéspontjai közötti távolság kétszerese, irányát a tükrözések sorrendje határozza meg. 
Az euklídeszi geometriában két párhuzamos egyenesnek végtelen sok közös merőlegese van, ezek bármelyike alkalmas az eltolás nagyságának a meghatározására. 
A hiperbolikus geometriában két  ultrapárhuzamos egyeneshez csak egy olyan egyenes tartozik, amely mindkettőt merőlegesen metszi, így az eltolás nagyságát ezen kell mérnünk. 
Abszolút geometriai eszközökkel belátható, hogy:
Az eltolást egyértelműen meghatározza egyenese, az azon mért nagysága, valamint iránya. Ez azt jelenti, hogy egy adott egyenesen bárhol veszünk is fel egy adott hosszúságú szakaszt, ha a szakasz végpontjaiban az adott egyenesre merőlegeseket állítunk, akkor az ezekre vonatkozó tükrözések szorzata mindig ugyanazt az eltolást határozza meg. 
Mivel a hiperbolikus geometriában két egyenes egyirányú is lehet, ezért itt van egy eddig nem említett egybevágósági transzformáció:
Paraciklus menti eltolásnak nevezzük a két egyirányú egyenesre való tükrözés szorzatát. 
Itt is a tükrözések sorrendje határozza meg az eltolás irányát. Nagysága nehezebben értelmezhető, mivel az adott egyeneseknek  a rájuk merőleges paraciklussal alkotott metszéspontjai közötti távolság függ attól, hogy melyik paraciklust választottuk ki.
Az euklídeszi és a hiperbolikus síkon értelmezett eltolás között van még egy lényeges eltérés:
A sík bármely pontjának és egy eltolással kapott képének a távolsága egyenlő (és megegyezik az eltolás nagyságával). 
Ez a hiperbolikus geometriában nem igaz.
A Tengelyes tükrözés, Centrális tükrözés, Forgatás, Eltolás (egyenes mentén), Eltolás (paraciklus mentén) című menüpontoknak megfelelő alprogramok használatát itt nem részletezzük külön. Reméljük, nem lesz nehéz hozzászokni, hogy a képernyőn csupa egybevágó háromszögek modelljeit látjuk, bár ez a látvány többnyire erősen eltér a megszokottól. 

A sík lefedése

A háromszögek  egybevágósági alapesetei, melyek az abszolút geometria eszközeivel bizonyított tételek, egy újabb tétellel bővülnek a hiperbolikus geometriában. Kihasználva, hogy bármely háromszög defektusa pozitív, könnyen igazolható, hogy:
Két háromszög egybevágó, ha szögei páronként egyenlők. 
Itt most a szögeivel adunk meg olyan háromszögeket, amelyekkel hézagmentesen kiparkettázható a hiperbolikus sík úgy, hogy a szomszédos háromszögek a közös oldalegyenesükre vonatkozóan egymás tengelyes tükörképei legyenek. 
Ennek az a feltétele, hogy a háromszög mindhárom szöge a teljes szög  k- ad része (vagy 0) legyen, ahol k egész szám, emellett teljesüljön, hogy a háromszög defektusa pozitív.  Ha valamely szögre nézve  k  páratlan, akkor a parkettázás csak akkor végezhető el, ha a háromszög egyenlőszárú, azaz a másik két szöge egyenlő. Ebben az esetben azonban  nem tudjuk kiszínezni a háromszögeket két színnel úgy, hogy a szomszédos háromszögek különböző színűek legyenek, ezért ilyenkor véletlenszerűen választott színekkel végezzük a színezést. Ha mindhárom szög a teljes szög  2k -ad része,  (vagy 0), akkor két színnel végezzük a lefedett síkrész színezését. 
Itt jegyezzük meg, hogy:
Az euklídeszi síkban mindössze négy olyan háromszög létezik, amellyel a feltételeknek eleget tevő parkettázás megvalósítható. Ezek  szögei rendre (  90 , 60 , 30 )  ;  (90 , 45 , 45) ; (60 ,  60 , 60) ; (120 , 30, 30). A két utóbbi a derékszögűekből is előállítható. 
A hiperbolikus síkot végtelen sokféle háromszöggel  ki lehet parkettázni a feltételnek eleget tevő módon. 
Az euklídeszi sík a szabályos sokszögek közül csak a szabályos háromszöggel, a négyzettel és a szabályos hatszöggel parkettázható ki. 
A hiperbolikus sík kiparkettázható minden olyan szabályos n  - szöggel, amelynek minden szöge a teljes szög k -ad része , ahol k >2 tetszőleges, ekkor   egész szám, vagy minden szöge 0, (ekkor n>2 ). 
Már említettük, hogy a hiperbolikus geometriában van legnagyobb területű háromszög, melynek mindhárom szöge 0 -os. Azonban ebből is végtelen sokkal lehet csak lefedni a síkot, tehát maga a sík területe nem véges.
A programrészletet vizsgálva támadhat olyan érzésünk, mintha a modell középpontjának kitüntetett szerepe lenne a parkettázásban.  Ez  nem így van, véletlenszerűen is elhelyezhetjük a kiindulásul vett háromszöget.

Sugársorok

A hiperbolikus sík valamely centrális sugársorának az egyeneseit a P - modellen  egy hiperbolikus körsor köreinek a k alapkörbe eső körívei, a hozzá tartozó szabályos görbék (koncentrikus körök ) halmazát pedig az erre merőleges elliptikus körsornak a k belsejébe eső elemei modellezik. 
Az egyirányú sugársor egyeneseinek a modellen egy parabolikus körsor köreinek a  k -ba eső ívei, a sugársorhoz tartozó paraciklusok halmazának egy, az előzőre merőleges, ugyancsak parabolikus körsor  k  -beli elemei felelnek meg.
Az eltérő sugársor egyeneseit a P-modellen egy elliptikus körsor köreinek a  k  alapkörbe eső ívei modellezik, tartó egyenesét pedig az előző körsorra ortogonális körsornak az a köríve, ill. átmérője, amely egyenest reprezentál, tehát  merőleges  k -ra. E körsor többi elemének a  k  körbe eső körívei modellezik a hiperciklusokat .
E körsorokat szemlélve megfigyelhetjük, hogy maga a P-modell k alapköre is eleme a ciklusokat reprezentáló körsornak.
A sugársorokat, ill. ciklusaikat bemutatva természetesen ezeknek csak véges sok elemét rajzolhattuk meg. Ezek közül most egy problémával foglalkozunk kissé részletesebben: miként lehet modellezni egy adott egyenesre merőleges, egymástól egyenlő (egységnyi) távolságra lévő  egyeneseket, azaz miként tudunk megadni egy egyenesen az egész számoknak megfelelő beosztást. Ezzel lényegében arra keresünk választ, hogy az abszolút geometria folytonossági, vagy másképpen mérési axiómacsoportjában megfogalmazott összefüggések szemléletessé tételére milyen lehetőségeink kínálkoznak a P-modellen.
A folytonossági axiómák eredményeképpen  válik lehetővé, hogy az egyenes minden pontjához kölcsönösen egyértelműen hozzárendeljünk egy valós számot, azaz előállítsunk egy számegyenest: 
Minden szakaszhoz hozzárendelhető egy pozitív valós szám (a szakasz hossza vagy mérőszáma) úgy, hogy egybevágó szakaszok hossza egyenlő legyen, valamint, ha egy szakaszt valamely belső pontjával két szakaszra bontunk, akkor a keletkezett szakaszok mérőszámainak összege egyezzen meg az eredeti szakasz mérőszámával. Tetszőleges szakaszhoz rendelhetjük az 1-et: Jelöljük ki az egyenes két pontját, O-t és E -t. Rendeljük hozzá az O -hoz a 0 -t,  E -hez az 1-et. (Így az OE  szakaszt tekintjük egységnyinek.) Az egyenes minden X  pontjához pontosan egy olyan x valós szám (az OX szakasz előjeles hossza) rendelhető hozzá, amelyre teljesül, hogy x  akkor és csak akkor pozitív, ha X az O kezdőpontú E -t tartalmazó félegyenesre illeszkedik. Ez a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű: bármely x  valós számhoz pontosan egy X  pontja tartozik az egyenesnek. Ezzel előállítottunk egy számegyenest, amelyen minden valós számnak kölcsönösen egyértelműen megfelel egy pont. 
Egyelőre tűzzük ki feladatul azt, hogy felvesszük a P-modell egy egyenesét, és ezen kijelöljük az egész számoknak megfelelő pontokat. Legyen ez az "egyenes" a  k kör  e  átmérője. Az  középponthoz rendeljük a 0 -t, az e egy tetszőleges  pontjához az 1 -et. A 2 -nek megfelelő  pontot úgy kaphatjuk meg, hogy  e -re merőleges "egyenest" állítunk az  pontba - legyen ez  - majd erre invertáljuk   -t:  Hasonlóan   , ahol   és  és így tovább. Ezzel a P modellen olyan egyenes-eket állítottunk elő, amelyek egy adott egyenes-t merőlegesen metszenek a pozitív egész számoknak megfelelő pontokban.
 
A számítógépi rajzhoz nyilvánvalóan szükségünk lesz e pontoknak a képernyő koordinátarendszerében vett koordinátáira. Mi most azonban használjunk egy olyan (euklídeszi értelemben vett, tehát hagyományos) Descartes-féle koordinátarendszert, melynek az origója a k kör O középpontja, abszcisszatengelye az (OE1) egyenes (A két koordinátarendszer közötti transzformáció számítástechnikai probléma.) A továbbiakban h(AB) -vel fogjuk jelölni a hiperbolikus sík A és B  pontjának a hiperbolikus síkon mért távolságát, ugyanezen pontok P- modellbeli, (vagyis az előbbi koordinátarendszerben mért) távolságát pedig d(AB) -vel.
A feladatunk tehát az, hogy előállítsunk egy olyan  sorozatot, melyre   ,  ,  , és  , ahol  e<r  tetszőleges valós szám. 

Vegyünk fel az O kezdőpontú félegyenesen két pontot, A -t és B -t! Legyen a=d(OA) , b=d(OB) ,    az [OB) -re (és k -ra) merőleges, B -re illeszkedő s  kör sugara.  Legyen  továbbá  és c=d(OC) .(A hiperbolikus síkon C  az A  pontnak az s egyenesre vonatkozó tükörképe.) Mivel  , ezért . Másrészt  , ezért   .
Ebből 			   .
Így a már vázolt inverziók sorozatával az  sorozatra a következő rekurzív képletet kapjuk:
	  , 
	   	(ahol 	 tetszőleges valós szám) ,
		 	ha  természetes szám.
Belátható, hogy 	 .
Az eddigiek alapján csak a természetes számoknak megfelelő pontokat tudjuk kijelölni a hiperbolikus sík azon számegyenesén, amelynek a képe a P-modellen egy átmérő. 
A hiperbolikus sík A és B pontja közötti távolságot (az AB szakasz hiperbolikus mértékét) a Cayley-Klein  modellen - melyen kollineáris pontok modellbeli megfelelői is kollineárisak - a  képlettel kapjuk, ahol c egy tetszőleges, de az adott modellre nézve azonos állandó, U  és V  pedig az A és B pontokra illeszkedő húr (vagy átmérő) két végpontja. Itt (UVAB) a négy pont által meghatározott szakaszok (előjeles) hosszából képzett számot, az ún. kettősviszonyt jelöli:   
A két modellt egymásba átvivő transzformáció, melyet itt nem részletezünk,  a  közös  alapkör átmérőire illeszkedő pontokat helyben hagyja, így ez a képlet a mi esetünkben is használható azzal, hogy a c konstanst úgy kell megválasztanunk, hogy a   esetben a   feltétel teljesüljön. 

Mivel		   ,
 ezért		    .
Az   feltétel alapján megkaphatjuk  c  értékét:    
 Ennek megfelelően a P-modell O középpontján átmenő egyenes valamely X  pontjára, melyre      azt kapjuk, hogy:
       .
Belátható, hogy  így X valóban az alapkör átmérőjének bármely pontja lehet, azaz  . 
Nekünk viszont most e függvény inverzére van szükségünk, amely a hiperbolikus sík egy O origójú számegyenesét viszi át a P-modell Descartes-féle koordinátarendszerébe.
A h(x) függvény inverze  , amely függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a  nyitott intervallum. Belátható, hogy minden  n  természetes számra   , vagyis a hiperbolikus síkon felvett számegyenesnek nem csak a természetes számoknak megfelelő pontjai, hanem bármely valós számhoz tartozó pontja is megadható a P-modellen.
A hiperbolikus körsor tartó egyenesén akkor is létre tudtunk hozni egy egységnyi szakaszokkal beosztott skálát, ha azt nem az origóra illeszkedő átmérő modellezi. Ezt azonban az itt vázolt esetre vezettük vissza.
A  sugársorokat modellező programrészletek lehetőséget adnak arra, hogy a hiperbolikus sík ún. ideális pontjait is láthatóvá tegyük. A hiperbolikus geometriai fogalmaknak van egy olyan kiterjesztési lehetőségük, amely a sík minden valós pontjának megfeleltet egy ideális pontot, amely a P-modellen a pontnak a k alapkörre vonatkozó inverze. Ezt az általánosítást megengedve egy egyenesnek végtelen sok valós, két végtelentávoli, és végtelen sok ideális pontja van, melyek a modellen az egyenest reprezentáló körnek a  k  alapkörön kívüli ívére illeszkednek.  Mondhatjuk, hogy ha a hiperbolikus síkot modellező nyitott körlapot invertáljuk a modell alapkörére, akkor - mivel az inverzió a modell minden lényeges tulajdonságát változatlanul hagyja - egy újabb modellhez juthatunk, amelynek a pontjai az inverzív sík pontjai, kivéve egy fekete lyuk-at, azaz egy zárt körlapot. 
Az egyirányú sugársorokat és paraciklusaikat szemlélve egy igen érdekes következtetésre juthatunk. Ehhez fogalmazzunk meg egy  talán semmitmondó  állítást az abszolút geometria köréből:
Bármely két egyeneshez van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi át. 
Tulajdonképpen magát az egybevágóság fogalmát alakítottuk úgy ki, hogy ez teljesüljön. Ezért van egyenes vonalzó: olyan sablon, amelyet bárhol elhelyezve a síkon, egyenest tudunk rajzolni. A P-modellen ez a tulajdonság abban tükröződik, hogy bármely két egyenest reprezentáló körívhez van olyan  egyenessel megadott  inverzió, amely ezeket egymásba viszi át. Ugyanakkor az is igaz, hogy bármely két paraciklust modellező (vagyis az alapkört érintő) körhöz van olyan tengelyes tükrözéseket modellező inverzió-sorozat, amely ezeket egymásba viszi át. 
Ez pedig azt jelenti, hogy:
Bármely két paraciklushoz van olyan egybevágósági transzformáció,  amely egyiket a másikba viszi át. 

Eszerint a hiperbolikus síkon nem csak az egyenes megrajzolására, hanem paraciklus rajzolására alkalmas sablon is létezik, azaz van paraciklus vonalzó.
Ezek után nézzük, miben tér el egymástól a sugársorokat modellező három programrészlet!

Tartójukkal megadott sugársorok és ciklusok
A centrális  sugársort  és a hozzá tartozó ciklusok - koncentrikus körök - halmazát egyértelműen meghatározza a sugársor tartója, azaz centruma. 
A hiperbolikus sík koncentrikus körei természetesen csak akkor látszanak a P-modellen koncentrikus körnek, ha közös centrumuk a modell alapkörének a középpontja.
Az egyirányú sugársort  és a hozzá tartozó paraciklusok halmazát egyértelműen meghatározza a sugársor tartója, azaz a sugársort alkotó egyenesek közös végtelentávoli pontja.
Az eltérő sugársort  és a hozzá tartozó hiperciklusok halmazát egyértelműen meghatározza a sugársor tartója, azaz a sugársor minden elemére merőleges egyenes.

Két egyenessel megadott sugársorok és ciklusok
A sík két tetszőleges egyenese egyértelműen meghatároz egy sugársort, valamint a hozzá tartozó ciklusok halmazát. 

Három adott pontra illeszkedő ciklus
A sík három tetszőleges pontja egyértelműen meghatároz egy ciklust (vagy egyenest), amely meghatározza a hozzá tartozó sugársort. 
A hiperbolikus síkon a ciklus megadásához szükséges három pont közül legfeljebb kettő végtelen távoli is lehet. 

Függvényábrázolás a hiperbolikus síkon
Mint láttuk, abszolút geometriai eszközökkel, így a hiperbolikus síkon is könnyen fel tudunk venni egy számegyenest, amelynek a modellezése P-modellen szintén problémamentes. Felvethető az a kérdés is, hogy miként lehetne az euklídeszi geometria Descartes - féle koordinátarendszeréhez hasonló rendszert készíteni a hiperbolikus geometriában.
A Descartes-féle koordinátarendszer feladata az volt, hogy minden valós számpárhoz kölcsönösen egyértelműen hozzárendelje az euklídeszi sík egy pontját. Amikor egy függvényt lerajzoltunk, tulajdonképpen a függvény által egymáshoz rendelt számpároknak megfelelő pontok halmazát rajzoltuk le. 
Most a feladatunk összetettebb: A tetszőleges (x,y) számpárhoz először alkalmas módon  hozzá kell rendelnünk a hiperbolikus sík egy pontját, majd meg kell adnunk az ennek megfelelő pontot (illetve ennek az O origójú Descartes-féle koordinátarendszerben vett  koordinátáit) a P-modellen. Végül, amennyiben mindezt számítógépen kívánjuk szemléltetni, ezt át kell írnunk a képernyő koordinátarendszerébe, az ábrázoláshoz szükséges formába. Ez utóbbi azonban  már nem matematikai, hanem számítástechnikai probléma.
A Descartes - féle koordinátarendszer lényegében két, egymásra merőleges számegyenesből áll, melyeken (többnyire) ugyanakkorák az egységszakaszok. Az  (x,y) számpárok és  az euklídeszi  sík pontjai közötti hozzárendelést  két különböző módon is elérhetjük.
Az egyik út: Kijelöljük az egymásra merőleges X és Y  számegyeneseken az x  és y számoknak megfelelő P' és P" pontokat, majd az ezekre illeszkedő és az X ill. Y egyenesekre merőleges e és f egyenesek metszéspontjaként kapjuk P  -t. 

A másik út: Kijelöljük az X  tengelyen az x  abszcisszának megfelelő pontot, majd az erre illeszkedő és az X -re merőleges egyenesen (az azonos abszcisszájú pontok mértani helyén) kiválasztjuk azt a P pontot, melyre a P'P  szakasz  előjeles hossza y . 

Az euklídeszi geometriában az OP'PP" téglalap rendelkezik azokkal a tulajdonságokkal, amelyek e két út egyenértékűségét biztosítják.
Mindez nem így van a hiperbolikus geometriában. Ha ott ugyanis az első utat választanánk, előfordulhatna  elég nagy számok esetén  , hogy a tengelyekre merőleges egyenesek nem metszenék egymást. A második utat választva viszont az azonos ordinátájú,  tehát az X tengelytől azonos távolságra lévő  pontok mértani helye egy hiperciklus lesz. Így jutunk az egész abszcisszájú, ill. egész ordinátájú pontok kijelölésével ahhoz a rácshoz, amellyel már találkozhattunk az eltérő sugársorok bemutatásánál. 
 
A koordinátarendszert meghatározó két egymásra merőleges egyenesnek választhatnánk a P-modell két tetszőleges, egymásra és az alapkörre merőleges körívét, azonban ahhoz, hogy rendszerünk lehetőleg hasonlítson az euklídeszi geometriában megszokott koordináta-rendszerre, válasszuk koordináta-tengelyeknek az alapkör két, egymásra merőleges átmérőjét.
Mind az azonos abszcisszájú pontok mértani helye (egyenes), mind az azonos ordinátájú pontok mértani helye (hiperciklus) a P-modellen egy-egy  az egyenest modellező e  illetve a hiperciklust modellező h  körív lesz, amelyek metszéspontja adja az (x,y) pontpár P-modellbeli P  pontját, illetve ennek az O középpontú Descartes-féle koordinátarendszerben vett  koordinátáit, amelyeket tehát a   és r adatokból kell meghatároznunk.

Az ábra jelöléseit használva kapjuk  az e és h körök egyenleteit:
	  	ahol  
	  	ahol  
Az is teljesül, hogy   , mert s merőleges a k alapkörre, és  mert h átellenes pontokban metszi k  -t.
 Ezeket az összefüggéseket kihasználva  az  e és h körök hatványvonalára a	 egyenletet kapjuk.
Másrészt, mivel   az O és P pont egyaránt illeszkedik a  szakasz Thalész - körére, így  és az  szögek egyenlők. Ebből:  
Ezekből némi számolással kapjuk, hogy
 ,  másrészt    
Figyelembe véve, hogy mind a  mind a kifejezés szorzótényezőként tartalmazza  r -t, képleteink tovább egyszerűsíthetők:
 ,  ,  ahol, mint 
korábban láttuk:  .  (Itt r az alapkör sugarának, e  az OE  szakasznak az euklídeszi mértékét jelöli.)
Eredményeinket alkalmazva lerajzoltuk néhány közismert függvény (az   ;  ;  ;  ;  ) képét ebben a koordinátarendszerben. Tanulmányozhatjuk, hogy az így kapott grafikonok attól függően közelítik meg jobban, vagy kevésbé az ismert alakjukat, hogy mekkorának választjuk az egységet az alapkör sugarához képest.

A modell

A modell alapkörének a megadása
A programnak ez a része lehetőséget nyújt arra, hogy a P-modellt meghatározó adatokat  az ésszerűség határain belül  változtathassuk, például növeljük, vagy csökkentsük az alapkör sugarát.
Gondoljunk arra, hogy ha valaki azt mondja, vegyünk fel egy a síkban egy kört, akkor még nincs értelme arról beszélnünk, hogy ez a kör kicsi, vagy éppenséggel túl nagy. Ugyanis nincs mihez képest kicsinek, vagy nagynak vélnünk.
A képernyő méreteihez viszonyítva nagy kör mindössze azt jelenti, hogy olyan részleteket is megfigyelhetünk a kapott rajzon, amelyre  egyébként technikailag nem nyílna lehetőségünk.  Pl. az alapkört (a képernyőhöz viszonyítva) növelve fel tudunk venni az alapkörhöz viszonyítva kicsi háromszögeket. Így meg tudjuk figyelni, hogy ha az egybevágósági transzformációkat  melyek nem igénylik a szög- , vagy távolságmetrika megadását  a modell origójának a közelében, elég kicsi háromszögekre alkalmazzuk, rajzaink egyre inkább megközelítik az euklídeszi geometriában megszokott rajzokat.  Figyeljük meg, hogy egy ilyen kicsi háromszögnek a defektusa  egyre jobban közeledik a nullához.
Az alapkör sugarát növelve technikailag lehetőségünk nyílik arra is, hogy a távolság-metrika alapjául (tetszőlegesen) választott egység az alapkör sugarához viszonyítva egyre kisebb legyen. Így megfigyelhetjük, hogy a koordináta-rendszerünkben ábrázolt függvények rajza egyre jobban közelít a megszokotthoz.
Képzeljük el, hogy most a P-modell alapkörének  az egységnyinek választott szakaszhoz képest  nagyon nagy a sugara, mi pedig itt az origó közelében ábrázolunk függvényeket, szemlélgetjük az egybevágósági transzformációkat. Épp úgy nem érzékelnénk az euklídeszi és a hiperbolikus geometria közötti különbséget, mint ahogy egy szobában ülve azt sem érzékeljük kézzelfogható módon, hogy a föld gömb alakú.
Természetesen, ha ezt a nagy kört a képernyőhöz képest eltoljuk, és a körvonal közelében vizsgálódunk, rajzaink továbbra is szokatlanul viselkednek. Maga a P-modell pedig egyre jobban megközelítené a hiperbolikus sík egy másik, ugyancsak Poincaré által készített modelljét, az ún. félsík modellt, melyben a hiperbolikus síknak az euklídeszi sík egy félsíkja felel meg, az egyeneseknek pedig olyan félkörök, melyek középpontja a félsík határegyenesére illeszkedik.
Az euklídeszi és a hiperbolikus geometria sajátosságait összevetve hadd hívjuk fel még egy érdekességre a figyelmet. Íme három mondat, melyek egyike az abszolút, másik csak az euklídeszi, harmadik csak a hiperbolikus geometriában érvényes:
A szögmérés  abszolút. 
A távolságmérés relatív. 
A távolságmérés abszolút. 
Ez azt jelenti, hogy ha egy távoli bolygó értelmes lényeivel beszélgetnénk (rádión) matematikáról, el tudnánk nekik magyarázni, hogy mi az a derékszög, vagy mekkora az  1 foknyi szög. Ugyanakkor nem tudnánk megmagyarázni, hogy mekkora egy méter, ha csak nem hivatkoznánk valamilyen  a matematikán kívüli, pl. fizikai fogalomra. Ugyanakkor a hiperbolikus geometriában a távolság fogalma is abszolút, amely  a P-modellen az    hányadossal, vagy bármilyen  e -ből és  r -ből kiszámított konstanssal,  pl. a  értékkel jellemezhető, ahol e a tetszőlegesen felvett egység,  r  a modell alapkörének sugara.

Teszt
Mint már említettük, a P-modellen  előállított számegyenesen az egész számoknak megfelelő pontokat egy rekurzív képlettel is kijelölhettük, azonban a függvényábrázoláshoz szükségünk volt egy folytonos függvényre, amely a számegyenes valamely pontjának a P-modellbeli koordinátáit adja meg. Ez a programrészlet e két számolási mód egyenértékűségét mutatja be.  Megfigyelhetjük, hogy ha r  elég nagy az e -hez képest, akkor a rekurzív képlet érzékelhető számolási pontatlanságot eredményez. Ez nem meglepő, mivel egy már meglévő pontatlanság a rekurzió miatt öröklődik.

Szín és hang beállítása
Bár ennek a leírásnak nem feladata a technikai részletekkel foglalkozni, egyet itt mégis megemlíthetünk. Amennyiben a felhasználó ki szeretné nyomtatni a képernyőn kapott rajzokat, ehhez az alábbi technikai segítséget ajánljuk:
Futtassa a programot a Windows  alatt. Ha egyszínű nyomtatója van, állítsa a rajz színét fekete-fehérre. Miután a  megfelelő rajzot előállította, nyomja meg a Print Screen billentyűt. Ezzel a Windows vágólapjára helyezte a rajzot, amely azután bármelyik Windows alatt futó rajzolóprogrammal, pl. a Paint -tel tovább szerkeszthető. 

Utószó

Reméljük, hogy ezzel a programmal sikerült bemutatnunk a hiperbolikus geometria legalapvetőbb fogalmait, vagy jobban megvilágítanunk, hogy a geometria mely tételei tartoznak az abszolút geometriához, és melyekre igaz, hogy csak az euklídeszi geometriában érvényesek. Szeretnénk ismételten hangsúlyozni, hogy az itt bemutatott összefüggések csak  képeskönyvszerűen  ízelítőt adtak a hiperbolikus geometria témaköréből, nem pótolják az elmélyült ismeretszerzést, legfeljebb kedvet teremtenek hozzá.
Talán sikerült új megvilágításba helyezni a már kialakult euklídeszi geometriai ismereteink egy részét is. Pl. amikor kimondjuk azt a mondatot, hogy: "Az   függvény képe egy egyenes", akkor lényegében az euklídeszi párhuzamossági axiómával ekvivalens állítást fogalmazunk meg. 

Irodalom

[1]	BOLYAI János: Appendix A tér tudománya 
Akadémiai Kiadó Budapest, 1977.

[2]	WESZELY Tibor: Bolyai János Matematikai munkássága
Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1981.

[3]	REIMAN István: A geometria és határterületei 
Gondolat Kiadó, Budapest, 1986. 374. -413. old.

[4]	Nagy Pillanatok a Matematika Történetében
Gondolat Kiadó, Budapest, 1981.
4. fejezet: BIZÁM György:Semmiből egy új, más világot teremtettem.    Mi a Bolyai-geometria?  103. - 137. old.

[5]	DÁVID Lajos: Bolyai-geometria az Appendix Alapján
Kolozsvár, 1944.  
A Bolyai János Katonai Műszaki Főiskola reprint kiadása
[6]	SAIN Márton: Nincs királyi út Matematikatörténet
Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.

Tartalomjegyzék

Az abszolút, az euklideszi, és a hiperbolikus geometria kapcsolata	
Az inverzióról	
A Poincaré - féle körmodell	
Geometriai alakzatok	
Egyenes	
Szakasz	
Három pont	
Mozgó háromszög	
n oldalú szabályos sokszög	
Párhuzamossági szög	
Egybevágóság	
A sík lefedése	
Sugársorok	
Tartójukkal megadott sugársorok és ciklusok	
Két egyenessel megadott sugársorok és ciklusok	
Három adott pontra illeszkedõ ciklus	
Függvényábrázolás a hiperbolikus síkon	
A modell	
A modell alapkörének a megadása	
Teszt	
Szín és hang beállítása	
Utószó	
Irodalom