Feladatok az Euklides szerkesztőprogram alkalmazására
(Az SZTE JGYTF matematika szakos hallgatói számára)

Az alábbi geometria feladatok - valamint az Euklides program mintafeladatai - szerepelhetnek az Euklídes . c program alkalmazását ellenőrző zárthelyi dolgozatban. A beadandó (házi) dolgozat témáját is e feladatok közül kell választani, kivéve, ha a valaki tárgy gyakorlatvezetőjével ettől eltérő feladatban állapodik meg. Minden hallgatónak más-más feladatot kell megoldania.

A házi dolgozatként beadandó N.euk fájl mellé készíteni kell egy ugyanolyan nevű N.txt fájlt, amely tartalmazza:

(N a feladat orszámát jelenti, pl: 12.euk)

A feladatok áttekinthetőbb megoldásához javasoljuk a fóliák alkalmazását. Az egységesítés érdekében az alábbi színek használatát javasoljuk:
 

Feladatok:
  1. Adott egy R sugarú k kör. valamint egy e egyenes amely a k középpontjától d távolságra van. Szerkesszünk olyan adott r sugarú kört, amely k -t és e -t is érinti! Diszkutáljuk a feladatot!

    2.  
  2. Szerkesszünk kört, amely adott 4 ponttól egyenlő távolságra halad!

    3.  
  3. Egy A csúcsú szög egyik szárán jelöljünk ki egy P pontot és adjunk meg egy t szakaszt! Szerkesszünk a másik száron olyan B pontot, amelyre fennáll, hogy PA +PB =t  !

    4.  
  4. Adott két egymásra merőleges egyenes, e és f, valamint az - adott körüljárású - ABC háromszög. Mi a C pontok mértani helye, ha A illeszkedik az e, B az f egyenesre az összes lehetséges módon?

    5.  
  5. Adott egy d távolság,valamint az A,B és P pont szerkesszünk olyan P-re illeszkedő egyenest,amelynek A-tól és B-től mért távolságainak összege d. Vizsgáljuk a megoldások számát, ha rögzített A és B mellett változtatjuk d-t,ill. P helyét.

    6.  
  6. Adott egy e egyenes és egy rá nem illeszkedő P pont , továbbá egy d távolság. Rajzoljuk meg a B pontok mértani helyét az (e,P) síkban, ha az AB szakasz hossza d, az A pont végigfut az e egyenesen és az (AB) egyenes illeszkedik P-re. (A feladat megoldása az un Nikodémész-féle konchois (kagylógörbe)

    7.  
  7. .Adott egy 45 fokos szögtartomány belsejében a P és Q pont. Szerkesszünk olyan egyenlőszárú háromszöget, amelynek egyik szára P re, másik szára Q ra illeszkedik, csúcsai pedig az adott szög szárain vannak!

    8.  
  8. Adott két koncentrikus kör. Szerkesszünk olyan egyenest, amelyből a körök három egyenlő hosszúságú szakaszt metszenek ki!

    9.  
  9. Az ABC háromszög belsejében felvett P pontnak a BC, CA és AB oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe legyen A', B', ill. C' ! Mutassuk meg, hogy (AA') , (BB') és (CC') egy pontban metszik egymást!

    10.  
  10. Szerkesszük meg azt az ötszöget, amelynek adottak az oldalfelező pontjai!

    11.  
  11. Az ABC egyenlőszárú háromszög BC alapjának felezőpontja D, ennek vetülete az AC száron E, és a DE szakasz felezőpontja F . Mutassuk meg, hogy AF merőleges BE -re!

    12.  
  12. Mutassuk meg, hogy a sík kiparkettázható csupa egybevágó (általános) négyszöggel úgy, hogy a szomszédos négyszögek centrálisan szimmetrikusak a közös élük felezőpontjára!

    13.  
  13. Adott két egyenes és egy rájuk nem illeszkedő pont. Szerkesszünk szabályos háromszöget, melynek egyik csúcsa az adott pont, másik csúcsa pedig egy - egy adott egyenesre illeszkedik! (Diszkusszió!)

    14.  
  14. Adott három koncentrikus kör. Szerkesszünk szabályos háromszöget úgy, hogy csúcsai egy-egy adott körön legyenek!

    15.  
  15. Az ABC háromszög oldalai fölé szerkesszük meg a szabályos ABC1 ,  BCA1  , CBA1   háromszögeket úgy, hogy a szabályos háromszögeknek ne legyen közös lapjuk az ABC háromszöggel. Igazoljuk, hogy az AA1 ,  BB1  , CC1  szakaszok egy pontra illeszkednek, és e pontnak - amennyiben a háromszög mindhárom szöge kisebb 120° -nál - a háromszög csúcsaitól mért távolságösszege minimális.

    16.  
  16. Mutassuk meg, hogy minden négyszög szögfelezői húrnégyszöget zárnak közre!

    17.  
  17. Legyen adott a k kör két pontja A és B , a C pont fusson körbe a k körön! Legyen az ABC háromszög beírt körének középpontja O. Mi az O pontok mértani helye?

    18.  
  18. Legyen adott az ABCD húrnégyszög. Az ABC háromszög beírt körének középpontja legyen P, az ABD háromszögé Q. Mutassuk meg, hogy ABPQ húrnégyszög!

    19.  
  19. Legyen adott az ABCD húrnégyszög, a köréírt köre k.. Az ABC háromszög beírt körének középpontja legyen P, az ABD háromszögé Q.Legyen a k kör BC körívének felezőpontja E, a DA ívének felezőpontja F, Mutassuk meg, hogy PQ párhuzamos EF -el.

    20.  
  20. Legyen adott az ABCD húrnégyszög, köréírt köre k, A K körönkeletkező AB BC, CD és DA körívek felezőpontjai legyenek rendre F1, F2, F3, F4 ! Mutassuk meg, hogy az F1F3 szakasz merőleges az F2F4 szakaszra.

    21.  
  21. Legyen adott az ABCD húrnégyszög. Az ABC háromszög beírt körének középpontja legyen P, az ABD háromszögé Q., a BCD háromszögé R, a CDA háromszögé S Mutassuk meg, hogy a PRSQ négyszög téglalap!

    22.  
  22. Legyen adott a síkban négy pont. Szerkesszük meg az összes olyan négyzetet, amelynek az oldalegyenesei a négy pontra illeszkednek!

    23.  
  23. Két kör A -ban és B -ben metszi egymást. Az A ponton át két szelőt húzunk, ezek másodszor a C és D , ill. E és F pontokban metszik a köröket. EC és DF metszéspontja G . Mutassuk meg, hogy a G, C, D, B pontok egy körön vannak!

    24.  
  24. Az ABCD konvex négyszög oldalaira állítsunk négyzetet kifelé! Mutassuk meg, hogy a szemközti négyzetek középpontját összekötő szakaszok egyenlő hosszúak és egymásra merőlegesek!

    25.  
  25. Vegyünk fel egy egyenesen A, B, C ponthármast! Az egyenes ugyanazon oldalán legyenek D és E olyan pontok, hogy ABD és BCE háromszögek egyenlőoldalúak! Jelölje az AE szakasz felezőpontját X, a DC szakasz felezőpontját Y . Mutassuk meg, hogy a BXY háromszög egyenlőoldalú!

    26.  
  26. Szerkesszünk szabályos ötszöget, ha adott a köré írt kör középpontja és egy csúcsa.

    27.  
  27. Szerkesszünk szabályos ötszöget, ha adott két szomszédos csúcsa.

    28.  
  28. Szerkesszünk szabályos ötszöget, ha adott két nem szomszédos csúcsa.

    29.  
  29. Adott négy pont a síkon.. Szerkesszük meg azokat a köröket, melyek mind a négytől egyenlő távolságra vannak.
  30. Adott az A és B pont, valamint a c egyenes. Szerkesszük meg azt a k kört, amely illeszkedik A-ra és B-re, továbbá érinti c-t.!(Diszkusszió)

    31.  
  31. Adott az egymással egyirányú A1B1 , A2B2 és A3B3 vektor. Legyen P, az A1A2 és B1B2, egyenesek metszéspontja, hasonlóan Q az A2A3 és B2B3, egyenesek, R az A3A1 és B3B1, egyenesek metszéspontja. Mutassuk meg, hogy a P,Q R pontok kollineárisak!

    32.  
  32. Készítsünk a Sierpinski háromszöget demonstráló rajzot. (A legkisebb háromszög oldala legfeljebb 1/32 -ed része legyen az eredetinek.)

    33.  
  33. Adott három kör. Szerkesszünk olyan kört, amely mindhármat merőlegesen metszi!

    34.  
  34. Adott a k kör valamint az A és B pont. Szerkessze meg azt a kört, amely illeszkedik az adott pontokra és merőlegesen metszi k -t!

    35.  
  35. Adott a k kör, valamint a k körön belül az A és B pont. Szerkesszük meg azt a k -ra merőleges s kört, melyre vonatkozóan A és B egymás inverzei!

    36.  
  36. Adott egy ellipszis konjugált átmérőpárja. Szerkesszük meg az ellipszis tengelyeit a RYTZ szerkesztés módszerével.

    37.  
  37. Adott egy ellipszis konjugált átmérőpárja. Szerkesszük meg az ellipszis tengelyeit affinitással.

    38.  
  38. Adott egy tengelyes affinitás tengelyével és egy pontpárjával. Szerkesszük meg egy adott kör affin képét.

    39.  
  39. Egy affinitás a tetszőlegesen megadott A1B1C1 háromszöget az ugyancsak tetszőleges A2B2C2 háromszögbe viszi. Szerkesszük meg az A1B1C1 háromszög köréírt körének az affin képét!

    40.  
  40. .Szerkesszük meg egy szabályos hatszögalapú ferde gúla hálózatát!

    41.  
  41. .Szerkesszük meg egy szabályos hatszögalapú ferde hasáb hálózatát!

    42.  
  42. Szerkesszünk egy Desarques alakzatot.

    43.  
  43. Szerkesszük meg egy - projektív geometriai értelemben vett háromszögnek egy adott körre vonatkozó duálisát.

    44.  
  44. Adott egy kör. Vegyünk fel egy teljes négyszöget, és az adott körre vonatkozó duálisát amely teljes négyoldal.

    45.  
  45. Szerkesszünk harmonikus pontnégyest teljes négyoldal felhasználásával.

    46.  
  46. Szerkesszünk harmonikus sugárnégyest teljes négyszög felhasználásával.

    47.  
  47. Legyen adott két kollineáris ponthármas: A1, B1, C1 és egy másik tartó egyenesen az A2 B2,C2 , Mozgassunk egy D1 pontot az A1B1C1 tartóegyenesén. Mutassuk meg, miként mozog a neki megfelelő D2 pont, ha (A1B1C1D1) = (A2B2C2D2).

    48.  
  48. Rajzoljunk a sík egy adott pontján átmenő konfokális (azonos fókuszponttal rendelkező) ellipszist és hiperbolát.Szerkesszük meg az adott ponthoz tartozó érintőiket, és mutassuk meg, hogy a konfokális hiperbola és ellipszis merőlegesen metszik egymást!

    49.  
  49. Legyen adott a k(O,r) kör és egy F pont. Fusson végig a P pont a k körön. Mi a Q pontok mértani helye, ha Q az FP szakasz felező merőlegesének és (OP)-nek a metszéspontja?

    50.  
  50. Legyen adott az e egyenes és egy F pont. Fusson végig a P pont az e egyenesen. Mi a Q pontok mértani helye, ha Q az FP szakasz felező merőlegesének és (P-n átmenő e-re merőleges egyenesnek a metszéspontja?

    51.  
  51. Adott egy kúpszelet öt általános helyzetű pontjával, valamint az egyikre illeszkedő egyenes. Rajzoljuk meg a kúpszeletet, majd szerkesszük meg az adott egyenesnek a kúpszelettel alkotott másik metszéspontját. Adjuk meg e hat ponthoz tartozó Pascal egyenest.

    52.  
  52. Adott 4 pont és egy egyikre illeszkedő egyenes. Rajzoljuk meg azt a kúpszeletet, melynek az adott egyenes érintője, és illeszkedik a négy adott pontra.

    53.  
  53. Adott három pont és két egyenes amelyek egy-egy adott pontra illeszkednek. Rajzoljuk meg azt a kúpszeletet, melynek az adott egyenesek érintői, és illeszkedik az adott pontokra.

    54.  
  54. Adott három egyenes és két pont amelyek egy-egy adott egyenesre illeszkednek. Rajzoljuk meg azt a kúpszeletet, melynek az adott egyenesek érintői, és illeszkedik az adott pontokra.

    55.  
  55. Adott négy egyenes és egy pont amely egyik adott egyenesre illeszkednek. Rajzoljuk meg azt a kúpszeletet, melynek az adott egyenesek érintői, és illeszkedik az adott pontra.

    56.  
  56. Adott öt egyenes. Rajzoljuk meg azt a kúpszeletet, melynek az adott egyenesek érintői!

    57.  
  57. Adott egy parabola tengelyének az iránya (ideális pontja) és további három pontja. Szerkesszük meg az egyik adott ponthoz tartozó érintőjét, és szerkesszük meg a tengelyét!

    58.  
  58. Adott egy parabola tengelye és két pontja. Szerkesszük meg a csúcspontját, majd a csúcspont ismeretében a fókuszát!

    59.  
  59. Rajzoljuk meg a parabolát, ha adott a fókusza és egy pontja, valamint e ponthoz tartozó érintője!

    60.  
  60. Adottak a hiperbola aszimptotái és egy pontja. Szerkesszük meg az adott ponton átmenő tetszőleges egyenessel alkotott másik metszéspontját. Ez alapján rajzoljuk meg a hiperbolát!

    61.  
  61. Igazoljuk, hogy egy kúpszeletbe írt háromszög csúcsaiba húzott érintőknek a beírt háromszög szemközti oldalaival alkotott metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek!

    62.  
  62. Adott egy centrális kollineáció centruma, tengelye és eltűnési egyenese. Vegyünk fel egy kört, majd rajzoljuk meg - a kör bármely helyzetében a kollineációval kapott képét!

    63.  
  63. Adott egy centrális kollineáció centruma, tengelye és eltűnési egyenese. Vegyünk fel egy kört, amely érinti az eltűnési egyenest! Szerkesszük meg a kör kollineációval kapott képét, amely parabola! A parabolát adjuk meg fókuszával és direktrixével! Rajzoljuk meg a parabolát (nem a mértani helyeket rajzoló programrészlettel.)

    64.  
  64. Adott egy centrális kollineáció centruma, tengelye és eltűnési egyenese. Vegyünk fel egy kört, amely metszi az eltűnési egyenest. Szerkesszük meg a kör kollineációval kapott képét, amely hiperbola. A hiperbolát adjuk meg fókuszaival. És aszimptotáival. Rajzoljuk meg a hiperbolát (nem a mértani helyeket rajzoló programrészlettel.)

 Vissza