Sugársorokkal kapcsolatos feladatok




Sugársornak nevezzük az egy pontra  illeszkedõ egyenesek halmazát. Az alábbi feladatok mindegyikében egy-egy sugársor véges sok elemét (egy pontra illeszkedõ egyenest ill. félegyenest) rajzolunk többnyire olyanokat, hogy a szomszédos elemek ugyanakkora szöget zárjanak be egymással.
 

S1. feladat:
Vegyünk fel olyan félegyeneseket, melyek kezdõpontja közös és mindegyik félegyenes a szomszédjával ugyanakkora 7.5°-os szöget zárjon be.

Megoldás Egy  középpontjával és egy kerületi  pontjával adott kört 60°-onként osztottuk be, majd az így kapott sszögeket rendre felezgettük, amíg a kellõ beosztást el nem értük. S1.euk


S2. feladat:
Tekintsünk két pontot, vegyünk fel e pontokból kiinduló félegyeneseket, melyek közül  a szomszédosak ugyanakkora szöget zárnak be egymással. Kesessük meg két tetszõlegesen választott félegyenes metszéspontját, majd ebbõl kiindulva rendre képezzük az innen induló ciklusok azonos elemeinek (tehát az elsõ, második, stb félegyeneseinek) a metszéspontjait. Milyen alakzatra illeszkednek az így kapott pontok, ha a két ciklus

     a.)   azonos körüljárású:   S2a.euk

     b.) ellentétes körüljárású.  S2b.euk

Megjegyzés: A  sugársorok felvételéhez az S1 feladat eredményét használtuk.
Az a.) feladatban könnyen igazolható a kerületi szögek tétele alapján, hogy a kapott pontok egy körre illeszkednek.
A b.) feladatban  - úgy tûnik - a kapott mértani hely egy egyenlõszárú hiperbola, (melynek a tengelyei merõlegesek egymásra). Próbáljuk ezt igazolni,

S3 feladat: Adott egy kor. Messük el a körvonalat egy sugársor elemeivel. Minden metszéspontba állítsunk merõlegest a metszéspontot elõállító egyenesre.  Mutassuk meg, hogy ílymódon egy ellipszis ,vagy kiperbola burkolóseregét kapjuk attól függõen, hogy a sugársor tartója belül, vagy kívül van a körön. S3.euk Mit kapnánk, ha a sugársor tartója éppen illeszkedne a körre?

Vissza: