AKIKRÕL GEOMETRIA ÓRÁKON HALLOTTUNK...  
  A GEOMETRIÁBÓL TANULTAK RÖVID ÁTTEKINTÉSE  

Arkhimédész (Kr.e. 290/280-Kr.e.212/211)

Az ókori Görögország  leghíresebb matematikusa és feltalálója. Nevéhez fûzõdik a gömb felszíne és térfogata, valamint a köréírt henger közötti összefüggés feltárása. Neve a hidrosztatika egyik alapelvének megfogalmazásáról (Arkhimédész törvénye) és a víz kiemelésére használt eszközökrõl ismert.
Pályafutásának egy korai szakaszától eltekintve, amikor egy ideig a kor szellemi központjában, Alexandriában élt, Arkhimédész életének nagy részét Syracuse görög városállamban töltötte. Harci gépeket szerkesztett, amelyek lényegesen hátráltatták a várost ostromló római hadakat. Arkhimédészt egy római katona ölte meg.
Saját korában nagy népszerûség övezte találmányait ( arkhimédészi csavar és két éggömb) és harci gépeit. Elméleti munkái ( a gömb felszínére és térfogatára adott képletek) olyan közérthetõek voltak, hogy matematikai közhelyekké váltak, s az általa a pí-re adott 22/7-es becslés még a középkorban is általánosan használt közelítés volt.
Arkhimédésznek kilenc, máig ismert tanulmánya ismeretes, de késõbbi szerzõk utalásai szerint számos egyéb mûvet is írt, melyek elvesztek.

Legjelentõsebb mûvei: A gömbrõl és a hengerrõl, A kör mérése, Az úszó testekrõl, A homok megszámlálásáról, Mechanikai tételekre vonatkozó módszer  

Apollóniosz (Kr.e. 262?-190?)

Apollóniosz, az alexandriai iskola nagy görög matematikusa és csillagásza. Alexandriában és a kisázsiai Pergamoszban tanított.
Fõ mûve a 8 kötetes  Konika (A kúpszeletek). Ebbõl az elsõ négy kötet maradt meg eredetiben görög nyelven, és további három kötetét arab fordításban ismerjük. Más szerzõk (pl. Pappos) mûveiben fellelhetõ magyarázatokból, hivatkozásokból hiányzó munkái némiképpen rekonstruálhatók. A Konika a három kúpszelet klasszikussá vált, sokáig legalaposabb tárgyalása. A kúpszeletek mai neveit is Apollóniosz adta. Tárgyalásmódja indokolttá teszi azt az állítást, hogy mûve a koordinátageometria elõfutára. A XVII. századbeli matematikusok az õ eredményeit fogalmazták meg az algebra nyelvén, és alapozták meg ilyen módon az analitikus geometriát.
Elveszett mûvei közül töredékben ismeretes az "Érintkezési pontok" címû. Ebben szerepelnek azok az Apollóniosz-féle feladatok, melyekben három adott körhöz érintõkör szerkesztendõ, ha megengedjük, hogy az adott körök helyett egyenes vagy pont is szerepelhessen. Szintén az õ nevét õrzi az Apollóniosz-kör, amely a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott ponttól mért távolságaik aránya állandó. Az elsõk között õ tételezte fel, hogy a szerkesztési feladatokhoz csak körzõ és vonalzó használható.
Ptolemaiosz 'Almagent'-jének hivatkozásai alapján ismert, hogy Apollóniosz bevezette az excentrikus és epiciklus mozgás fogalmát a bolygók mozgásának magyarázatára.

Mûvei: Kúpszeletek, Adott arányban való metszésrõl, Érintésekrõl, Síkbeli mértani helyekrõl, A térmetszésrõl, A meghatározott metszésrõl, Gyújtótükör, Hengeres csavarvonal, A dodekaéder és ikozaéder összehasonlítása, A gyors szállítás ( a  pí Arkhimédész által adott 3 1/7-nél ill. 3 10/71-nél pontosabb közelítését adta meg), Rendezetlen irracionálisokról. (Mûveit latinra fordította Regiomontanus a XV. században.)

Bolyai János (1802-1860)

Kolozsváron született magyar matematikus, egyike a nemeuklideszi geometria felfedezõinek.
Bár tíz éves korában még semmit sem tudott matematikából, tizenhárom évesen apjának, a kiváló matematikus Bolyai Farkasnak ( Bolyai Farkast 1804-ben választotta tanárává a marosvásárhelyi református kollégium. Az õ hatása alatt, fia már négy éves korában kezdte elsajátítani az alapvetõ geometriai fogalmakat.) irányításával elsajátította a kalkulust és az analitikus mechanikát. Már fiatalon tökéletesen hegedült, késõbb pedig remek kardforgatóként ismerték. Kitûnõen beszélt német és latin nyelven. Bécsben a katonai mérnökakadémián tanult (Akadémiai felvételi vizsgája olyan jól sikerült, hogy akadémiai tanulmányait rögtön a negyedik évfolyamon kezdhette meg.), majd a mérnökhadtestnél szolgált.
 Az idõsebb Bolyait egész életében foglalkoztatta Euklidész párhuzamossági axiómája, s ez a megszállottság fiára is átragadt, aki rendületlenül kutatott a megoldás után míg 1820-ban arra a következtetésre jutott, hogy a bizonyításra nincs mód, ekkor elkezdte felépíteni az euklidészi axiómától független geometriát. 1823-ban küldte el apjának a "Függelék. A tér abszolút igaz tudományának kifejtése" címû vázlatát, a nem euklidészi geometria teljes és következetes rendszerét. ( Mielõtt mûvét kiadta volna rádöbbent, hogy Gauss megelõzte õt.) A "Függeléket" apjának Kísérlet a tanulóifjúság bevezetésére a tiszta matematika elemeibe címû munkájával együtt adatta ki, de ezt a többi matematikus figyelmen kívül hagyta. E mû különlenyomatát 1831-ben Bolyai Farkas elküldte Gaussnak véleményezés végett. Gauss ekkor már tekintélyes matematikus volt és nyilvános dicsérete megnyithatta volna Bolyai János számára a tudományos életben az érvényesülés útját. A válasz - nem a Bolyaiak várakozásának megfelelõ - mindössze jókívánságokkal és elismeréssel teli levél volt. 1848-banfelfedezte, hogy Lobacsevszkij is írt ugyanerrõl a geometriától.
1833-ban kapitányi ranggal félrokkantként nyugdíjazták. A következõ 15 évet feleségével és gyermekeivel domáldi birtokán töltötte. További kutatásokat végzett és és megírta Responsio (Felelet) címû munkáját, amit figyelemre sem méltattak. Korát megelõzve adta meg a komplex számok elméletét, az alkalmazás példáit a Bolyai-geometriából vette, amelyet a bírálók akkor még nem ismerhettek. Az újabb mellõzés lelkileg méginkább tönkretette, betegsége súlyosbodott. 1860-ban tüdõgyulladást kapott és meghalt.
A világ eddig élt tíz legnagyobb matematikusa között tartják számon.
  

Brianchon, Charles Julien (1783-1864)

Brianchon, francia matematikus. 21 éves korában felelevenítette a Pascal-tételt és egy ahhoz hasonló, róla elnevezett tételt (Brianchon-tétel) fedezett fel. A tétel hasznos a kúpszeletek (kör, ellipszis, parabola, hiperbola) tulajdonságainak vizsgálatában. Tétele szerint: egy kúpszelet köré írható érintõhatszög átellenes végpontjait összekötõ átlók egy pontban metszik egymást. Késõbb a dualitás elvének felfedezése után kiderült, a Brianchon-tétel a Pascal-tétel duálja, tehát nem tudatosan ugyan, de Brianchon tételével a projektív geometria egy fontos és igen hatékony alapelvét demostrálta.
Brianchon Sévres-ben Párizs elõvárosában született. 1804-ben iratkozott be a párizsi École Polytechnique-ra, ahol Monge tanítványa lett. Még diákként publikálta elsõ cikkét Jegyzetek a másodfokú görbe felületeirõl címmel, amelyben felismeri Pascal egyik tételének projektív jellegét, és közli saját híres tételét. Évfolyamelsõként végzett és bevonult Napóleon seregébe tüzérhadnagyként. A harctéri szolgálat megviselte egészségét. 1818-ban Vincennes-ben a Királyi Testõrség Tüzériskolájának professzora lett.  

Cauchy, francia matematikus. A párizsi École Polytechnique intézetet 1794-ben a francia forradalom idejében nyitották meg. Célja hadmérnökök képzése volt. Késõbb általában a mérnökképzés kiváló iskolájává alakult. Itt végzett Cauchy 18 éves korában, mint a legkiválóbb elõmenetelû növendékek egyike.Ezután tanulmányait a Közlekedési Utak Intézményében folytatta. 1813-ig mérnökként mûködött, 1816-ban a párizsi akadémia tagja és az École Polytechnique professzora lett. Itt Franciaország legjobb matematikusaival dolgozott együtt. Az 1830-as júliusi forradalom emigrációba kényszerítette, mert királypárti meggyõzõdésével a köztársaságot nem tudta elfogadni. Tanszékét elhagyta, és Torinóban, majd Prágában élt. 1838-ban tért vissza hazájába és a jezsuiták kollégiumában tanított. 1848-ban nevezték ki a párizsi Sorbonne professzorává. A forradalom után tovább taníthatott, anélkül, hogy a köztársaságra felesküdött volna.
Tudományos produktivitása rendkívüli volt. A biográfiákban 789 publikált munkája szerepel. Közülük legtöbb a matematikai analízis különbözõ területeivel és alkalmazásaival foglalkozik.
Megalapozta a differenciál- és integrálszámítást, támaszkodva a határértékelméletre. Jelentõs eredményeket ért el a differenciálegyenletek elméletében is. Nagy érdeme a komplex változós függvények elméletének megalapozása. Foglalkozott geometriával, számelmélettel, algebrával, rugalmasságelmélettel és optikával is.
Cauchy  École Polytechnique-on matematikai analízisbõl tartott elõadásokat. Elõadásainak anyagát tankönyvekben publikálta.

Legjelentõsebb mûvei: Analízis kurzus (1821), Elõadások az infinitézimális számításról (1823), Elõadások a differenciálszámításról (1829), Értekezés a komplex határok között vett határozott integrálokról (1825).

Cayley, Arthur (1821-1895)

Az elméleti matematika modern brit iskolájának megalapításában vezetõ szerepet játszó angol matematikus. Családja Oroszországban élt, majd késõbb Angliában telepedtek le. Figyelemreméltó matematikai képességei már gyermekkorában megmutatkoztak. Apja 1839-ben beíratta a Cambridge-i Egyetem Trinity College-ába, ahol megtanult görögül, franciául, németül, olaszul és kiváló eredményeket ért el matematikából. 1842-ben megbízatást kapott Trinity-ben és ekkor kezdett el azokkal a matematikai feladatokkal foglalkozni, amelyek a következõ ötven évben lekötötték. Megbízatása lejártakor nem tudott matematikusi állásban elhelyezkedni, így belépett a londoni Lincoln's Inn jogásztestületbe és ügyvédként dolgozott 14 évig. Ez idõ alatt matematikával is foglalkozott. Ekkor írta tanulmányait. Munkássága az elméleti matematika csaknem valamennyi területét érinti. A többdimenziós terek geometriájának fejlesztésében elért eredményei jelentõsen hozzájárultak a relativitás négy dimenziójának (tér-idõ) megértéséhez. Lényegesek azért is, mert meghaladják a pontokra és az egyenesre való hagyatkozást a geometriai terek meghatározásában. Olyan módszert dolgozott ki, amely egyesíti a projektív - az alakzatok állandóságától függõ - geometriát és a metrikus - szögek nagyságától és egyenes szakaszok hosszától függõ - geometriát. Az algebrai geometriában megadta a geometriai értelmezését az elsõ- és másodfokú n ismeretlenû egyenletrendszernek. Foglalkozott differenciál-egyenletekkel, elliptikus függvényekkel; megteremtette a mátrixok algebráját; bevezette az absztrakt csoport fogalmát, stb.
1863-ig dolgozott ügyvédként és ekkor választották meg Cambridge-ben matematika professzornak. Támogatásával nõi hallgatókat is felvettek az egyetemre. Órái azonban kevés diák érdeklõdését keltették fel.
 

Szinte minden tudományos kitüntetést megkapott, több egyetem tiszteletbeli diplomát adományozott neki, számtalan ország akadémiája választotta meg rendes vagy külföldi levelezõ tagjának.

Cavalieri, Francesco Bonaventura (1598-1647)

Cavalieri, olasz matematikus, geometriai eredményei hozzájárultak az integrálszámítás megalapozásához. Cavalieri gyermekként csatlakozott a Szent Jeromos Apostol Papjai szerzetesrendhez, amely Szent Ágoston tanait követte. Euklidész mûvei felkeltették matematikai érdeklõdését, majd miután megismerkedett Galilei munkásságával, a nagy csillagász tanítványának tekintette magát. 1629-re, amikor a Bolognai Egyetem matematika professzorának nevezték ki, Cavalieri teljesen kifejlesztette az „oszthatatlan mennyiségek" módszerét, amely az integrálszámításhoz hasonló módon határozta meg a geometriai alakzatok méretét. Eredményeit hat évig nem közölte, mivel mestere, Galilei hasonló munkát tervezett. Cavalieri mûve 1635-ben jelent meg Az oszthatatlan mennyiségeknek új módszerrel kidolgozott geometriája címen. Módszerét súlyos bírálatok érték, így Cavalieri tökéletesítette elméletét és a Hat geometriai kísérlet (1647) c. mûvében közzétett változatot a matematikusok széles körben alkalmazták a XVII. század folyamán. E két mû tette nevét halhatatlanná. A maga korában mindkettõ komoly vetélytársa volt Kepler Hordószámítás címû mûvének. Ezekben dolgozta ki Kepler és Galilei elképzelései nyomán az oszthatatlanok elméletét. Visszament Arkhimédésznek ahhoz az alapötletéhez, hogy egy síkidomot párhuzamos húrjai vagy egy testet párhuzamos síkmetszetei összességének tekintett. Ez valójában a geometriában tarthatatlan atomos felfogás. A síkidom atomjai, oszthatatlanjai a húrok, a testé pedig a síkmetszetek. Ezt a gondolatot továbbfejlesztve építette fel terület- és térfogatszámítási eljárását, amely késõbb a határozott integrál fogalmához vezetett.

Egyéb mûvei: Directorium Generall Uranometrikum (logaritmus számítás), Az égõ tükör, avagy értekezés a kúpszeletekrõl, Lineáris és logaritmikus sík- és gömbháromszögtan.

Dandelin, Germinal Pierre (1794-1847)

Belgiumban élt francia mérnök. A kúpszeletek vizsgálatával kapcsolatos, róla elnevezett gömbök tették nevét ismertté. Ábrázoló geometriával, differenciálgeo metriával és differenciálegyenletekkel foglalkozott.
Apja francia adminisztrátor, anyja pedig Hainautból ( ma Belgiumban van ) származik. Dandelin Ghentben tanult, majd 1813-tól École Polytechnique hallgatója lett Párizsban. Karrierjére nagy hatással voltak a zavaros politikai események. 1813-ban önkéntesként harcolt a britek ellen. 1814-ben a chamounti egyezmény egyesítette Ausztriát, Oroszországot, Poroszországot és Nagy-Britanniát Napóleon ellen. 1814. márciusában a Párizs melletti csatában Dandelin is részt vett a francia oldalon és megsebesült. A franciák veszítettek, egy év múlva Napóleon visszatért a száznapos háborúban. A Napóleoni idõkben Dandelin a francia Belügyminisztériumban dolgozott, majd Napóleon waterlooi veresége után visszatért Belgiumba. Belgiumban továbbra is a hadseregben dolgozott, mint mérnök. 1825-tõl öt évig Liége-ben bányamérnök professzor volt, 1835-ben kinevezték a Namur, Liége és Brüsszel épületeit védõ csapatok élére.
Dandelin elsõ matematikai próbálkozásai Quetelet-nek köszönhetõk. Érdeklõdése a geometria felé fordult. Legfontosabb tételét, amely a kúpfelületet, azaz annak minden alkotóját és a metszõ síkot is érintõ gömbökrõl szól 1822-ben dolgozta ki. Ezeket a gömböket Dandelin-féle gömböknek nevezzük. A tétel azt is kimondja, hogy a kúpszelet fókuszai azok a pontok, ahol a sík érinti a beírt gömböt.
Dandelin foglalkozott még a geometrián belül a gömb síkra való sztereografikus vetítésével, statisztikával, algebrával, valószínûség számítással. Eljárást dolgozott ki az algebrai egyenletek gyökeinek meghatározására, ezt a módszert Dandelin-Gräffe eljárásnak nevezzük.
Több elismerés mellett a Királyi Tudományos Akadémia tagjává választották Brüsszelben, 1825-ben.  

Desargues, Girard (1593-1662)

Francia matematikus és építész. Lyon-ban élt. 1626 és 1650 között Párizsban matematikával és fizikával foglalkozott. 1635-ben a párizsi Akadémia tagja lett. 1636-ban könyvet írt a perspektíváról. E mûben elõször alkalmazta a perspektíva megszerkesztéséhez a koordináta- módszert és az axonometria alapelveit. 1639-ben érdekes címû mûve jelent meg a kúpszeletekrõl: "Brouillon-Projet d'une atteinte aux événements des renconres d'un cone avec un plan" - "Javasolt kísérlettervezet arra vonatkozóan, hogy miként kell cselekedni olyan esetekben, amikor egy kúp egy síkkal találkozik". E projektív geometriai mûben a szintetikus geometria alapelvei olvashatók. A perspektíva háromszögekre vonatkozó tétele 1648-ban jelent meg.
Kezdeményezõ gondolatait korában nem sokan fogadták el. Azzal, hogy az ókori geometria projektív elemeit életre keltette és kibõvítette, megtalálta a geometriai kutatás egyik általános módszerét, megteremtve ezzel a szintetikus geometriának nevezett, sok ötletet kívánó, de éppen ezért igen érdekes ágát. ( Õ vezette be például az egyenes végtelen távoli pontjának és a sík végtelen távoli egyenesének fogalmát. )
Számos írása közül kiemelkedõ az 1648-ban megjelent, amely a perspektivitás elméletét alapozta meg. Desargues törekvései, emelyek a perspektíva elméletet, azaz a projektív transzformációk egyik fajtáját tették a geometriai kutatások alapjává, nem találtak általános megértésre. Ennek egyik oka volt Desargues-nak a matematikusok számára szokatlan nyelvezete. A másik ok pedig az, hogy mûveit nem árusította, hanem csak barátainak küldözgette szét. Gyakorlatilag mûvei hosszú idõre elvesztek, és a rokon elképzelésekkel rendelkezõ Pascal-mûvekkel együtt feledésbe merültek. Jelentõségük újrafelfedezésük után, a XIX. században nõtt.  

Euklidész (Kr.e.III.század eleje)

Euklidész, görög matematikus, életérõl annyit tudunk biztosan, hogy I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Két anekdota ismeretes hozzá kapcsolódóan, Proklosz írta le, hogy I. Ptolemaiosz királynak arra a kérdésére: Miként lehetne a geometriát könnyen elsajátítani? Euklidész azt felelte: " A geometriához nem vezet királyi út." , és ezt még egy gondolattal megtoldotta: " Munka nélkül nincs kenyér sem geometria." Hasonló mondás forgott közszájon Menaikhszosz-ról, Nagy Sándor egyik nevelõjérõl is.
A másik elbeszélés szerint, amikor egyik tanítványa megkérdezte az alexandriai mestertõl, hogy mi haszna van a geometria tanulásának, Euklidész odaszólt egyik rabszolgájának, mondván: " Adj ennek az embernek három oboloszt, mert hasznot akar húzni tanulmányaiból." . Pappos szelíd, béketûrõ, segítõkész embernek jellemezte Euklidészt. Mindössze ennyi, amit életérõl tudunk.
Legismertebb mûve a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve melyek közül azonban az utolsó kettõ valószínûleg alexandriai Hypsiklestõl való. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása, melyet már az ókorban nagyra becsültek, s mely tekintélyébõl még ma sem veszített. A Stoichea összefoglaló írásmû, de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Mint a legtöbb összefoglaló mû, ez is forrásmunkák alapján íródott. Az axiomatikus tárgyalásban Euklidész Stoichea-ját évezredekig nem sikerült felülmúlni. A mûvet nem az eredetiség, nem a matematikai alkotás tette halhatatlanná, hanem a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása. Kilenc axióma - és öt posztolátum rendszerénél tökéletesebbet a XIX. sz. végéig nem sikerült összeállítani. Axiómarendszerét késõbb Hilbert egészítette ki. A mû arab fordításban maradt ránk. A XII. sz.-ban fordították le latinra, és a XV. sz.-ban több nyelven is megjelent. Magyarul elõször csak néhány tétele jelent meg 1655-ben Apáczai Csere János (1625-1659) Magyar Encyclopedia - jában. A teljes könyvet elõször 1865-ben Brassai Sámuel fordította le magyar nyelvre.

Egyéb mûvei: Data, a geometriai analízis elemei; De divisionilus, feladatok gyûjteménye; Poriszmata (tételek), Az alakzatok felbontásáról.
Nem matematikai tárgyú mûvei: Phaenomena, a csillagok mozgásáról; Optika, Katoptrika (fénytan), Katatomé Kanónon (zeneelmélet). Több mûve elveszett, pl: Álkövetkeztetések, Helyek a felületen. .  

Euler, Leonhard (1707-1783)

Német matematikus és fizikus. Elõbb teológiai pályára lépett, s csak késõbb kezdte matematikai tanulmányait. Apja Jákob Beroulli-tól tanult matematikát, õ maga pedig Johann-tól. Amikor 1725-ben Johann Nikolaus nevû fia Szentpétervárra utazott, a fiatal Euler követte és 1741-ig az Akadémián maradt.
Szentpétervárott az akadémián 1727-ben adjunktus, majd tanár lett. 1741-ben II.Frigyes hívására Berlinbe ment, ahonnét 1766-ban tért vissza Szentpétervárra. Kétszer nõsült és tizenhárom gyereke volt. Teljesen elvesztette szeme világát, de haláláig tovább dolgozott. A vak Euler, akinek ragyogó emlékezõtehetsége volt, tovább diktálta felfedezéseit. Életében 530 könyvet és értekezést írt; halála után sok kéziratot hagyott hátra, amelyeket a szentpétervári akadémia 47 éven át tett közzé. Ezáltal mûveinek száma 771-re emelkedett és Gustav Eneström kutatásai révén 886-ra emelkedett. Egyike volt a legtevékenyebb és legsokoldalúbb matematikusoknak, akinek nevéhez számos felfedezés s a variációszámításnak a megalkotása fûzõdik. A matematika minden ágában alapvetõ munkát végzett. Számos téren majdnem végleges az, amit alkotott. Példa erre a trigonometria, a trigonometriai függvények hányadosként való felfogása és szokásos jelölésük. Foglalkozott a végtelen sorfejtés elméletével. Jelentõs munkái közé tartozik a törzsszámok elmélete, a differenciál- és integrálszámítás, a differenciál- egyenletek elmélete. Neve többek között fennmaradt az Euler-féle poliéder tétel ( az egyszerû zárt poliéder csúcsai, lapjai és élei közötti összefüggés), a háromszög Euler-vonala, az állandó szélességû görbék és az Euler-féle állandó elnevezésekben.
A matematika mellett foglalkozott fizikával, mechanikával, csillagászattal, könyvet írt a hidraulikáról, a hajótervezésrõl, a tüzérségrõl.
Mintegy 40 évvel halála után sok kiadatlan munkáját találták meg, amelyek két nagy kötetben Opera posthuma néven jelentek meg. Születésének 200. Évfordulója alkalmából gyûjtés útján biztosították összes munkáinak négy kötetre tervezett kiadását.
 
Jelentõsebb mûvei: Introductio in analyzis infinitorum (1748); Institutiones calculi differentials (1755); Institutiones calculi integralis (1768-1777); Mechanica, sive motus scientia analytice exposita (1736); Volstandige Anleitung zur Algebra (1770). .  

Fibonacci, Leonardo (1170-1250?)

Olasz matematikus. Ezen a néven (Bonacci fia) vált ismertté Leonardo Pisano (a pizai Leonardo). Apja a gazdag itáliai városnak, Pisa-nak volt kereskedelmi ügyvivõje Algírban. Leonardo itt tanulta a matematika alapjait. A matematika mellett elsajátította az arab nyelvet és felébredt érdeklõdése az arabnyelvû tudományos irodalom iránt is. Mint kereskedõ bejárta Szíriát, Észak-Afrikát, Hispániát, Szicíliát. Vele született tudományszeretetével, nyitott szemmel, sokat utazott. Üzleti útjain ismerte meg a  Kelet mûveltségét és ezen belül matematikáját.
1202-ben bevezette az arab számokat Európába. Ezeket fõleg a kereskedelmi számvitel alkalmazta. Néhány évtized múlva  már minden kereskedelmi gyakornoknak ki kellett ismernie magát a négy számtani alapmûveletben, amelynek titkába addig csak maroknyi matematikus volt beavatva.
Az összegyûjtött és általa kiegészített aritmetikai és algebrai ismereteket a "Liber Abaci" (Könyv az abakuszról) címû mûvében foglalta össze.1220-ban "Practica Geometriae" címû könyvében geometriai felfedezéseit írta le. Könyveiben sok olyan példát találunk, amelyek másai nincsenek meg az arab irodalomban, pl.: A Fibonacci-sorra (0,1,1,3,5,8,13,21,…) vezetõ probléma.

Feuerbach, Karl Wilhelm (1800-1834)

Német matematikus. Kitûnõ tanuló volt, 22 éves korára doktori címet szerzett és kinevezték az erlangeni gimnázium professzorává. Ezalatt az idõ alatt egy igen jelentõs matematikai lap kiadója is volt. Életét nehézségek kísérték. Tanári karrierje mindössze hat évig tartott. Egészségi állapota egyre gyengült. 1828-ban visszavonult a tanítástól. Élete hátralévõ hat évét Erlangenben remete ként töltötte.
Õ fedezte fel a háromszög kilenc ponti körét. Ezt idõnként pontatlanul Euler körnek is nevezik. Feurbach bebizonyította, hogy a kilenc ponti kör érinti a háromszög beírt és három körülírt körét. Ez a, Feuerbach nevét megalapozó, felfedezés 1822-ben jelent meg. Feuerbach a következõket írta: " A kör, ami áthalad a háromszög magasságainak talppontjain érinti a háromszög négy érintõkörét, belülrõl érintkezik a háromszög beírt és kívülrõl háromszög körülírt köreivel."
A kilenc ponti kör már egy évvel korábban említve volt Brianchon és Poncelet munkájában. Azt a pontot, ahol a beírt kör és a kilenc ponti kör érinti egymást Feuerbach pontnak nevezzük.
Másik jelentõs munkája 1827-ben jelent meg. Ezt a munkát Moritz Cantor is tanulmányozta és felfedezte, hogy Feuerbach bevezette a homogén koordinátákat, így Möbius mellett õt tekintjük a homogén koordináták társfeltalálójának.  

Gödel, Kurt (1906-1978)

Osztrák származású amerikai matematikai logikus, a Gödel-tétel (vagy -teoréma) szerzõje; eszerint minden axiómára épülõ, szigorúan logikus matematikai rendszerben vannak olyan állítások (vagy kérdések), amelyek se nem bizonyíthatók, se nem cáfolhatók az illetõ rendszer axiómáiból kiindulva. Tehát így az sem biztos, hogy az aritmetika alapvetõ axiómáiból nem fakadhatnak ellentmondások. Eredménye a XX. századi matematika mérföldköve lett, máig foglalkoztatja a kutatókat és gondolkodókat.
Foglalkozott még algebrával, geometriával, halmazelmélettel, számítástechnikával is.
Gödelt 1930-ban nevezték ki a Bécsi Egyetem tanárává; 1933-ban, 1935-ben és 1938-1952-ig a Princetoni Egyetem Postgraduális Intézetének tagja volt. 1940-ben kivándorolt Amerikába és 1953-ban az intézet professzora lett.

Hajós György (1912-1971)

Magyar Kossuth-díjas matematikus, akadémikus, egyetemi tanár. Jelentõs eredményei a geometria és a csoportelmélet körébe tartoznak. Legnevezetesebb eredménye a geometriai számelmélet területén Minkowski egy sejtésének igazolása (Minkowski - Hajós-tétel).  A Minkowski-sejtés 40 év múlva vált tétellé, amikor Hajós György csoportelméleti úton jutott el a bizonyításhoz. Foglalkozott még  a Hunyadi-Scholtz-féle magasabb rendû determinánsokra vonatkozó tétel általánosításaival, bizonyította Euler poliéder-tételének gráfelméleti megfogalmazását is.

Hamilton, William Rowan (1805-1865)

Ír matematikus, csillagász és fizikus. Egész életét Dublinban töltötte. Ügyvéd édesapját és igen mûvelt édesanyját egészen fiatalon veszítette el. Nyelvész nagybátyja nevelte fel, akinek gondozása alatt kitûnt, hogy az ifjú nem közönséges nyelvtehetség. Öt éves korában olvasott görögül, héberül és latinul. Tíz évesen hat keleti nyelvet ismert, és tizenkét évesen már tizenkét nyelven beszélt. Lehet, hogy egy fejszámoló mûvésszel való találkozása erõsítette meg benne a matematika iránti érdeklõdést. Tizenöt éves koráig már olvasta Euklidész és Laplace fõbb munkáit. A Trinity College hallgatója volt. 21 éves korában már Írország királyi csillagásza lett, majd a dublini egyetem tanára. Fiatalon olvasta Clairaut és Laplace akkor még Angliában eléggé ismeretlen mûveit.
Matematikai pályafutása azzal kezdõdött, hogy hibát fedezett fel a nagy Laplace Mecanique  céleste (Égi mechanika) címû mûvében.Az említett mûvek tanulmányozása nem volt hiábavaló, azt mutatják az új módszerekkel elért kimagasló eredményei a mechanikában és a fénytanban.  A relativitáselmélet és a kvantummechanika voltaképpen a "Hamilton-függvényekre támaszkodik.
1835-ig fõleg mechanikával és csillagászattal foglalkozott. 1835-ben kezdett az algebrában elmélyedni. Ebben az évben jelent meg a "Theory of Algebraic Couples" (A számpárok algebrájának elmélete) címû könyve.  Ebben a komplex számokat számpároknak tekintette. Azután erre a mintára megkísérelte kidolgozni a számhármasok és számnégyesek algebráját, és 1843 októberében egy séta közben felfedezte a kvaterniók elméletét. A kvaternió,mint neve is mutatja, négy valós számmal meghatározott, négyegységes mennyiség. A kvaterniók elméletét a "Lectures on Quaternions" (Elõadások a kvaterniókról) címû nagy könyvében hozta nyilvánosságra 1853-ban. Halála után jelent meg e tárgyról az "Elements of Quaternions" (A kvaterniók elemei) címû mûve. A kvaterniók elmélete alapján fejlesztette ki Grassmann az n-dimenziós vektor fogalmát.  

Heawood, Percy John (1861-1955)

 Ipswich-ben az Erzsébet Királynõ Gimnázium elvégzése után ösztöndíjat nyert Oxfordba. Itt nagy hatással volt rá Henry Smith és 1883-ban a mennyiségtan vizsga kitüntetettje lett.
1882-ben elnyerte a Junior Matematikai Ösztöndíjat, majd négy évvel késõbb a Senior Matematikai Ösztöndíjat. 1886-ban megkapta a Lady Herschell díjat is. 1887-ben kinevezték a Durcham Matematikai Fõiskola (késõbb egyetem) elõadójává. Habár egész életében az egyetemen dolgozott, csak 1911-ben nevezték ki elnökké. Hetvennyolc éves korában ment nyugdíjba és tizenhat éven át élvezte a nyugdíjas élet örömeit.
Heawood hatvan éven át foglalkozott a négyszín problémával. 1890-ben jelent meg az elsõ könyve a térképszínezési problémával kapcsolatban. Ekkor mutatta ki Kempe bizonyításának hibás voltát, megmutatta, hogy öt szín elegendõ. Bemutatott egy térképet tizenkét országgal (mindnek két résztartománya van), amelynek kiszínezése tizenkét színt igényelt.
Foglalkozott lánctörtekkel, másodfokú maradékokkal. További öt munkája és huszonhárom jegyzete jelent meg számos matematikai témában. Dirac a következõképpen jellemezte:
 " Megjelenésében, modorában és gondolkodásában Heawood meglehetõsen szokatlan ember volt. Vékony kissé görnyedt figura hatalmas bajusszal. Rendszerint egy különleges mintázatú szemmel láthatóan antik köpenyt viselt és egy ódon kézitáskát hordott. Járása finom és sietõs volt. Gyakran még az elõadásaira is elkísérte kutyája. Nyílt õszinteségével, jóságával, különcségével, rendkívüli naivitásával és éleselméjûségével nemcsak elkápráztató érdeklõdést vívott ki, hanem kollégái elismerését is."
Heawoodnak a matematikán és az egyetemi életen kívül még egy nagy szenvedélye volt. 1928-ban a hegyoldalra épült Durham kastélyt veszélyesnek ítélték. Hatalmas összegre volt szükség a kastély megmentéséhez, de az egyetem nem tudta megszerezni a szükséges pénzt. Heawood azonban nem adta fel, évekig egyedül dolgozott, mint a Durham- kastély Restaurálási Alapítvány titkára, és megpróbálta elõteremteni a pénzt. Eredményei nélkül a kastély ma nem állna. Munkájáért 1939-ben O.B.E. (Order of the British Empire) brit birodalmi kitüntetést kapott.

Heron (Kr.e. II.század vége/I.század???)

Görög matematikus, fizikus, a római korszak alexandriai tudósa. Életérõl szinte semmit sem tudunk. Sokoldalú, széles érdeklõdésû egyéniség volt. Pontosan beszámolt a 62-ben lefolyt holdfogyatkozásról. Technikai találmányai is voltak. Eredményeket ért el a mechanika területén. Matematikai írásai gyûjteményes jellegûek, és éppen ezért igen nehéz elválasztani az általa feltalált eredményeket a másokétól. Munkáiban könnyû kimutatni az egyiptomi, hindu, babiloni vagy éppen az euklidészi hatást.
Eredetiben maradt ránk a "Metrika" címû munkája, melyet csak 1896-ban találtak meg. A síkidomok és a testek terület- és térfogatszámításával foglalkozik. A háromszög területét számító "Heron-képlet", amelyek geometriai bizonyítását adta, minden bizonnyal Arkhimédész felfedezése. Az egységtörtekkel való mûveletek egyiptomi befolyást mutatnak. A szabályos testek térfogatképletei Euklidészt juttatják eszünkbe. Heron elõadásai nyomán keletkeztek a "Geometrika" címû mûvek. Az ezekben található, az évek folyamán változó anyagban összekeveredtek a Heron tanította ismeretek a tanítványok kiegészítéseivel.
Heron jelentõs munkája a földmérés tankönyve, a "Dioptrika" is.
Heronnak nagy érdeme, hogy széles áttekintést adott az ókori mértanról, és nélküle a földmérés ókori módszereirõl szinte semmit sem tudnánk.

Hilbert, David (1862-1943)

Német matematikus volt. Königsbergben született, tanulmányait szülõvárosában és Heidelbergben végezte. 1884-ben Königsbergben doktorrá avatták, 1881-ban magántanár, 1892-ben rendkívüli és 1893-ban a matematika rendes tanára lett. 1895-ben meghívták Göttingenbe tanárnak, a meghívást elfogadta.
Az invariánsok elméletével és a számelmélettel foglalkozott behatóan. Andrei Nyikolajevics Kolmogorov orosz akadémikus Hilbert életében nyolc alkotókorszakot különböztetett meg. Az 1885-1893-as évek az invariáns elméletnek, az 1893-1898-as esztendõk az algebrai számelméletnek, az 1898-1902-es korszak a geometria alapjainak, az 1900-1906-os idõk a variációszámításnak és differenciál-egyenleteknek, az 1900-1910-ig terjedõ idõszak az integrál-egyenletek elméletének, az 1908-1909-es intervallum a Waring probléma megoldásának, az 1910-1912-es korszak az elméleti fizikának és az 1922-1939-es utolsó idõszak a matematika logikai alapjainak jegyében teltek el.
Hilbert 1900-ban a párizsi nemzetközi matematikai kongresszuson a matematika egész területérõl 23 fontos, megoldatlan problémát sorolt elõ, amelyek megválaszolása nagyban elõsegítette a matematika további fejlõdését.
Fõ munkája, Grundlagen der Geometrie (A Geometria alapjai), Bolyaival is részletesen foglalkozik. Ebben a munkájában megvizsgálja az euklideszi axiómákat, megmutatja az axiomatikus felépítés tökéletesítésének útját és kidolgozza az euklideszi tér egyik általánosítását.
A Magyar Tudományos Akadémia külsõ tagjává választotta. Az 1910. évi 10 000 koronás Bolyai-díjat az Akadémia neki ítélte oda.

Jordan, Marie Ennemond Camille (1838-1922)

Francia matematikus, az École Polytechnique examinátora, majd ugyanott az analízis tanára. A Collége de France-on elméleti csillagászatot is adott elõ. 1881-tõl kezdve a Francia Tudományos Akadémia tagja. Párizsi elõadásai nagy hatással voltak többek között Kleinre és Lie-re. 1870-ben adta ki a "Traité de substitutions et des équations algébriques" címû könyvét a permutációcsoportokról és az egyenletek Galois-féle elméletrõl. Ez volt az elsõ mû, amely felhívta a matematikus világ figyelmét Galois munkásságára. 1882-87-ben adta ki háromkötetes analízis-összefoglaló munkáját, "Cours d'analyse" (Analízis tanfolyam) címen.
Nevezetes topológiai eredménye róla elnevezett Jordan-tétel: Egy egyszerû zárt görbe a síkot két tartományra osztja, a görbe belsejére és külsejére, amelyeknek nincs közös pontja, és közös határuk a G görbe. A tétel állítása triviálisnak tûnik, bizonyítása egyáltalán nem könnyû. Elég érdekes, hogy annak ellenére, hogy Jordan bizonyítása sem volt egyszerû, sem rövid, mégis az derült ki róla, hogy nem állja meg a helyét, és csak nagy erõfeszítések árán sikerült kijavítani.  

Klein, Felix (1849-1925)

Német matematikus, Düsseldorf-ban született. Bonnban a nagy matematikusnak, Plückernek az asszistense volt, tõle tanulta a geometriát. Huszonkét éves korában, Párizsban megismerkedett a kiváló norvég matematikussal, Sophus Lie-vel. A két fiatal tudós tanulmányozta a francia matematikusok munkáit, többek között Jordan 1870-ben megjelent könyvét a csoportelméletrõl és Galois eredményeirõl. Jordannal személyes ismeretségbe is kerültek. 1872-ben Klein katedrát kapott Erlangenben. Elsõ elõadása a híres "erlangeni program", amelyben ismertette  a csoportelmélet szerepét a geometria különbözõ ágainak osztályozásában.
Tanárként dolgozott Münchenben, Lipcsében. 1884-ben a göttingeni egyetem professzora lett. Göttingen ebben az idõszakban a matematikai kutatások világközpontja lett Klein kutatásai kiterjedtek a csoportelmélet, az algebrai egyenletek, az elliptikus függvények, az automorf függvények és a nemeuklideszi geometriák területére. A hiperbolikus geometria modelljének megteremtésében felhasználta Cayley távolságdefinícióját. Megfeleltetést hozott létre egy kúpszelet, pl.: egy ellipszis (kör) belsõ pontjai és a végtelen kiterjedésû hiperbolikus sík pontjai között. Topológiai kutatásai egyik eredménye a Klein-kancsó.
A Magyar Tudományos Akadémia külsõ tagja, elnöke a matematikai oktatás reformálására alakult nemzetközi bizottságnak.
Sokoldalú, terjedelmes irodalmi munkásságot fejt ki különösen az újabb és nem euklideszi geometria, az egyenletek elmélete és a függvénytan terén.
 
Fõbb mûvei: Az algebrai függvények Riemann-féle elméletérõl, Elõadások az ikozaéderrõl.  

Lambert, Johann Heinrich (1728-1777)

Német bölcsész, matematikus, csillagász és fizikus. Münchenben született, teljesen saját erejébõl küzdötte fel magát. 1765-ben, mint a tudományos akadémia tagja,  Berlinben telepedett le.
Legnevezetesebb matematikai eredménye az, hogy bebizonyította a pí szám irracionális voltát. 1766-ban megjelent "Theorie der Parallellinien" (A párhuzamos egyenesek elmélete) címû munkájában megpróbálta a párhuzamossági axiómát indirekt úton igazolni.
A térképészetben felfedezte a területtartó leképezést. Csillagászati érdemei a fotometriai elmélet megalapítása, az üstökös-pályák tanulmányozása és kozmológiai, Kantéval sok tekintetben rokon nézetek terjesztése.  

Legendre, Adrien-Marie ( 1752-1833)

Francia matematikus. Párizsban született, a Collége Mazarin jeles növendéke volt és mindjárt kilépése után részt vett Traité de Méchanique címû folyóirat szerkesztésében. A folyóiratban megjelent cikkei magukra vonták a tudósok figyelmét. Legendre d'Alembert ajánlatára az École Militaire (párizsi katonaiskola) tanára lett és 1787-ben Cassinivel és Méchainnel végezte a fokmérést  Dunkerque és Boulogne között. 1808-tól az Université élethossziglani igazgatója és 1816-tól az École Polytechnique examinátora lett. Különféle kormánytisztségeket viselt és földmérõként is dolgozott.
Gausstól függetlenül állapította meg a legkisebb négyzetek elméletét. Kutatásokat végzett az elliptikus integrálok és a számelmélet terén is. Nagyszerû fõiskolai tankönyvei és az 1794-ben kiadott "Elements de géométrie" (A geometria elemei) címû mûve hosszú ideig irányt mutatóak voltak. A geometriát közelebb hozta nemcsak a tanulókhoz, hanem a gyakorlati élethez is.
Általunk is ismertek szögtételei. Elsõ szögtétele szerint már a maradék- axiómarendszerbõl következik, hogy a háromszög szögösszege nem lehet nagyobb két derékszögnél. Második szögtétele ugyancsak a maradék-axiómarendszerre építve igazolja, hogy ha létezik egyetlen olyan háromszög, amelyben a szögösszeg két derékszög, akkor minden háromszög ilyen. Ha pedig valamely háromszögrõl kiderülne, hogy szögösszege kisebb két derékszögnél akkor a többi háromszögben is így lenne. Próbálta bizonyítani, hogy 180º-nál kisebb szögösszegû háromszög nem létezik. Ennél a bizonyításnál azonban hibát követett el.
Csillagászati tevékenysége is jelentõs, üstökös-pálya számítása nagy feltûnést keltett.

Mûvei: Értekezés a számokról, Számelmélet, A geometria elemei.  

Orosz matematikus. Nyizsnyij-Novgorodban született, tanulmányait szülõvárosában végezte. 19 éves korában fejezte be tanulmányait a kazanyi egyetemen. 1814-1846 között  a kazanyi egyetem tanára volt. 1827-1846-ig az egyetem rektora volt. Erõfeszítései eredményeként a kazanyi egyetem - az akkori idõk kedvezõtlen körülményei ellenére - elsõrendû tanintézetté vált. Lobacsevszkij más iskolák tevékenységének megjavítása érdekében is sokat fáradozott. 1846-ban szembetegség miatt visszavonult és halála elõtt megvakult.
Lobacsevszkij  materialista volt. Szilárdan hangoztatott véleménye szerint a matematika - és ezen belül a geometria - alapfogalmai anyagi eredetûek, a valóságos világ tárgyainak reálisan meglévõ viszonyait tükrözik. A matematikai absztrakciók nem tetszés szerint keletkeznek, hanem az ember és az anyagi világ kölcsönhatásának eredménye ként. A tudományos megismerésnek egyetlen célja: a valóságos világ tanulmányozása. A tudományos ismeretek igazságának kritériuma Lobacsevszkij szerint a gyakorlat, a tapasztalat.
Széles érdeklõdési körû matematikus volt. Tudományos hagyatékában komoly algebrai és matematikai analízisbeli munkák is találhatók.
Geometriai munkái a világ legnagyobb matematikusai közé emelték. Geometriai mûveiben a nemeuklideszi geometriák közül,  Bolyai Jánoshoz hasonlóan, a hiperbolikus geometriát alapozta meg és dolgozta ki. 1894-tõl kezdve a hiperbolikus nemeuklideszi geometriát Bolyai-Lobacsevszkij geometriának nevezik.
Elismerésre csak külföldön Gauss révén talált. Csak Riemann, Beltrami, Klein és Hilbert munkássága nyomán vált a Bolyai-Lobacsevszkij geometria közismertté.

Legjelentõsebb mûvei: Az algebra vagy a véges mennyiségek kalkulusa, A trigonometrikus sorok eltûnésérõl, A végtelen sorok konvergenciájáról, Néhány határozott integrál értékérõl, A geometria alapjairól, Képzetes geometria, A geometria új alapjai a párhuzamosok elméletével, Pángeometria.

Mascheroni, Lorenzo (1750-1800)

Olasz matematikus. 1797-ben kimutatta, hogy minden, egyetlen körzõvel és vonalzóval végrehajtható szerkesztés, csupán egy körzõvel is véghezvihetõ. E tételt bizonyító mûve a "La geometria del compasso" (A körzõ geometriája) Páviában jelent meg és akkora feltûnést keltett, hogy még Napóleon is érdeklõdött utána.
Mascheronit tizenhét éves korában pappá szentelték. Elõször retorikát majd 1778-tól fizikát és matematikát tanított Bergamo-ban. 1786-ban nevezték ki a páduai egyetem algebra és geometra professzorává, késõbb az egyetem rektora lett.
Mascheroni költõként is ismert volt. Egyik könyvét, "La geometria del compasso" Napóleonnak ajánlotta verses formában. Ebben a munkában bebizonyította, hogy minden euklidészi-szerkesztés végrehajtható körzõvel egyenes élû vonalzó használata nélkül. Mindezt (Mascheroni tudomása nélkül) már 1672-ben bizonyította egy kevésbé ismert dán matematikus Georg Mohr.

Mohr-Mascheroni tétel  (1)  (2) 

Eredeti nevén Gerard de Cremere. Hollandiában tanult. 1530-ban iratkozott be a Louvain Egyetemre, ahol humán tudományokat és filozófiát tanult. 1532-ben Magister Artium (Mûvészetek Mestere) diplomával végzett. A diploma megszerzése után azon dolgozott, hogyan lehetne összeegyeztetni az Univerzum eredetére vonatkozó bibliai tanításokat Arisztotelész kutatásaival. Rengeteget utazott ez ügyben. Utazásai vallási szempontból kevés sikerrel jártak, de felkeltették érdeklõdését a földrajz iránt. Mercator visszatért Louvain-ba, ahol most matematikát tanult, megismerte a matematika földrajzi és csillagászati alkalmazásait.
 1535-1536-ban Louvain-ban dolgozott, Myricaval és Frisius-szal megalkották a földgömböt. 1537-ben elkészítették az éggömböt is. Mercator ugyanebben az évben készítette el Paleszrtina térképét, 1538-ban alkotott egy térképet egy újfajta vetítési módszerrel, majd 1540-ben elkészítette Frandria térképét is.
1544-ben eretnekséggel vádolták, ez részben protestáns hitének, részben utazásainak tulajdonítható, amelyek gyanút keltettek az emberekben. Hét hónapot töltött börtönben, ahonnét a louvain-i egyetem támogatásával szabadult. 1552-ben Duisburgba költözött, ahol térképészeti mûhelyt nyitott. Elkészítette Európa új térképét (1554) és matematikát tanított 1559-1562 között. További térképeket készített - 1564. Lotaringia és a Brit Szigetek. 1564-ben kinevezték Udvari Kozmográfusnak. Ez alatt az idõ alatt dolgozta ki új térképkészítési módszerét, új vetítési móddal. Neve is errõl maradt fenn (Mercator-féle szögtartó térkép). Ezt a vetítési módot 1569-ben alkalmazta elõször. Õ volt az elsõ, aki az "atlasz" szót  használta a több térképbõl álló gyûjtemény elnevezésére. 1578-ban kiadta a Ptolemaioszi térképek javított változatát, ez volt atlasza elsõ része. Az atlasz további térképeket tartalmazott; Franciaország, Németország, Hollandia. 1589-ben további térképeket adott ki a Balkánról és Görögországról. Néhány befejezetlen térképét halála után fia készítette el és adta ki (1595).
Mercator szakítása a Ptolemaioszi módszertõl éppen olyan fontos a földrajz területén, mint Kopernikusz eredményei a csillagászatban.

Mohr, Georg (1640-1697)

Dán matematikus. Szülei tanították, a tõlük szerzett matematikai ismeretek késztették továbbtanulásra. Hollandiába ment matematikát tanulni, de késõbb tanulmányokat folytatott Franciaországban és Angliában is.
     Mohr nem volt ismert matematikus. 1672-ben kiadott Euclides Danicus (A dán Euklidész) címû munkája a feledés homályába merült, amíg egy könyvesboltból 1928-ban fel nem fedezték. Valószínûleg több példányt el sem adtak. Ebben a könyvben jelent meg egy tétel és annak bizonyítása, mely szerint minden euklidészi szerkesztés mindössze körzõvel is elvégezhetõ. Mascheroni,  akinek végül is ezt a felfedezést tulajdonítják, százhuszonöt évvel Mohr könyvének megjelenése után tudta bizonyítani a tételt.
     Mohr Hollandiában és Dániában élt. Harcolt 1672-ben a holland-francia háborúban, ahol foglyul eltették. 1681 körül tért vissza Dániába, ahol nem fogadta el a királyi hajóépítést felügyelõ státuszt és visszatért Hollandiába.
     Mohr levelezett Tschirnhaus-szal és találkoztak is néhányszor Hollandiában, Franciaországban és Angliában. Mohr levelezett Leibniz-zel is.

Mohr-Mascheroni tétel  (1)  (2)

Monge, Gaspard (1746-1818)

Francia matematikus. Jeles tanuló volt, aki már 16 éves korában maga készítette eszközökkel felmérte szülõvárosát (Beaune). 1768-ban Lyonban a matematika és fizika tanára, több fontos technikai felfedezése után 1783-ban Párizsban a hidrodinamika tanára, 1792-ben pedig tengerészeti miniszter lett. Ezen állásában neki kellett XVI. Lajoson, a konvent megbízásából, a halálos ítéletet végrehajtania. 1794-ben õ alapította az École Polytechnique-t és ott átvette a matematika tanszéket. Napóleonnal 1798-ban Egyiptomban volt és ott az ókori kutatásokat vezette. Napóleon 1805-ben szenátorrá, majd 1806-ban pelusiumi gróffá nevezte ki. A királyság helyreállítása után elveszítette hivatalait.
    A matematikai számításoktól független ábrázoló geometria megalapítója. Alkalmazta a differenciál- és integrálszámítás módszereit térgörbék és felületek tanulmányozására megteremtve ezzel differenciálgeometria alapjait.
     Egyike volt az elsõ modern matematikusoknak, aki kifejezetten specializálódott mint geométer. Nála még a parciális differenciál-egyenletek tárgyalása is mértaninak tûnik. Monge befolyása révén a geometria felvirágzott az École Polytechnique-ban. Ábrázoló geometriájában benne volt a projektív geometria magva, az algebrai, valamint az analitikai módszereknek a görbékre és felületekre való alkalmazásában tanúsított mesteri jártassága sokban hozzájárult az analitikus és differenciál-geometria fejlesztéséhez

     Fõ mûvei: Geometrie descriptive, Application de l'analyse a la géométrie (Az analízis alkalmazása a geometriában).  

Német matematikus, csillagász. Elõször alkalmazta az analitikus módszereket a projektív geometriában. Nevét õrzi a Möbius-szalag, az egyoldalú felület ismert alakja. Ez a kítûnõ geométer szerénysége miatt csak jelentéktelen csillagászként élte le életét. Mikor 68 éves korában beküldte értekezését - amely az egyoldalú felület geometriájáról szólt - a francia akadémiának, akkor sem volt szerencséje. Mint annyi más mû, ez is évekig porosodott  az akadémia valamelyik fiókjában kiadatlanul. Végül is maga a szerzõ adta ki.
     Möbius Schulzfortban született. Apja tánctanár volt. Az 1813-1814-es években Göttingenben Gauss csillagászati elõadásait hallgatta, és 1816-ban már megfigyelõ csillagászként mûködött Pleisenburgban, majd 1818-ban az obszervatórium igazgatója lett. Késõbb igazgatói állását is megtartva, a lipcsei egyetem matematikatanára lett.
    Igen sokoldalú tudós volt. Der Barycentrische Calcül címû könyvében elsõnek vezette be a homogén koordinátákat. Egy adott háromszög csúcspontjaiban tömegeket helyezett el, a rendszer súlypontját a tömeg koordinátákkal (illetve ezek arányával) jellemezte és kimutatta, hogy ezek a koordináták igen alkalmasak a sík affin és projektív tulajdonságainak leírására. Így a homogén koordináták a projektív geometria algebrai tárgyalásának eszközévé váltak.
     Möbius nyugodt elszigeteltségben dolgozott hasonlóan, mint kortársa, von Staudt, és sok más érdekes felfedezést is tett. Egy példa: a null rendszer a vonal-kongruenciák elméletével, amelyet statisztikai kézikönyvében vezetett be (1837). A már említett Möbius-szalag, amely elsõ példa volt a nem irányítható felületekre, azt mutatja, hogy Möbius egyike az elsõknek, akik közremûködtek a topológia kialakításában.

Pappos (IV. század vége)

Alexandriai matematikus. Csillagászattal és geográfiával is foglalkozott. Életérõl csak egyetlen megbízható évszám tudósít: Megfigyelte és leírta az i.sz. 320-ban észlelt napfogyatkozást. Eszerint Diocletianus (uralkodott 284-305) és Nagy Constantinus (urakodott 307-337) idejében élhetett.
Kommentárokat írt Euklidész és Ptolemaiosz mûveihez. Nagy jelentõségû könyve a Synagogae (Gyûjtemény), melyben ismertette és megjegyzéseivel kísérte az ókori matematikusok számos felfedezését. A Synagogae nyolc könyvében, melybõl hat maradt ránk, nagy hozzáértéssel válogatta össze az ókori matematika ismereteit, és ezzel sok tudást mentett át az utókornak. A könyv önálló felfedezéseket is tartalmaz. A hetedik könyv, amely az ókori analízis és szintézis módszerét magyarázza, annyira tökéletes, hogy csak a jelöléseit kell korszerûsíteni, és máris analitikus geometriának tekinthetjük. Descartes, többek között, Pappos feladatán próbálta ki az analitikus geometria módszerét.
 Az ókori szerzõk sok eredményét csak abban a formában ismerjük, amelyben Pappos megõrizte õket számunkra. Példák erre a kör területszámítására, a kocka megkettõzésére, a szög három részre osztására vonatkozó problémák. Érdekes az egyenlõ kerületû idomokról szóló fejezete, amelyben az áll, hogy a körnek nagyobb területe van, mint bármely vele egyenlõ kerületû szabályos sokszögnek. Itt találjuk azt a megjegyzést is, hogy a méhkaptár sejtjei bizonyos maximum-minimum tulajdonságokat elégítenek ki. Arkhimédész szabályos testeirõl szintén Pappos révén tudunk.
 Pappos nevét viselik azok a geometriai feladatok, amelyek azt kívánják, hogy adott kör, adott pontjába érintõ kört szerkesszünk. Saját találmányai közé tartoznak a kúpszeletekrõl szóló tételek, a kettõsviszonyok és involúciók elmélete. Pappos ismerte már a késõbb Guldin által újra megállapított szabályt a forgástestek felszínének és térfogatának meghatározására.
 
Mûvei megjelentek latinul: Pesaro (1588), Velence (1589). A német fordítás 1876-ban Berlinben jelent meg.

Pascal, Blaise (1623-1662)

Francia matematikus, fizikus, filozófus és író. Matematikai tehetsége korán megnyilvánult. Apja, Étienne Pascal gondos nevelésének hatása alatt az ifjú Pascal szellemileg gyorsan fejlõdött.
A róla elnevezett Pascal-tételt, amely a kúpszeletekbe írt hatszögre vonatkozik, tizenhat éves korában fedezte fel. A tétel azt mondja ki, hogy egy kúpszeletbe rajzolt húrhatszög szemközti oldalainak egyenesei egy-egy pontban metszik egymást, és e három metszéspont mindig egyazon egyenesen van. Az új tétel - felfedezése után két évvel - 1641-ben jelent meg egyetlen lapon. Nem sokkal késõbb szerkesztette meg az elsõ számológépek egyikét, az "arithmometert", de feltalált még barométert és megalapította a folyadékok elméletét. 25 éves korában a Port Royal-i kolostorba vonult, vallási miszticizmusba merült, sanyargatta magát, visszavonult a világi élettõl és a janzenistákkal érintkezett. De azután sem hagyott fel a tudománnyal és az irodalommal.
Matematikai munkássága szerteágazó. Desargues után õ fejlesztette tovább a projektív geometriát. A binomiális együtthatókat tanulmányozva, módszert adott kiszámításukra a Pascal- háromszöggel. A valószínûségszámítás egyik megalapozója volt. A differenciál- és integrálszámítás területén is kiemelkedõ munkát végzett. A karakterisztikus háromszög ötletét Leibniz, saját kijelentése szerint is, Pascaltól vette át. A természetes számok oszthatóságát átfogó módon elõször õ vizsgálta. Tõle származik a teljes indukció meghatározása és elsõ alkalmazása is.
Eredményes és nagy hatású matematikus volt, aki a fizikában, a filozófiában és az irodalomban is megörökítette nevét.

Pitagorasz (Kr. e. 580/570-500)

Görög matematikus, filozófus. Misztikussá vált, legendákkal körülvett életébõl alig ismerünk valamit. Szamosz szigetérõl származott ( Lehet, hogy föníciai. ) Tanult Egyiptomban és járt Babilóniában. Kapcsolatban volt Thalész-szel.Minden bizonnyal igen széles látókörû, a tudományokat mûvelõ, a filozófia és a matematika iránt szenvedélyesen érdeklõdõ személyiség volt. Talán még Indiába is elkerült. Mindenesetre az i.e. VI. sz.-i Kelet filozófiai és vallási tanai nagy hatással lehettek a fiatal bölcselõre, és ugyanúgy a keleti, sokszor misztikus, mágikus színezetû számtudomány is. Hazájába visszatérve egy vallásos jellegû politikai célokért is küzdõ, ugyanakkor a matematikai tudományokkal (aritmetika, geometria, zene, csillagászat) is foglalkozó, félig-meddig titkos társulatot alapított, amelynek azonban Szamosz szigetérõl el kellett távoznia, mert összeütközésbe került az ott uralkodó Polükratész türannosszal.  Rejtélyességét és tekintélyét fokozta, hogy Dél-Itáliában, Kroton városában iskolát alapított arisztokraták számára, ami egyben vallási- , erkölcsi- és politikai egyesület is volt. Ez a szövetség testi, mûvészi  és fõleg tudományos gyakorlatok középpontja lett, s a matematikát egészen a IV. század közepéig fõként a "pythagoreusi iskola" mûvelte - így tehát érthetõ, hogy felfedezéseit nem lehet különválasztani a tanítványok eredményeitõl. A nevét viselõ tétel, sokak szerint, nem tõle származik, hiszen már elõtte nyomára akadhatunk Egyiptomban vagy Babilóniában.
Az irracionális számok felfedezésén kívül neki és az általa alapított iskolának köszönhetõk az elsõ számelméleti felfedezések  és a szabályos testekrõl szerzett elsõ ismeretek.
Kroton városában egyébként a "pythagoreusok" -nak kezdettben nagy tekintélyük volt, sõt valamelyest politikai befolyással is rendelkeztek. Ilyesmit tükröz az a monda, amely szerint Kroton i.e. 511-ben Pitagorasz segítségével gyõzte le ellenségét, a szomszédos Szübariszt. A történet elmeséli, hogy Szübarisz lovassága nemcsak félelmetes volt, hanem arról is híres, hogy fuvolazenére minden ló ágaskodva, gyönyörûségesen táncolt. Pitagorasz tanácsára a krotoni kémek megtanulták a lovakat táncoltató zenét, és erre Krotonban betanítottak egy egész zenekart. Amikor aztán a szübariszi lovasság támadásba lendült, megszólalt a krotoni zenekar, és a táncoló lovakat a krotoni harcosok könnyûszerrel leöldösték. Tény, hogy Kroton i.e. 511-ben valóban elfoglalta Szübariszt, bár nem valószínû, hogy a harcban a krotoni fuvolazenekar mérte ellenfelére a döntõ csapást.
A hagyományok szerint Pitagorasz elõadásai Krotonban nagy sikert arattak, olyannyira, hogy az illemmel nem törõdve, még nõi hallgatói is voltak. Ezek között volt házigazdájának, Milónak szép leánya, Theano is, aki Pitagorasz felesége lett. Theano írta meg Pitagorasz elsõ életrajzát, amely valószínûleg hiteles forrás lehetne, de elveszett.

Poincare, Henri (1854-1912)

Francia matematikus, fizikus, csillagász és filozófus. A XIX. század második felének legkiválóbb matematikusa. Szülõvárosában, a lotharingiai Nancy-ben végezte középiskoláit, és 1873-ban az École Polytechnique-n folytatta tanulmányait. A matematikai doktorátust a párizsi egyetemen szerezte meg, azután 1879-1881-ben Cannes-ban adott elõ analízist. 1881-tõl halálig a Sorbonne-on tanított. A matematika legkülönbözõbb területeirõl tartott elõadásait tanítványai adták ki. Sok népszerû mûvet is írt.
Tudományos munkássága sokrétû és nagy hatású. Eredményei a differenciálegyenletek, komplex függvénytan, divergens sorok, topológia, valószínûség számítás területére tartoznak. Sok matematikai munkája fizikai és csillagászati kérdésekhez kapcsolódik. Igen nagy hatással volt a relativitáselméletre, a legújabb kozmogóniákra, a topológiára és a valószínûség- számításra. Az ún. Kombinatorikus topológiának õ írta a máig is legkitûnõbb, új felfedezésekkel gazdagított összefoglalását Analysis situs címen 1895-ben. 1899-1902. között írt még számos topológiai tárgyú közleményt. E tudományág továbbfejlesztésében fõleg Riemann és Betti mûveire támaszkodott. Ilyen szempontból fontos még Jordan A felületek egymásra illeszkedõ kontúrjairól címû tanulmánya is. Az ebben közölt, a folytonos deformációval egymásra fektethetõ felületekre vonatkozó elméletét általánosította Poincare több dimenziós térre.
1889-ben elnyerte a svéd király által kitûzött matematikai díjat a "Le probléme  des trois corps et les équations de la dynamicque" címû mûvével. 1902-ben a kolozsvári egyetem tiszteletbeli doktora lett, majd 1905-ben a Magyar Tudományos Akadémia Bolyai díját is megkapta.

von Staudt, Karl Georg Christian (1798-1867)

Német matematikus, erlangeni professzor. Dolgozott az üstökös-pálya meghatározásán és ennek a munkájának köszönhetõen 1822-ben doktori címet kapott Erlangenben. Nürnbergben matematika professzorrá nevezték ki 1827-ben , majd 1835-ben az erlangeni egyetem professzora lett. Mint Gauss tanítványa eleinte számelméleti vizsgálódásokkal (Bernoulli-féle számok, körosztás) foglalkozott. Von Staudt bemutatta, hogyan kell megszerkezteni a tizenhét oldalú szabályos sokszöget csak körzõvel. Geometrie der Lage (A helyzet geometriája) címû munkájában szétválasztja  a helyzet geometriáját a metrikus viszonyoktól, geometriai úton definiálta az egyenes négy pontjának kettõsviszonyát. További érdeme, hogy megmutatta, hogy a geometriába is bevezethetõk imagináris elemek.
Másik projektív geometriával foglalkozó munkája a Beiträge zur Geometrie der Lage. Foglalkozott a másodfokú egyenletek geometriai megoldásával is.

Steiner, Jakob (1796-1863)

Svájci matematikus. A berlini egyetem tanára volt s az akadémián nevét viselõ matematikai jutalomdíjat alapított.
Apja svájci pásztor, tanítója Pestalozzi, a híres pedagógus volt. Egy idejig Steiner is tanitott Pestalozzi intézetében, aztán tovább folytatta egyetemi tanulmányait Heidelberg-ben. Itt ismerkedett meg a francia geometriai áramlatokkal. Az egyetem után Pestalozzi Berlinbe csábította, ahol kiváló eredménnyel tanított és közben geometriai kutatásokat végzett. Cikkei a Crelle' s Journal-ban jelentek meg.
Geometriával foglalkozott. Az algebrának és az analízisnek még az alkalmazását sem szerette. Azt tartotta, hogy a számolás helyettesíti, viszont a geometria ösztönzi a gondolkodást. 1832-ben jelent meg Systematische Entwicklung (Rendszeres kifejtés) címû mûve a projektív geometriának minden algebrai módszertõl mentes  felépítését adja. Mûvébõl csak a kettõsviszony meghatározása hiányzik. Ezt, tisztán geometriai módszerekkel, kortársa, Staudt pótolta. Mascheroni eredményei arra ösztönözték, hogy az euklideszi szerkesztéseket csupán vonalzó segítségével hajtsa végre. Ez nem sikerült, de Steiner a körzö használatát, a vonalzó igénybevétele mellett, egyszeri alkalmazásra tudta csökkenteni. Ezt a Die geometrischen Konstruktionen  ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises (Az egyenes és egy rögzített kör segítségével elvégezhetõ szerkesztések) címû, 1833-ban megjelent könyvében közölte.

Steinitz, Ernst  (1871-1928)

1891-ben Berlinbe ment matematikát tanulni. Két év múlva visszatért Breslau-ba. 1894-ben elkészítette doktori disszertációját, majd a következõ évben kinevezték a Berlin-Charlottenburg Mûszaki Egyetem magántanárává. 1910-ben visszatért Breslau-ba, ahol a technikai fõiskola professzora lett. Tíz év múlva Kiel-be költözött, ahol kinevezték az egyetem matematika tanszékének elnökévé.
Steinitz matematikai munkássága hatással voltak Heinrich Weber és Hensel' s eredményei a p-adikus számok terén. Az eredményeket 1900-ban a Német Matematikusok Szövetségének éves találkozóján mutatta be. Beszédében bemutatott egy egész számok gyûrûje feletti algebrát, amelynek báziselemei  a véges Abel-féle csoportok izomorfia osztályai. Ma mindez Hall-algebraként ismert. Steinitz számos sejtését késõbb Hall bizonyította.
Leghíresebb mûvét 1910-ben adták ki. Õ adta a test elsõ absztrakt definícióját az Algebraische Theorie der Körper címû munkájában. Bizonyította, hogy minden testnek van algebrailag zárt kiterjesztett teste.
Steinitz a poliéderek körében is dolgozott, kézirata halála után 1934-ben jelent meg.

Thalész (Kr.e. 624?-546?)

Az elsõ görög matematikus, akirõl tudomásunk van. Ezért szokás õt a görög matematika atyjának nevezni. Legendás életérõl keveset tudunk. A kisázsiai Miletos városában született. Tekintélyes kereskedõ volt, aki az i.e. VI. században beutazta az akkori mûvelt világot Babilontól Egyiptomig. Üzleti ügyei mellett a tudományok is érdekelték, elsõsorban a geometria és a filozófia. Próklosz görög író szerint Görögországba elõször Thalész vitte be a geometriát Egyiptomból. Kétségkívül sokat tanult az egyiptomiaktól, de az is biztos, hogy sok mindent maga fedezett fel. Tudásának e két forrását ma már lehetetlen elkülöníteni.
Az egyiptomiakkal szemben Thalészben döntõen új az, hogy bizonyítási igénye volt és igyekezett általánosítani. Az ókori matematikában õ az elsõ, aki felteszi a "miért" kérdést. Ezzel érdemelte ki a matematika atyja nevet.
Róla írta Plutarkhosz, hogy egyiptomi útja alatt a piramis magasságának meghatározásával ejtette csodálatba a tudós papokat és magát a nagy Amazisz fáraót is. A történetíró szerint segédeszköze egy földbeszúrt bot volt és annak az árnyéka. Amikor a bot és árnyéka egyenlõ hosszú volt, akkor a piramis árnyéka is olyan hosszú kellett, hogy legyen, mint a magassága.  Thalésznek tulajdonítják a szög fogalmát és a csúcsszögek egyenlõségének belátását. Õ állapította meg, hogy az egyenlõszárú háromszögben a szárakkal szemben egyenlõ szögek vannak és hogy két háromszög egybevágó, ha egy oldalban és a rajta fekvõ két szögben megegyeznek. A francia tankönyvek Thalész tételének nevezik a következõt: Ha valamely háromszög egyik oldalával párhuzamos egyenest rajzolunk, akkor ez a másik két oldal egyenesével az eredeti háromszöghöz hasonlót alkot. Azt is õ mondta ki, hogy a kört az átmérõ két egyenlõ részre osztja, valamint, hogy a háromszög szögeinek összege  180 fok és végül a róla elnevezett Thalész-tételt. Mint csillagász i.e. 585-ben megjósolt egy napfogyatkozást. Thalész volt a megindítója a görög matematikai fejlõdésnek. A nyomdokain haladók csoportját ión iskolának nevezik.
Thalész i.e. 546 körül halt meg az Olimpiai Játékok figyelése közben.