Ha valakinek kérdése, kérése
vagy ötlete van az alábbiakkal kapcsolatban, írja meg:
E-mail:vandi@susu.cs.jgytf.u-szeged.hu
1977-ben, a magyar matematikus Szilassi Lajos talált egy módot arra, hogyan lehet hétlapú toroid poliédert készíteni. Poliéderének minden lapja hatszög (habár egyik sem szabályos hatszög).
Ahhoz, hogy elkészítse a teljesen saját Szilassi poliéder modelljét, kattintson ide, hogy letöltsön egy mintát PDF-ben (52753 bájt, amit az ingyenes Adobc® Acrobat® olvasói láthatnak). Esztétikai okok miatt, kissé megváltoztattam a poliéder szögeit és méreteit Szilassi eredetijéhez képest. Kattintson ide, hogy megismerje Dr. George Hart tippjeit a papír poliéder-modellek elkészítéséhez.
A Szilassi poliédernek és a tetraédernek közös tulajdonsága, hogy minden lapjuk érinti az összes többi lapot. A tetraéder azt szemlélteti, hogy négy szín szükséges a gömbbel topológiailag ekvivalens felületek térképének kiszínezéséhez; a Szilassi poliéder azt szemlélteti, hogy hét szín szükséges a tórusszal topológiailag ekvivalens felületek térképének kiszínezéséhez. ( Egyik sem mutatja be azt, hány szín elegendõ.)
A két poliéder alapvetõ adatai
a következõk:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Melyik más poliéder rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy minden lappárjának közös éle van? Talán egyik sem.
Az Euler-tétel L+C-E=2 könnyen általánosítható a lyukas poliéderekre; ha q a lyukak száma, L+C-E=2-2*q.
Minden közös éllel rendelkezõ poliéderben, L és E között a következõ összefüggés írható fel: E=L*(L-1)/2.
Minden csúcsnak három él metszéspontjában kell lennie. (Ha több lenne, mint három, néhány oldalpárnak nem lenne közös éle.) Tehát, mivel minden él két csúcsot köt össze, C=E*2/3.
Az elõbbi egyenletek egyesítésével
és egyszerûsítésével kapjuk, hogy:
q=(L*L-7*L+12)/12
ami szorzattá alakítva a következõ:
q=(L-4)*(L-3)/12.
Az L csak néhány értéke mellet lesz a q értéke egész, L=4 esetén kapjuk a tetraédert; L=7 esetén adódik a Szilassi poliéder. A következõ érték, amely esetén a q egész szám lesz, a 12, amely egy olyan 6 lyukú poliéderre vonatkozik, aminek 12 lapja, 66 éle és 44 csúcsa van. Ez az alakzat nem tûnik feldolgozhatónak számomra; L és q magasabb értékei esetén egyre kevésbé valószínû a megvalósítás. Nyilvánvalóan nem próbálkozom eléggé, de Ön képet kap róla. Kattintson ide, hogy megnézze a duális alakzatát egy ilyen valószínûtlen poliédernek.
Szilassi megadott egy egyenletrendszert, ami leírja egy különleges példáját a hétlapú toroid poliédernek; Martin Gardner újra megalkotta a lapok mintáit (egy szórakoztató vitában a matematikáról és a minimális mûvészetrõl) a Scientific American c. folyóirat 1978. novemberi számának Mathematical Games c. rovatában. Szilassi hét lapja, eredeti formáikban szintén láthatók lejjebb.
A Szilassi poliédernek létezik egy duálisa. Ezt az 1940-es évek végén Császár Ákos találta fel, ami 1 lyukú és 14 háromszögû lapja, 7 csúcsa, és 21 éle van. A Császár poliéder modelljének mintái megtalálhatók Martin Gardner rovatában az 1975. májusában megjelent Scientific American c. folyóiratban. (A fenti matematika a Gardner által készített leírás alapján készült, amit Donald W. Crowe vizsgálatáról írt a Császár poliéder L, C, E és q közötti kapcsolatáról.)
Ha a http://www.treasure-troves.com/math/SzilassiPolyhedron.html címre kattint, megtekintheti, hogyan néz ki a poliéder különbözõ forgatások esetén, amit le is ellenõrizhet a kurzor segítségével.
Az ezen az oldalon látható képek egy olyan önmagam által elõállított programmal készültek, amelyet azért írtam, hogy a poliéder szögeit és méreteit meg lehessen változtatni. Ahhoz, hogy letöltse a program C++ forrását és dokumentumait (gzipped tarball, 44379 bájt; X Window grafika szükséges), kattintson ide.
Ha többet szeretne tudni, küldjön e-mailt:
Tom Ace
crux@qnet.com
A poliéder hét lapja:
