Alapfogalmak

Az aranymetszés definíciója
A jellegzetességei

Az aranymetszés definíciója

Az aranymetszés fogalmát már az ókori görögök is feltehetően nagyon régen ismerték, de Euklidesz Elemek című művében találkozhatunk vele először írásos formában. A II. könyv 11. tétele a következőképp hangzik:

Adott egyenest osszunk fel úgy, hogy az egészből és a részek egyikéből alkotott téglalap egyenlő legyen a másik rész négyzetével.

Ez a görög ősidőkbe visszanyúló feladat, amely lehetséges, hogy a képzőművészetekből ered, azt tűzi ki célul, hogy az adott a távolságot osszuk két olyan – x és a-x – szakaszra, amelyekre nézve igaz a következő aránypár:

Egyenletté alakítva: , ami az aranymetszés egy másik definícióját eredményezi. Erről a későbbiekben lesz még szó.

Ha az aranymetszésről beszélünk, általában a következő definíciót szoktuk felidézni:

Ha egy szakaszt egy S pont úgy oszt két részre, hogy a kisebbik szakasz úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint a nagyobbik az egészhez, akkor az S az aranymetsző pontja.

Nyilvánvaló, hogy két olyan pont létezik, amelyik az -t aranymetszésben osztja. Aszerint, hogy az osztópont melyik végponthoz van közelebb:

Ha külön nem jelezem, akkor a következőkben olyan osztott szakaszról esik szó, ahol az S a B-hez van közelebb, tehát az S által meghatározott két szakasz nagyobbika az szakasz.

E megállapodás után az előbbi definíció a következőképpen írható fel:

Az S pont az aranymetsző pontja, ha teljesül, hogy

Az szakasz hosszát a-val, a két szakasz hosszát pedig nagyságuknak megfelelően M-mel (major), illetve m-mel (minor ) jelölve, az aranymetszést a következőképpen is definiálhatjuk:

S pont az szakasz aranymetsző pontja, amennyiben érvényes, hogy ; másképpen: .

Ez az utolsó formula világossá válik, ha észrevesszük, hogy az Euklidesz által megfogalmazott feladat megoldása nem más, mint az aranymetszés konstrukciója. Másfelől ez a megfogalmazás az aranymetszés értékének kiszámítására is alkalmazható. Ugyanez érvényes a következő állításra is:

S pontosan akkor osztja szakaszt aranymetszésben, ha fennáll, hogy .

Amennyiben ez az állítás igaz, egy olyan eszköz áll a rendelkezésünkre, amely segítségével könnyen ellenőrizhető, hogy egy adott S pont aranymetsző pontja-e egy szakasznak vagy sem. Mivel ?1,618, konkrét esetekben könnyen eldönthető, hogy a hosszabbik illetve a rövidebbik szakaszok hosszainak aránya az aranymetszés aránya-e vagy sem.

Számfétisisztáknak: ? 1,618033988749894848204586…

Ahhoz, hogy ezt az állítást törvényként használhassuk, előbb igazolni kell a helyességét:

Kiindulva az egyenlőségből, valamint az aranymetszés definíciójából, lépésről lépesre levezethető:

S az AB aranymetsző pontja

(Az aranymetszés definíciója)

( behelyettesítése)

(m²-tel való osztás)

E másodfokú egyenlet megoldása: . Mivel M és m pozitívak, is pozitív, így a megoldás csak lehet.

Mindezekből következik, hogy ha az S tényleg az aranymetsző-pontja, akkor arány a kapott értékkel egyezik meg.

Az konstanst a továbbiakban -vel jelölöm. A a híres görög szobrász, (Phidiasz) nevének kezdőbetűje, aki i.e.460-430 között tevékenykedett Athénban, és kinek munkáiban gyakran visszaköszön az aranymetszés. (A szóban forgó konstans egy másik, szintén használatos jelölése a .)

A jellegzetességei

Segédtétel:

(a) Teljesül, hogy . Másként: legyen ⁺; ekkor fennáll, hogy , ahol .

(b) .

(c)

Bizonyítás:

(a) Az előző fejezetben bizonyított tétel egyenes következménye.

(b) Az (a) egyenlet mindkét oldalát -vel megszorozva kapjuk, hogy . Ezt átrendezve az egyenlethez jutunk. helyettesítéssel kapjuk: .

Az (a) és (b) fontos következménye, hogy bármely racionális kifejezése felírható lineáris kifejezéseként. Például :

Tétel:

Legyen egy szakasz, hosszát jelölje a, egy tetszőleges pontját S . M-mel jelöljük az , m-mel pedig az szakaszok hosszait. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: