Az aranymetszés síkgeometriája

Az aranymetszés szerkesztése
1. konstrukció
        2. konstrukció
        3. konstrukció
        4. konstrukció
        5. konstrukció
        6. konstrukció
Az ötszög szerkesztése
         1. konstrukció
            Az aranyháromszög
            Aranyháromszögből szabályos ötszög
        2. konstrukció
        3. konstrukció
            A tízszög szerkesztése
4. konstrukció
        5. konstrukció
            Ötszög alkotása papírhajtogatással
A pentagramma
A sík hézagmentes lefedése - Penrose csempéi
Az Amman-csíkok és a Beatty-sorozat
Az aranyszög
Az aranytéglalap

Az aranymetszés szerkesztése

1. konstrukció

Valamely adott szakasz aranymetsző pontjának körzővel és vonalazóval való megszerkesztése már az ókorban ismert volt. A szerkesztés ezen változata azon a már akkor ismert tételen nyugszik, mely szerint a körhöz külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe a ponton átmenő szelő körrel alkotott metszeteinek.

Szerkesszük meg adott  szakasznak azt a belső S pontját, mely a szakaszt az aranymetszésnek megfelelő arányban osztja! A szerkesztés első lépéseként vegyünk fel egy, a B ponton átmenő, az (AB) egyenesre merőleges egyenest, és mérjük fel erre a B pontból kiindulva  távolságot. Ennek O végpontjából, mint középpontból szerkesszünk  sugarú kört.

E körnek a B ponthoz tartozó érintője az (AB) egyenes lesz. Szerkesszük meg az [AO) félegyenest. E félegyenesnek a körrel való metszéspontjai E és F pontok. A B pontot összekötve ezekkel a metszéspontokkal, az ABE és ABF háromszögeket kapjuk. Mivel a két háromszög A csúcsnál lévő szöge közös, továbbá az  és  a BE ívhez tartozó kerületi szögek, és így egyenlők, a kapott háromszögek hasonlók. A hasonlóságból a megfelelő oldalak arányát felírva:

,

amiből az  egyenlethez jutunk.

Ezt átrendezve az egyenletet kapjuk, ami éppen azt fejezi ki, hogy az x hosszúságú  szakasz mértani középarányos a teljes  szakasz és annak rövidebb metszete között. Ha  szakaszt az A pontból -re rámérjük, a kapott S pont az  szakaszt éppen az aranymetszés szerint osztja.

2. konstrukció

Ez a szerkesztés lényegében azonos az előzővel, csupán indoklásában tér el attól.

Szintén adott  szakasz S aranymetsző pontját keressük. A szerkesztés menete is megegyezik az előzőével: Első lépésként állítsunk merőlegest erre a szakaszra a B végpontjában, és mérjük fel erre a merőlegesre -t. A kapott végpontot nevezzük C-nek. Mivel a , és , az A, B és C pontok által alkotott háromszög egy derékszögű háromszög, melynek átfogója .

Következő lépésként mérjük fel -t az -re és az így kapott pontot nevezzük D-nek. Ekkor

és

.

Felmérve -t -re és a kapott pontot S-nek nevezve el: , amiből következik, hogy

, azaz S az  szakasz aranymetsző pontja.

3. konstrukció

E konstrukcióban szintén adott  szakasz S aranymetsző pontját keressük

Az előző szerkesztéshez első lépéséhez hasonlóan most is egy  hosszúságú merőleges szakaszt kell állítanunk az  szakasz egyik végpontjába. Ezúttal az A pontot szemeljük ki e célra, a merőleges szakaszunk végpontját pedig jelöljük C-vel! Ezzel szintén egy olyan derékszögű háromszöget szerkesztettünk, melynek átfogója .

A következő lépésben térünk el lényegében az előző szerkesztés menetétől: C-ből mint középpontból messük el [CA) félegyenest egy  sugarú körívvel; a metszéspontot jelöljük D-vel. Ekkor igaz a következő:

Ezután A-ból  sugarú körívvel messük -t! Bizonyítandó, hogy ez a metszéspont éppen a keresett S, az  aranymetsző pontja. Ezt egyszerűen beláthatjuk:

amiből pedig következik, hogy

, azaz S az  szakasz aranymetsző pontja.

4. konstrukció

Ezt a szerkesztést majdnem 20 éve ismerjük George Odom jóvoltából. Az 1983-ban az American Math Monthly-ban megjelent feladata így szól: Legyenek A és B a EFG egyenlő oldalú háromszög  és  oldalainak felezőpontjai.  egyenese metszi a háromszög körülírható körét C-ben és D- ben. Mutassuk meg, hogy B az  aranymetsző pontja!

Legyen . Ekkor , ami abból következik, hogy  az EFG háromszög középvonala, aminek egyenese, metszi a háromszög köré írható körét C és D pontokban. Ekkor .

Ekkor megfordítva a húr-tételt:

Innen pedig egyből adódik a már jól ismert egyenlet:

, ahol .

Visszatérve az eredeti jelölésekhez: , ami azt jelenti, hogy B éppen az  aranymetsző pontja.

5. konstrukció

Az előző konstrukciókban az adott szakasznak olyan belső pontját kerestük, amely aranymetszésben osztja a szakaszt. Most adott szakaszhoz olyan külső pontot szerkesztünk, amellyel a szakasz hossza, valamint a pont és szakasz között lévő távolság egymással aranymetszést alkotnak.

Tekintsük az  szakaszt! Ennek felezőpontját jelöljük E-vel.  egyenesére állítsunk merőlegest S-ben és erre a merőlegesre mérjük fel -t! Az így kapott pontot nevezzük C-nek! Ekkor . Mivel  és , ezért

.

Az E középpontú  sugarú kör az  egyenesét két pontban metszi. Az S-hez közelebbi metszéspontot jelöljük B-vel!

Bizonyítandó, hogy S az  aranymetsző pontja. Ez az állítás a következőképpen igazolható:

,

amiből következik, hogy

.

6. konstrukció

Az előző konstrukciókban adott szakasz belső illetve külső aranymetsző pontját szerkesztettük. Most adott aranymetszett szakaszhoz szerkesztünk további belső, illetve külső aranymetszéseket.

Legyen adott egy  szakasz, melynek S az aranymetsző pontja. Az A középpontú  sugarú kör (AB) egyenesét metszi egy -n kívüli pontban, C-ben.

Igazolandó, hogy A a  aranymetsző pontja.

Mivel S az  aranymetsző pontja, és , ezért , amiből következik, hogy:

,

ami éppen azt jelenti, hogy A a  aranymetsző pontja.

Ezzel a módszerrel adott aranymetszett szakaszhoz akár külső, akár további belső osztópontokat könnyedén szerkeszthetünk:

Ezen szerkesztési módszerek ismeretében most már könnyűszerrel szerkeszthetünk aranymetsző pontot bármelyik szakaszhoz. Hogy mire is jó ez nekünk?

Létezik két olyan síkidom, amely szerkesztéséhez nélkülözhetetlen az aranymetszés megszerkesztésének ismerete. Ez a két síkidom a szabályos öt-, illetve tízszög.

Az ötszög szerkesztése

A pentagon szögeinek nagysága 72°, ami azt jelenti, hogy szerkesztése nem olyan egyszerű, mint a 60°, vagy annak többszörösei. Általános és középiskolában az ötszög szerkesztése nem is része a tananyagnak. Sain Márton a következőképp vélekedik az ötszög szerkesztéséről:

„A szabályosötszög-szerkesztés feladata szinte összefoglalja mindazon alapvető számelméleti és geometriai ismereteket, amelyekkel a püthagoreusok már rendelkeztek.”

Az ötszög szerkesztése történelmi távlatban is bonyolult. Euklidesz is messziről indul. Először olyan háromszöget szerkeszt, melynek alapjánál lévő két szöge kétszer akkora, mint a csúcsában lévő szög, azután ezt a háromszöget illeszti adott sugarú körbe, s bizonyítja, hogy az így körbe írt ötszög szabályos.

1. konstrukció

Ez a szerkesztés két részből áll. Az első részében egy olyan egyenlőszárú háromszöget kell szerkesztenünk, melynek az alapon nyugvó szögei kétszer akkorák, mint a csúcsnál lévő szög. A második részben ezt a háromszöget adott sugarú körbe kell elhelyezni úgy, hogy szabályos ötszöget eredményezzen.

Az aranyháromszög

Euklidesz Elemeinek negyedik könyvének 10. feladata a következőképpen hangzik:

„Oly egyenlő szárú háromszöget állítani össze, melynek talpánáli mindenik szeglete kétakkora legyen, mint a harmadik szeglete.” [1]

Ez a konstrukció első része.

Legyen  olyan szakasz, melynek C az aranymetsző pontja. Első lépésként A középponttal, és  sugárral szerkesszük meg K kört. Ezt a kört messük egy B középpontú,  sugarú körívvel, és a metszéspont legyen D. Húzzuk meg és szakaszokat, és az  körülírható körét, k-t. Be kell látnunk, hogy az  megoldása a feladatnak, azaz az alapon fekvő szögei éppen kétszeresei a csúcsnál lévő szögnek.

Mivel C az  aranymetsző pontja, azaz  és , ezért

„És minthogy ACD (k) körön kívül vétetett némi B pont, és B-től ACD körre és két egyen van vonva, melyeknek egyike szeli a kört, másika találkozik vele”, és :

tehát  érinti k kört.

Ezért, és mert  egyik végpontja a D:

Mindkét szöghöz hozzáadva -et, kapjuk:

Mivel  nagysága a  külső szög nagyságával egyenlő, így

Mivel , így , amiért , azaz

.

Minthogy , . De , ezért , ami miatt .

Ami nem jelent mást, mint hogy , azaz . Mivel , így ezek mindegyike kétszer akkora, mint .

„Állíttatott tehát ABD egyenlőszárú háromszög, melynek BD talpnál való mindenik szeglete kétakkora, mint a harmadik.” [2]

Ezt a háromszöget, mert oldalainak aránya , aranyháromszögnek is nevezik. (Alapját a-val jelölve, szárai  hosszúságúak.) Belsőszögeinek nagysága rendre 72°, 72° és 36°.

Ezzel a konstrukció első része készen van. A következő részében azt nézzük meg, hogyan lesz ebből az aranyháromszögből szabályos ötszög.

Aranyháromszögből szabályos ötszög

Euklidesz Elemeinek negyedik könyvében a 11. feladat a következőképp hangzik:

„Adott körbe egyenlő oldalú és egyenlő szegletű ötszeget írni.” [3]

Adott K kör és FGH aranyháromszög, melynek a G és H csúcsoknál lévő szögei kétszer akkorák, mint az F csúcsnál lévők. Írjunk a K körbe olyan – az -gel hasonló – -et úgy, hogy  legyen. Miután megszerkesztettük ezt az -et, messük K körvonalat az , illetve a  belső szögfelezőivel E és B pontokban, majd kössük össze az így kapott ABCDE konvex ötszög csúcspontjait.

Mivel , valamint [CE) és [DE) felezik ACD, illetve CDA szögeket, ezért

Mivel mindegyik kerületi szög, és mindegyik egyenlő nagyságú és mivel azonos nagyságú kerületi szögekhez azonos hosszúságú ívek tartoznak, ezért

Ugyanazon körben azonos hosszúságú ívekhez azonos hosszúságú húrok feszítenek, tehát

Azaz az ABCDE ötszög egyenlő oldalú ötszög. Már csak azt kell igazolni, hogy szögei is egyenlő nagyságúak.

Induljunk ki az előbbi megállapításból, miszerint . Adjuk hozzájuk a közös  ívet. Ekkor . Ehhez a két ívhez két kerületi szög is tartozik:

Ugyanezért igaz a következő is:

Ezzel „meg van mutatva, hogy ABCDE ötszeg egyenlő szegletű, meg van mutatva az is, hogy egyenlő oldalú. Adott körbe tehát sat.” [4] .

2. konstrukció

Ez a szerkesztés egy picivel egyszerűbb, mint az előző. Most is egy aranyháromszögből induljunk ki! A szerkesztés menetének leírása az előző konstrukcióban megtalálható, azonban a második része eltér attól.

Mint már az előbb láttuk, az aranyháromszög alapja a szabályos ötszög egyik oldalával megegyezik, vagyis a szerkesztendő ötszög oldala és az aranyháromszögünk alapja egyenlő nagyságú szakaszok. Ebből a tulajdonságból pedig könnyen adódik a következő:

Legyen  a szóban forgó aranyháromszög, melynek alapja a  szakasz. C és D pontokból körívezzünk sugarú ívvel, majd ismételjük meg ezt az A csúcsnál is. Ekkor a háromszög mindkét száránál kaptunk egy-egy metszéspontot, amiket nevezzünk rendre B és E pontoknak.

Triviális, hogy ABCDE ötszög minden oldala egyenlő.

3. konstrukció

Euklidesz Elemeinek negyedik könyvének 11. feladata úgy szólt, hogy adott körbe szabályos ötszöget kellett írni. Ezt ő a már vázolt módon oldotta meg. Most e feladat egy másik megoldásáról lesz szó, melyben egy másik szabályos sokszögön, a tízszögön keresztül jutunk el a pentagon megszerkesztéséhez.

Ez a megoldás a következő tételen alapszik:

A szabályos tízszög oldala annak az aranymetszésnek a kisebbik szelete, amelynek a nagyobbik szelete a kör sugara. [5]

E tétel alapján a kör sugarából kiindulva a szabályos tízszög oldalát, és így a körbe írt szabályos tízszöget is megszerkeszthetjük. A tízszög minden második csúcsát összekötve a beírt szabályos ötszöget is megkapjuk.

A tízszög szerkesztése

Ha az ábrát alaposabban szemügyre vesszük, egyből feltűnik, hogy az egy olyan derékszögű háromszög, mely befogóinak aránya 2:1, átfogója éppen ezért , ami azt jelenti – lásd korábban az aranymetszés szerkesztésének 1. konstrukcióját – , hogy:

,

azaz  annak az aranymetszésnek a kisebbik szelete, melynek nagyobbik szelete az adott kör sugara. Ebből pedig következik, hogy  a körbe írható tízszög oldalával egyenlő hosszúságú.

A kapott tízszög minden második csúcspontját összekötve pedig eljutunk az adott körbe írható szabályos ötszöghöz.

4. konstrukció

E konstrukció hasonló az előzőhöz, tulajdonképpen annak egy „továbbfejlesztett” változata.

A következő tételt vesszük alapul:

A kör sugarával és a körbe írt szabályos tízszög oldalával, mint befogókkal szerkesztett derékszögű háromszög átfogója a körbe írt szabályos ötszög oldala [6] .

E tétel is módot nyújt a körbe írt szabályos ötszög oldalának megszerkesztésére, ha egyszer a beírt szabályos tízszög oldalát már megszerkesztettük.

Az előző szerkesztésből kiindulva itt is feltűnik, hogy  a körbe írható szabályos tízszög oldalával egyenlő nagyságú. Mivel  és , következik, hogy . Ekkor  egy olyan derékszögű háromszög, melynek befogói a körbe írható tízszög oldala, illetve a kör sugara, így átfogója ( ) a körbe írható szabályos ötszög oldalával egyenlő nagyságú.

5. konstrukció

Ez a konstrukció egy kissé rendhagyó módja a szerkesztésnek. Igazából nem is szerkesztés, ezért inkább az ötszög „létrehozásának” nevezném. Az előző szerkesztések igazolásához szükség van felsőbb matematikai ismeretekre, ez a módszer azonban beilleszthető az általános iskolai tananyagba is, ha másképp nem, de szakköri szinten mindenképpen.

Ötszög alkotása papírhajtogatással

Ehhez mindösszesen egy papírcsíkra van szükségünk. A művelet nem más, mint egy csomó kötése erre a csíkra. Ha szépen kisimítjuk ezt a „csomót”, megfigyelhetjük, és igazolhatjuk, hogy tényleg egy szabályos ötszöget alkottunk.

Az igazolást – hogy tényleg szabályos ötszöget alkottunk – szintén a legegyszerűbb módszerekkel végezzük. Az ötödik fázisban bemutatott hajtással lemérhető bármelyik oldal – elegendő hosszúságú papírcsík birtokában –, hogy minden oldal egyenlő nagyságú. Az ötszög szögeinek egyenlő nagyságát pedig a már jól bevált – szintén papírhajtogatásos – módszerrel igazolhatjuk. Ha ezt a hajtogatott ötszöget a szimmetriatengelyei mentén félbehajtjuk, azt tapasztaljuk, hogy a szögek fedik egymást. Ebből pedig az következik, hogy a hajtogatott síkidomunk szabályos ötszög.

Figyeljük meg az 5. ábrát! Ahol a papírcsík kettő, illetve több rétegben fordul elő, egy érdekes síkidom válik láthatóvá. Ez a síkidom nem más, mint az oly sokat emlegetett, és szimbólumként gyakran használt pentagramma.

A pentagramma

Az ókori időktől kezdve az ötös számnak és így az ötszögnek is különös jelentőséget tulajdonítottak. Jelzői fokozás nélküli szuperlatívuszok: a csodálatos ötszög, a bűvös ötszög, a misztikus ötszög. A csillagötszög napjainkban is igen „közkedvelt” szimbólum. A Gonosztól a Jóig mindenféle ideológiát vonultatnak fel égisze alatt. A középkor asztrológiai ábráin az ötszög csúcsainál az öt főbolygó (Merkur, Vénusz, Mars, Jupiter, Szaturnusz) neve szerepel. Az ötszög, mint jelkép már az ősidőktől fogva az egység, és ugyanakkor az univerzum szimbóluma, de jelképe a termékenységnek és az életnek is. Az ötágú csillag jele például a szabadkőműveseknek, de ki ne emlékezne arra a bizonyos vörös színűre?

A boszorkányszöget „titkos” jelként a boszorkányok és az okkultista tanok ismerői használják; de volt egy ezeknél is fontosabb csoport, akik mind a tudományos életben, mind a filozófiában jelentős szerepet játszottak.

Ők a püthagoreusok. Az ötöt a mikrokozmosz tökéletes számának tartották, a pentagrammát pedig titkos jelként használták, bár már Babilonban is ismert volt. Az egészség szimbólumát látták benne és csúcsaihoz az egészség istennőjének, Hügiéniának jeleit kapcsolták. A csodálatos ötszög segítségével értelmezték az aranymetszés törvényét is, amely szerint a csillagötszög arányai az aranymetszés törvényeinek sorozata.

A pentagramma tulajdonképpen nem más, mint öt darab aranyháromszög egy ötszög köré rendezve. Ha egy csillagötszöget testhálóként értelmezünk, egy szabályos ötszög alapú gúlát vélhetünk felfedezni benne. Ha ilyen gúlákat illesztünk egy dodekaéder lapjaira, ún. csillag poliédert, mégpedig kis csillag dodekédert kapunk eredményül.

A sík hézagmentes lefedése – Penrose csempéi

Roger Penrose oxfordi matematikus 1973-ban fedezte fel a sík nem periodikus parkettázásának lehetőségét. Martin Gardner által vált ismertté ez a felfedezés, amely 1977 januárjában jelent meg a Scientific American-ben Matematikai játékok címen. A 80-as évek elején ismét központi témává vált, 3 dimenzióra történő álalánosításának következtében, valamint a kristálykutatásban jelentős felfedezéseknek köszönhetően (felfedezték a kvázi-kristályokat).

Penrose-csempék alakja különféle lehet, de a legérdekesebb és legismertebb pár a dárdák (konkáv rész) és sárkányok (konvex rész) kettőse. A csempék aranyrombuszokból készíthetőek, melyek szögeiknek nagysága 72° és 108°.

Ha felosztjuk a rombusz hosszabbik átlóját az aranymetszés szerint és az aranymetsző-pontot összekötjük a tompaszögű csúcsokkal, és e két szakasz mentén kettévágjuk a rombuszt, egy konvex és egy konkáv, de egymással páronként megegyező oldalhosszúságú deltoidot kapunk. Oldalhosszainak aránya éppen . (Ennek igazolásához emlékezzünk vissza az aranyháromszögre, vagy egy szabályos ötszög átlóira.)

A rombusszal periodikusan csempézhető a sík, ezért így nem illeszthetők össze a csempék. (Hiszen a probléma az aperiodikus csempézés.) Hogy még csak véletlenül se essünk abba a hibába, hogy rombusszal csempézünk, meg kell jelölni az össze illeszthető csúcsokat, például különböző színű pöttyökkel.

A szabályunk az, hogy összeillesztéskor minden csúcsnak ugyanolyan színű csúcshoz kell csatlakoznia. Ahhoz, hogy teljes mértékben kiélvezhessük a Penrose-csempézés szépségeit és rejtélyeit, legalább 100 sárkányra és 60 dárdára van szükségünk. A darabokat csak az egyik oldalukon kell kiszínezni. A kétféle alakzat darabszámának aránya (területük arányához hasonlóan) egyenlő az aranymetszés arányszámával. Azt hihetnénk, hogy a kisebb dárdából van szükség több darabra, de ez éppen fordítva van. Sárkányból -szer annyi kell, mint dárdából. Végtelen csempézés esetén ez a szám a pontos arányt adja meg.

 

A csempézés aperiodikusságát Penrose a  irracionalitásával bizonyítja; hiszen ha periodikus lenne; akkor az aránynak nyilvánvalóan racionálisnak kellene lennie.

Bizonyítható, hogy a Penrose-csempézések száma az egyenes pontjainak számosságához hasonlóan nem megszámlálható. A bizonyítások egy meglepő jelenségen alapulnak. Ezt a jelenséget felfújásnak nevezzük, mert bármelyik alakzat előállítható kisebb elemekből:

Két fél dárdából és egy sárkányból egy új, nagyobb dárda hozható létre, míg két fél dárdából és két sárkányból egy új, nagy sárkány állítható elő. Ugyanez visszafelé is működik: minden elemből levághatók olyan részek, amelyekből sárkány és dárda rakható össze, továbbá a megmaradó részek is sárkányok illetve nyilak lesznek. (Ezt az inverz műveletet leeresztés nek nevezzük.)

Az Amman-csíkok és a Beatty-sorozat

Egy tehetséges fiatal matematikus, Robert Ammann, aki alacsony szintű számítógépes munkákat végzett Massachusetts-ben, Penrose-tól függetlenül felfedezte a rombusz-csempéket 1976-ban. Ammann hamarosan rájött, hogy mindkét csempepár olyan mintákhoz vezet, melyeket öt, párhuzamos egyenesekből álló egyenescsalád határoz meg, ahol az egyenesek öt különböző irányban haladnak át a síkon, 360/5=72 fokos szögben metszve egymást. Egy ilyen egyenescsalád – mai elnevezéssel Ammann-csíkok – látható az ábrán.

Észrevehető, hogy az egyenesek olyan dárdák konkáv csúcsán haladnak át, melyek egyik része egy irányba, a többi pedig ellenkező irányba mutat. Szigorú értelemben ez nem pontos meghatározás az egyenesek elhelyezkedésére, de a mi céljainknak ez az egyszerű szabály is megfelel. A precíz meghatározás a Grünbaum–Shephard-könyvben megtalálható. Ha a pontos helyükre kerülnek az egyenesek, akkor mindegyik egy hajszálnyival a dárdák konkáv csúcsán kívül halad. A minta minden szabályos tízszögének belsejében tökéletes pentagrammát rajzolnak ki az Ammann-csíkok.

A szomszédos egyenesek között kétféle távolság figyelhető meg, az egyiket H-val (hosszabb), a másikat R-rel (rövidebb) fogjuk jelölni. Ha megfelelően helyezzük el az egyeneseket, akkor a két távolság aranymetszéssel aránylik egymáshoz. Ráadásul a teljes síkot tekintve az egy családon belül levő csíkok között a H-k számának aránya a R-ek számához szintén aranymetszés. Ha elindulunk a csíkok egyik családjára merőleges irányban, H-k és R-ek sorozatával jegyezhetjük le az egymást követő távolságokat. Ez a sorozat nem lesz periodikus, és a Penrose-csempézésnek szép, egydimenziós megfelelőjét adja, teljesül rá a lokális izomorfizmus-tétel. Bármilyen véges részét kiválasztva a sorozatnak, mindig meg fogjuk találni a közelben annak másolatát. Induljunk el bárhol és jegyezzünk fel akárhány betűt véges sok, mondjuk egymilliárd lépésen keresztül. A sorozat bármelyik pontjáról elindulva biztosak lehetünk abban, hogy elérünk egy ugyanilyen egymilliárd betűs sorozatot. Csak akkor nem ismétlődik meg a betűsorozat, ha végtelen

Conway felfedezte, hogy ez a sorozat a következőképpen kapható meg az aranymetszésből. Írjuk fel növekvő sorrendben az aranymetszés arányszámának ((1+51/2)/2) a többszöröseit, lefelé kerekítve a legközelebbi egész számra. A kapott sorozat így fog kezdődni: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 37, 38, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 50, ... Ez a 917-es számú sorozat N. J. A. Sloane: Handbook of Integer Sequences (Egész számokból álló sorozatok kézikönyve) című könyvében. Ha az aranymetszés négyzetének a többszöröseit kerekítjük le, akkor a 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, ... sorozatot kapjuk. A két sorozatot szokás egymás "komplementerének" nevezni. A kettő egyesítésében minden pozitív egész egyszer és csak egyszer fordul elő. Ha egy tetszőleges a valós szám többszöröseit kerekítjük lefelé a legközelebbi egészre, akkor az így kapott sorozatot az a spektrumának nevezik. Ha a irracionális, akkor szokás a sorozatot Beatty-sorozatnak hívni, Samuel Beatty kanadai matematikus neve után, aki az ilyesfajta sorozatokra irányította a figyelmet 1926-ban. Az aranymetszésen alapuló komplementer Beatty-sorozatok szolgáltatják a NIM-játék Wythoff-játéknak nevezett híres változatának nyerő stratégiáját.

Az aranymetszéses Beatty-sorozat szomszédos tagjainak különbsége vagy 1, vagy 2. Ha felírjuk az első különbségsorozatot, majd minden 1-est 0-ra és minden 2-est 1-re változtatunk, egy végtelen bináris sorozatot kapunk, amely így kezdődik: 101101011011010... Ez az Ammann-csíkok bármelyik végtelen családjában az R-ek és H-k sorozatának egy darabja. Conway a "zenei sorozat" kifejezést használja az aranymetszéses sorozat bármelyik véges szakaszára.

Az ilyen sorozatok számos érdekes tulajdonsággal rendelkeznek, ha például a fenti, binárisan megadott Fibonacci-sorozat elé tizedesvesszőt rakunk, akkor az eredmény egy olyan irracionális szám kettes számrendszerbeli vesszőstört alakja lesz, melyet a következő lánctört határoz meg:

A lánctörtben szereplő kitevők éppen a Fibonacci-számok. Conway számos publikálatlan eredménnyel rendelkezik arról, hogy a Penrose-csempézések hogyan függenek össze a Fibonacci-számokkal, amik viszont különböző növények növekedési szabályaival függenek össze.

A Penrose-csempézések, mint láttuk, ön-hasonlóak abban az értelemben, hogy ha felfújjuk vagy leeresztjük őket, akkor egy másik csempézést kapunk. A Fibonacci-sorozatok is rendelkeznek ugyanevvel a tulajdonsággal. Sokféle módon felfújhatók és leereszthetők úgy, hogy egy másik ilyen sorozatot kapjunk, de a legegyszerűbb a következő. A leeresztéshez cseréljünk ki minden R-et H-ra, minden HH-t R-re, és hagyjuk el az egyedül álló H-kat. Ha például a HRHHRHRHHRHHRHR sorozatot ezzel a szabállyal eresztjük le, akkor a leeresztettje HRHHRHRHH. A felfújáshoz cseréljünk ki minden H-t R re, minden R-t HH-ra, és két R közé mindenhova rakjunk be egy H-t.

Egy Fibonacci-sorozatban sosem fordulhat elő RR vagy HHH. Ezt felhasználva könnyen eldönthető, hogy R-ek és H-k egy sorozata Fibonacci-e. Alkalmazzuk a leeresztési szabályt egészen addig, míg vagy egy olyan sorozatot nem kapunk, amelyben RR vagy HHH van (ebben az esetben a sorozat nem Fibonacci), vagy egyetlen betűt nem kapunk, ami bizonyítja, hogy az. Egy Penrose-csempézés felfújásakor vagy leeresztésekor az Ammann-csíkok bármelyik családjához tartozó sorozat is felfújódik, illetve leeresztődik. Bármelyik olyan hernyóban, mint a kocsikerékminta tíz küllőjének hernyói, a hosszú és rövid csokornyakkendők sorozata szintén Fibonacci-sorozat.

Az Ammann-csíkok két családja nem periodikus paralelogrammák olyan hálózatát hozza létre, melybe beleilleszkednek a csempék. Ahogy Grünbaum és Shephard fogalmazza, "az, ami alapvető, az a csíkok rendszere, és a csempék szerepe mindössze az, hogy egy gyakorlati megvalósítást adnak". A csíkok valami olyasmik, amik halványan emlékeztetnek a kvantummezőkre, melyek meghatározzák a részecskék helyét és pályáját. Ammann volt az első, aki már 1977 elején észrevette, hogy a csíkok hálózata "kényszertételek"-hez vezet – olyan tételekhez, melyek arról szólnak, hogy csempék egy kicsiny halmaza hogyan határozza meg végtelen sok más csempe helyzetét.

Ammann felfedezéseiből kiindulva Conway számos további figyelemre méltó kényszertételt mondott ki. Most csak azt említem meg, miszerint két Penrose-csempe (mindkettő akármilyen típusú lehet), ha megfelelően helyezzük el őket, tetszőleges távolságra egymástól, csíkok két végtelen (nem teljes) családját határozza meg. Az egymást metsző két egyenescsalád viszont végtelen sok csempe helyzetét határozza meg. A király, dáma, bubi, kettes és a csillag például olyanok, hogy birodalmukban végtelen sok csempe helyét kényszerítik ki.

Az aranyszög

Aranyszögnek nevezik azt a szöget, melynek koszinusza az aranymetszés hányadosa:

cos = 0,618034...

E szög értéke a függvénytáblázat alapján

 = 51°49’43”

Az aranyszög körzővel és vonalzóval való szerkesztése visszavezethető az aranymetszet euklideszi szerkesztésére. Legyen r és R az O középpontú koncentrikus körök sugarai és legyen az r az R sugarú szakasz nagyobbik aranymetszete. Az AB húr legyen az r sugarú kör érintője, és C legyen az érintési pont. Ekkor az OAC derékszögű háromszögben az AB húr fele,  és .

Ismeretes, hogy az aranymetszési hányadosra fennáll a  összefüggés.  helyébe -t írva, az

egyenletet kapjuk. Mivel  az egyenlet mindkét oldalát -val szorozva, a

egyenlethez jutunk. A  azonosság felhasználásával a  alakot , majd mindkét oldalt –val osztva ( ),

összefüggést kapjuk, ahol . Az egyenlet geometriai jelentése, hogy a belső körhöz annak C pontjában húzott CA érintőszakasz megegyezik a külső kör D pontbeli érintőjének az érintési  pont és a szög szára közötti DE szakaszával.

Az aranyszög számos díszítő alakzaton felfedezhető. A középkor építészei, művészei az arány isteni eredetének megfelelően az aranymetszésnek és az aranyszögnek különös jelentőséget tulajdonítottak. Azok a szimbólumok, jelképek, melyek az Ég és a Föld viszonyára vonatkoznak, az aranymetszési arány hordozói.

Az aranyszöggel számos egyéb, jelképet hordozó relikvián, emléken találkozunk. Aranyszöget zárnak be az ismert Krisztus-monogram X jelének szárai a P betű szárával, és aranyszöget fedezhetünk fel Szent István királyunk REX ST (Rex Stephanus) betűjeleket tartalmazó ligatúrás kézjegyén is

Az aranytéglalap

Esett már szó az aranyháromszögről, mely azért különleges háromszög, mert oldalainak aránya az aranymetszés arányával egyezik meg. Négyszögek közt is létezik ilyen hasonló tulajdonságokkal rendelkező síkidom. Ezt aranytéglalapnak nevezünk, mert oldalainak aránya éppen az aranymetszés aránya, . Magában az a tény, hogy létezik, még nem bírna olyan nagy jelentőséggel, viszont – ahogyan az aranyháromszög esetében is láttuk – az aranytéglalap is sok érdekességet rejt magában. Hogy mit, arról picit később lesz szó.

Először néhány szót arról, hogyan szerkeszthető az aranytéglalap. Már az aranymetszés és az ötszög esetében láttuk, hogy nem is olyan egyszerű megszerkeszteni két egymással  arányban lévő szakaszt. Azonban mégsem olyan ördöngős feladatról van szó. Az aranymetszés utolsó konstrukciójának alapján fogunk eljárni.

Legyen adott egy a oldalú ABCD négyzet. AB illetve CD oldalak M illetve N felezőpontjait összekötve C illetve D csúcsokkal két egyenlő hosszúságú MC illetve NB szakaszokat kapunk. Ezekkel a sugarakkal a két felezőpontból, M-ből és N-ből metszve [AB) és [DC) félegyeneseket kapjuk E illetve F metszéspontokat, és így eljutunk AEFD téglalaphoz.

Mivel  és , ezért olyan derékszögű háromszög, melynek átfogója . Mivel  és , ezért

,

tehát a szerkesztett téglalap oldalainak aránya , vagyis AEFD aranytéglalap.

Hogy miért is kellett megemlíteni az aranytéglalapot, a következő részből kiderül.

 


[1] Brassai Sámuel 1896-ban megjelent fordítása

[2] Brassai Sámuel 1896-ban megjelent fordítása

[3] Brassai Sámuel 1896-ban megjelent fordítása

[4] Brassai Sámuel 1896-ban megjelent fordításából

[5] A tétel bizonyítása megtalálható Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyvének 22.§-ában.

[6] A tétel bizonyítása megtalálható Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyvének 22.§-ában.