Egész számok összege, négyzetösszege, köbösszege és ezek összefüggéseinek szemléletes bizonyítása


I. Egész számok összegei és négyzetei

A következő összefüggés szemléletes bizonyítása nem szorul túl sok magyarázatra. Ha a szaggatott párhuzamos vonalak közötti pontokat tekintjük egy sorba tartozónak és így összegezzük a sorokat, akkor az összefüggés bal oldalát kapjuk. Ha eltekintünk ezektől a párhuzamosoktól és csak a négyzet alakzatban elhelyezkedő pontokat tekintjük valamint összegezzük, akkor az összefüggés jobb oldalához jutunk.

1 + 2 + ... + (n-1) + n + (n-1) + ... + 2 + 1 =  n2

szemléltetés
Most bizonyítsuk be, hogy jól okoskodtunk!

1 + 2 + ... + (n-1) + n + (n-1) + ... + 2 + 1 = *

Csoportosítsuk a tagokat a következőképpen:

* = (1 + n-1) + (2 + n-2) + ... + (n-2 + 2) + (n-1 + 1) + n
   = n * n
   = n2







Az előzőekhez hasonlóan vizsgáljuk meg, hogy milyen összefüggés áll fenn páratlan számok esetében:

szemléltetés
1 + 3 + ... + (2n-1) + (2n+1) + (2n-1) + ... + 3 + 1 = n2 + (n+1)2


Bizonyítás:

1 + 3 + ... + (2n-1) + (2n+1) + (2n-1) + ... + 3 + 1 = *

A tagokat csoportosítva:

* = (1 + 2n-1) + (3 + 2n-3) + ... + (2n-3 + 3) + (2n-1 + 1) + (2n+1)    = n*2n + 2n + 1
   = 2n2 + 2n + 1
   = n2 + (n2 + 2n + 1)
   = n 2 + (n+1) 2



II. Az első n db pozitív egész szám összege

  s(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =  n(n+1)
2
II/a
s(1) =  1*2
2
s(2) = 1 + 2 = 3 =  2*3
2
s(3) = 1 + 2 + 3 = 6 =  3*4
2
s(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 =  4*5
2 

Ezek alapján sejthető, hogy
s(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =  n(n+1)
2

Sejtésünket igazoljuk teljes indukcióval:

    n = 1 esetén  s(1) = 1

    Tegyük fel, hogy n = k-ra igaz az állítás,vagyis
s(k) =  k(k+1)
2

    Bizonyítsuk be, hogy n = k+1 -re is igaz az állítás:
s(k+1) = 1 + 2 + 3 + ... + k + k+1 =  (k+1)(k+2)
2

s(k+1) = s(k) + k+1
   
    Az indukciós feltevést alkalmazva:
k(k+1)
= k + 1 = 
(k+1)(k+2)
2
2
     

    Mindkét oldalt (k+1)/2 -vel osztva kapjuk, hogy  k + 2 = k + 2, amivel az eredeti állításunkat igazoltuk.


II/b  Az s(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n  összeg tagjai egy olyan számtani sorozat elemei, amely számtani sorozat különbsége 1.

A számtani sorozat elemeinek összegére vonatkozó összefüggést alkalmazva: 
s(n) = a1 + a2 + a3 + ... + a n = n  a1+an
2
s(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n 1+n
 = 
n(n+1)
2
2
Láthattuk, így is ugyanarra az eredményre jutottunk.

II/cAz összefüggést jól szemlélteti a következő ábra

szemléltető ábra c/1
Az egység oldalú négyzetek területeit a legfelső sortól soronként összeadva  az összefüggés bal oldalát kapjuk:
s(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n
(Az ábra az n = 7 esetet szemlélteti.)

c/2
A nagy fehér háromszög  egy n X n-es négyzet fele, tehát területe a négyzet területének felével egyenlő, azaz  n 2 /2. Ehhez adjuk még hozzá a kis szürke háromszögek területösszegét. Vegyük észre , hogy minden kis szürke háromszög egy-egy egységoldalú négyzet fele és n db ilyen van.

Tehát az ábrán látható alakzat területe:
n2
 + 
n
2
2

Mindkét állításunk (c/1, c/2) egy-egy meghatározást ad ugyanannak az alakzatnak a területére, tehát a két kifejezés egyenlő.
 
s(n) = 1 + 2 + 3 +... + n = 
n2
 +
n
 =
n(n+1)
2
2
2


III. Egész számok négyzeteinek összege

s(n2) = 1 2 + 22 + ... + n2= 
n(n+1)(2n+1)
6
 

 n = 1
 n = 2
 
n = 3
 
n = 4
 
n = 5
 ...
n
s(n)
1
3
6
10
15
 ...
n(n+1)
2
s(n2)
1
5
14
30
55
 ...
?
s(n2)
1
5
14
30
55
 ...
2n+1
s(n)
3
6
10
15
3

A s(n2)/s(n) = (2n+1)/3 sejtésből következik, hogy
s(n2) = s(n)
2n+1
  =
n(n+1)(2n+1)
3
6

Mivel az eredményt egy sejtés következményeként kaptuk, ezért még bizonyításra szorul.


III/a Igazoljuk teljes indukcióval!
    n = 1 -re    s(12)=1

    Tegyük fel, hogy n = k -ra igaz az állításunk, vagyis
s(k2) = 
k(k+1)(2k+1)
6

    Bizonyítsuk be, hogy n = k+1-re is igaz, azaz 
s((k+1)2) = 12 + 2 2 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 
(k+1)(k+2)(2k+3)
6

s((k+1)2)=s(k2)+(k+1)2

    Az indukciós feltevést alakalmazva:
k(k+1)(2k+1)
+ (k+1)2 =  
(k+1)(k+2)(2k+3)
6
6

    Mindkét oldalt elosztva (k+1)(k+2)(2k+3)/6-tal a következő egyenlőséghez jutunk:

k(2k+1) + 6(k+1) = (k+2)(2k+3)

A zárójelek felbontása és összevonása után kapjuk a 2k2 + 7k + 6 = 2k 2 + 7k + 6 azonosságot, tehát az eredeti állításunk igaz.


III/b Nézzünk ugyanerre a problémára egy másik bizonyítást!

03  = (1-1)3 = 13 - 3 * 12* 1 + 3 * 1 - 13
13= (2-1)3 = 23 - 3 * 2 2 * 1 + 3 * 2 - 13
23  = (3-1)3 = 33 - 3 * 3 2 + 3 * 3 - 13
.
.
.
(n-1)3 = ...  = n3 - 3n 2 + 3n - 1

Az egy oldalon szereplő tagokat összeadva:
    13 + 23 + 3 3 + ... + (n-1) 3 = (13 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3) - 3(1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 ) + 3(1 + 2 + 3 + ... + n) - n

Már beláttuk, hogy
1 + 2 + 3 + ... + n =  n(n+1)
2
Írjuk be a helyére a következőt:
13 + 23 + 33 + ... + (n-1) 3 = ( 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3) - 3(1 2 + 22 + 32 + ... + n 2 ) + 3 n(n+1)
  - n
         2        

Mindkét oldalból 1 3 +2 3 +33+...+(n-1) 3 -t kivonva és 3(1 2+22 +3 2 +...n 2 )-t hozzáadva, majd 3-mal elosztva kapjuk:

1 + 22 + 32 + ... + n 2 = 
n(n+1)
 +  
n3-n
 = 
3n(n+1) + 2(n3-n)
 =
3n(n+1) + 2n(n2-1)
2
3
6
6

 =
3n(n+1)+2n(n+1)(n-1)
 =
n(n+1)(3+2n(n-1)
 =
n(n+1)(2n+n)
6
6
6


III/c
Most hagyjunk el minden második természetes számot, azaz tekintsük az első n páratlan szám ot és képezzük ezek összegét!

Az 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) összeg tagjai szintén egy számtani sorozat elemei, mely számtani sorozatnak a különbsége 2.
Az előzőekben is használt összefüggést e sorozat összegére alkalmazva:
sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n 1 + (2n-1)
 = 
2n2
  = n2
2
2

Nézzünk néhány  szemléletes bizonyítást ugyanerre a tételre!

sums of odd integers i
Az összegzést az ábra  bal alsó sarkában lévő világoskék ponttól kezdjük. Ez jelképezi az 1-et. Az őt körülvevő három piros pont a 3-at , az ezt körülvevő öt kék pont az  5-öt, stb. jelképezi. Minden lépésben egy négyzetet kapunk és a legvégén kapott négyzet oldala n.
Tehát az n*n-es négyzet területe egyenlő az első n páratlan szám összegével:

n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)


sums of odd integers ii







Ebben a négyzetben piros pontokkal a keresett összeg van ábrázolva n=7 esetében. A "piramis" felső csúcsában egy piros pont van, alatta 3, alatta 5, az alatt pedig 7. A nagy négyzet összesen 8*8 pontot tartalmaz, amit  négy egyforma "piramisra" bontottunk.

Általánosan: 
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) =  1
*(2n)2 = n2
4


A harmadik bizonyítás a háromszögek hasonlóságát használja fel.

sumsofoddintegersiiii
Az első háromszöget úgy bontottuk kis háromszögekre, hogy a kisháromszögek területösszege a keresett összeget, vagyis a páratlan számok összegét adja. Ugyanennek a háromszögnek a területét másképpen is meghatározhatjuk. A második ábra mutatja, hogy 1 db s területű kisháromszöget centrális nyújtással az elsővel egybevágó háromszöggé nagyítottuk.
Tehát a kisháromszög és a nagyháromszög hasonlóak egymáshoz. Hasonlóságuk aránya n, így területeik aránya n 2, vagyis a nagyháromszög területe a kisháromszög területének n 2-szerese.


Tnagyháromszög =  T kisháromszög + 3Tkisháromszög + ... + (2n-1)Tkisháromszög
Tnagyháromszög  = n2Tkisháromszög

 Tkisháromszög + 3Tkisháromszög + ... + (2n-1)Tkisháromszög = n2 T kisháromszög

n
2i-1 =  n2
summa
i=1

III/d

sums of squares i
d/1. Tekintsük a g1-es ábrát. Válasszuk ki az egyik alakzatot és olvassuk le róla a térfogatát!
Induljunk ki a csúcskockából, melynek térfogata 1 = 12.
A következő szinten egy négyzet alapú hasáb van, amely alapjának területe 2 2  és a magassága 1. Ebből következik, hogy a térfogata 22.
Folytassuk ezt az eljárást az n-dik szintig, ami szintn egy négyzet alapú hasáb lesz, amely alapjának területe n2 és a magassága 1, tehát térfogata n2 .
Egy alakzat térfogatát megkaphatjuk a részalakzatok térfogatának összagéből is, tehát a test térfogata
12 + 22 + ... + n2 .

d/2. Most tekintsük a k1 -es ábrát, amelyen az előző ábra 3 alakzatát láthatjuk egyesítve. A legfelső szint térfogata pontosan fele az egyes szintek térfogatának. Felezzük el a legfelső szintet a k2-es ábrán látható módon. Ebből már látszik, hogy egy illesztéssel megkaphatjuk a k3-as ábrán látható téglatestet, amely téglatest térfogata: n(n+1)(n+1/2).

d/3. A d/1és d/2 pontokból következik, hogy az egyes részalakzatok térfogata megegyezik a teljes alakzat térfogatának harmadával, azaz  12 + 22 + ... + n2 = 1/3* n(n+1)(n+1/2).



IV. Számok köbének összege

s(n3) = 13 + 23 + ... + n3 =
(n(n+1))2
(2)2

IV/a
13 = 1 = 12
13 + 23 = 9 = (1 + 2)2
13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3) 2
13 + 23 + 33 + 43 = 100 = (1 + 2 + 3 + 4)2
.
.
.
Sejtés:
13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 =
(n(n+1))2
(2)2

IV/b
Bizonyítás teljes indukcióval:
    n = 1 esetén s(13) = 1

    Tegyük fel, hogy n = k-ra teljesül:
s(k3) = 13 + 23 + ... + k 3 =
(k(k+1))2
(2)2



    Bizonyítsuk be, hogy n = k+1-re is igaz, azaz
s((k+1)3) = 13 + 23 + ... + k3 + (k+1)3 =
((k+1)(k+2))2
( 2)2

s((k+1)3) = s(k3) + (k+1)3

    Az indukciós feltevést alkalmazva:
(k(k+1))2
 + (k+1)3 =  
((k+1)(k+2))2
(2)2
(2)2

Mindkét oldalt négyzetre emelve, majd (k+1) 2/4-gyel elosztva  a  (k+2)2 = (k+2)2 azonossághoz jutunk, tehát az eredeti állításunk igaz .

IV/c
Próbáljunk ki egy másik bizonyítási módot!

04 = (1-1)4 = 14 - 4*13*1 + 6*12*12 - 4*1*1 3 + 14
14 = (2-1)4 = 24 - 4*23 *1 + 6*22*12 - 4*2*13 + 14
24 = (3-1)4 = 34 - 4*33 *1 + 6*32 *12 - 4*3*13 + 14
    .
    .
    .
(n-1)4 = n4 - 4*n3 + 6*n 2 - 4n + 1

Összegezve a bal és a jobb oldalakat:
14 + 24 + 34 + ... + (n-1)4 = (14 + 24 + ... + n 4 ) - 4(13 + 23 + 33 + ... + n 3) + 6(12 + 22 + ... + n2 ) - 4(1 + 2 + ... + n) + n

Mindkét oldalból 14 + 2 4 + 34 + ... + (n-1)4-t kivonva és 4(13 + 23 + 33 + ... + n 3)-t hozzáadva, majd a behelyettesítéseket elvégezve kapjuk a következőt:
12 + 22 + ... + n2 =
(n(n+1)(2n+1))2
6
1 + 2 + ... + n =
(n(n+1))
2
4(13 + 23 + 33 + ... + n3) = n4 + 6
n(n+1)(2n+1)
 - 4 
n(n+1)
 + n
6
2
13 + 23 + 33 + ... + n3 = 
n4
+ 
n(n+1)(2n+1)
 - 
n(n+1)
 +
n

4
2
4

Közös nevezőre hozás, a zárójelek felbontása és a megfelelő tagok összevonása után kapjuk, hogy
13+23+.......+n3=
 (n(n+1))2
( 2)2 

V. Az első n egész szám köbösszege

V/a
sums of cubes

Írjuk fel a természetes számokat 1-től n-ig egymás mellé. A következő sorba 2-től 2n-ig a páros számokat írjuk A harmadik sorba 3-tól 3n-ig a 3 többszörösei kerüljenek és így tovább az n-dik sorban n-től n2 -ig n többszörösei lesznek.
Először adjuk össze ezeket a számokat az első ábrán látható módon, így az ábra alján szereplő összeget kapjuk. Ezután adjuk össze a másik ábrán látható módon is, ebből az ez alatt szereplő összeget kapjuk. Mivel mind a két végeredményt ugyanazon számok összegzéseként kaptuk,  így a két érték egyenlő.
Tehát:
13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 =
(n(n+1))2
(2)2


V/b

sums of cubes
Induljunk ki a nagy négyzet közepén lévő kis fehér négyzetből. Ennek területe 1=13 . Az ezalalatt elhelyezkedő fehér téglalap két 2 2 területű négyzetből áll. Tehát a téglalap területe 2*22 = 23. Hasonló módon belátható, hogy az n-dik téglalapig eljutva lefelé a téglalapok területei rendre 1 3, 23, 33, ... , n3.
Tehát a fehér alakzat területe 13 + 2 3 + ... + n3.
Tekintsük most a nagy négyzetet. Ennek területe (n2 + n)2, amely pontosan 4 fehér alakzatból áll.
Ebből következik, hogy

13 + 23 + ... + n 3 = 1/4 (n2 + n) 2.