A sík kiparkettázása           A parkettázási probléma inputja egy hármas:  
 

 - objektumok véges halmaza (ezek altalában szép geometriai alakzatok, azaz nem
   kell patológikus ponthalmazokra gondolni), ezek parkettatípusok és úgy
   kell gondolni, hogy mindegyikbõl végtelen sok áll rendelkezésünkre,
 - egy tér (a parkettázandó tér), általában a sík, vagy R^d
 - egy csoport amely megmondja, hogy parkettáinkat hogyan lehet elmozgatni.
   Ez lehet például a sík mozgásai vagy csupán eltolásai.
 

 
  A parkettázás: a terület (gondoljunk a geometriai környzetre és a síkra) lefedése a parkettakészlet elemeinek megengedett elmozgatásaival úgy, hogy a parketták belsejei diszjunktak legyenek. Egy adott parkettakészlet esetén eldönthetõ-e a parkettázás lehetõsége?
Egy fontos alapfogalom a parkettázás teljes periodikussága (ez az esetektõl függõ fogalom, igazából definíciója kitalálható; lényege, hogy egy korlátos rész parkettázása ismetlõdik globálisan, azaz R^d esetén egy tórusz parkettázása van az egész térre kiterjesztve). Vannak olyan parkettakészletek, amelyekkel a sík kiparkettázható, de csak nem teljesen periodikus módon.
Sõt mi több (ez valóban több) a parkettázás lehetõsége a parkettakészlet ismeretében nem eldönthetõ.
A definíció szabadsági foka miatt persze a szokásos (értsd fenti) kérdések mellett nem standard problémak is felvethetõk (például a parkettázandó objektum
lehet egy végesen generált csoport, a parketták a csoport bizonyos véges részhalmazai ...).
Parkettázásokkal sok neves matematikus, fizikus(!) és mûvész foglalkozott például Penrose, Conway, Wang, Escher.
 

   A több, mint 100 éve született M.C.Escher grafikai mûvein különös síkok, terek különös módon találkoznak és jelennek meg.

    M.C.Escher mûvészete    
   Mielõtt közelebbrõl megismerkednénk Escher mûvészetével, meg kell ismernünk az ismételt mintákkal történõ síkkitöltés 17 lehetséges formáját.   A térdimenziós kristálytan 17 csoportja    

Jel	Generátorok
p1	Két eltolás
p2	Három félfordulat
pm	Két tükrözés és egy eltolás
pg	Két párhuzamos csúsztatva tükrözés
cm	Egy tükrözés és egy párhuzamos csúsztatva tükrözés
pmm	Egy téglalap oldalaira vonatkozó négy tükrözés
pmg	Egy tükrözés és két félfordulat
pgg	Két merõleges csúsztatva tükrözés
cmm	Két merõleges tükrözés és egy félfordulat
p4	Egy félfordulat és egy negyedfordulat
p4m	Egy (45°,45°,90°) háromszög oldalaira vonatkozó három tükrözés
p4g	Egy tükrözés és egy negyedfordulat
p3	Két 120°-os forgatás
p3m1	Egy tükrözés és egy 120°-os forgatás
p31m	Egy egenlõoldalú háromszög három oldalára vonatkozó tükrözések
p6	Egy félfordulat és egy 120°-os forgatás
p6m	Egy (30°,60°,90°) háromszög három oldalára vonatkozó tükrözések

 

   A síkkitöltés mûvészete a tizenharmadik századi Spanyolországban volt a legfejlettebb, ahol a mórok az Alhambra bonyolult díszítéseihez mind a tizenhét csoportot felhasználták. Elsõsorban az absztrakt mintákat részesítették elõnyben.
   A sík kristálygrafikai csoportjainak elsõ matematikai tárgyalása Fedorov (1891) nevéhez fûzõdik.Késõbb foglalkozott vele még Fricke és Klein (1897), Pólya (1927), Niggli (1924), valamint Nowacki (1954) is.
   Nézzük meg,hogy milyen mintákat jelenthet ez az un. 17 "tapéta".
 
   A holland mûvész M.C.Escher eredeti módon alkalmazta ezeket a csoportokat azáltal, hogy alaptartományként állatalakokat használt.Így pl. a lovasfigurákból álló minta szimmetriacsoportja elsõ látásra egy vízszintes és egy függõleges el-
tolás által generált p1-nek tûnik, ha azonban nem teszünk különbséget a sötét és világos példányok között, akkor a sokkal érdekesebb pg csoporthoz jutunk. Ezt
két párhuzamos csúsztatva tükrözés generálja.
   Nyilvánvaló, hogy a lovag és paripája bármilyen színû is, a pg csoport alaptartománya. Ha azonban a p1 csoport alaptartományát akarjuk megkapni, akkor két ilyen alakot (egy világosat és egy sötétet) kell összeraknunk.

   Hasonlóan, Escher bogármintájának (a látható képen tekintsük az egyik (elsõt) függõleges bogársort sötétnek, a másikat (másodikat) világosnak stb.) szimmetriacsoportja két függõleges tükrözésés egy függõleges eltolás által generált pm csoportnak látszik. Jobban megnézve azonban azt látjuk, hogy a mintán világos és sötét bogarak is vannak és a színeket csúsztatva tükrözés cseréli fel. A teljes cm szimmetriacsoprt alaptartománya egy akármilyen színû bogár bal vagy jobb fele, generáló elemei egy függõleges csúsztatva tükrözés és egy függõleges tükrözés. A "kisebb" csoportnak, pm-nek alaptartománya tetszõleges színû bogár egyik fele és a szomszédos másik színû bogár másik fele.
A teljes bogár (mindegy, milyen színû) a p1 csoport (az egyik generáló eltolás ferde irányú) vagy a pg csoport alaptartománya.
  Escher mûvészetének e rövid bemutatásával remélem sikerült bemutatni a sík
kiparkettázásának matematikai problémáját, érdekességét és valódi szépségét.

   A 20.század közepén az olyan mûvészek, mint M.C.Escher, Josep Albers és

habár nem absztrakt, mégis látható, hogy behatóan foglalkozik a vizuális trük kök és paradoxonok (látszólagos ellentmondások) különbözõ formáival.
 
 

A 21.század "Escher-jei"    

   A 21.században Escher a következõ mûvészeket ihlette meg:

Xah Lee Andrew Crompton Allan Bergmann Jensen Hans Kuiper David Joyce Mike McCallum Steffen Weber

  A fent említett mûvészek talán a leghíresebbek, rajtuk kívül még nagyon sokan
      foglalkoznak ezzel a  témával.Nézzünk    néhány parkettázási  módot ezektõl    a mû vészektõl. Itt a lehetõségek korlátlan tárházával     találkozhatunk.
  Akik érdeklõdését felkeltette a 17 tapétázási lehetõség, azok kipróbálhatják,
  létrehozhatják,  akár tetszõleges minták segítségével  is a JAVA program segítségével. Ez a nagyszerû  és igen hasznos program Steffen Weber nevéhez fûzõdik.     

   Escher és a  többiek mûvészetének e rövid bemutatásával,  remélem sikerült meg- láttatni a sík    kiparkettázásának  matematikai problémáját, valódi érdekességét  
és szépségét.