Záróvizsga tételek

2005

1. Halmazelméleti alapismeretek

a) Halmazok, műveletek halmazokkal. Halmazok számossága. Véges számosságok, megszámlálhatóan végtelen, kontinuum számosság. A Peano-féle axiómarendszer. A teljes indukció. Rekurzív definíciók.

b) A halmazelméleti ismeretek szerepe az általános iskolai matematikai tananyagban: a számelméletben (közös osztó, közös többszörös), az algebrában (egyenletek) és a geometriában (geometriai alakzatok osztályozása).

2. A matematikai logika elemei

a) Kijelentés. Logikai érték. Predikátum. Kvantifikáció. Helyettesítés. Logikai műveletek, nyelvi kifejezésük. A következményfogalom. Egyszerűbb következtetési módok. Az axiomatikus módszer. (Axiómarendszerrel szembeni követelmények.)

b) A logikai ismeretek helye és szerepe az általános iskolai tananyagban. Állítás tagadása, megfordítása. Állítások ekvivalenciája. Induktív és deduktív módszer az általános iskolában.

3. A relációk és tulajdonságaik

a) Két halmaz közötti megfeleltetés. Reláció, relációk ábrázolása. Egy halmazon értelmezett relációk tulajdonságai (reflexív, szimmetrikus, antiszimmetrikus, tranzitív, stb. relációk). Ekvivalenciareláció és osztályozás. Faktorhalmaz. Rendezési reláció. Rendezett halmazok.

b) Relációk az általános iskolai matematikában. Kétváltozós nyitott mondatokkal megadott relációk és ábrázolásuk. Függvényábrázolás.

4. Leképezés és függvény. Függvényvizsgálat

a) Megfeleltetés, leképezés (függvény). Szürjektiv, injektív, bijektív leképezés. Leképezések szorzata, összetett függvény, függvény inverze. Valós függvények. Elemi alapfüggvények, elemi függvények, függvénytranszformációk. Folytonos függvények. A differenciálhányados és alkalmazásai, differenciálható függvények. Elemi függvények vizsgálata az analízis módszerével.

b) Függvények az általános iskolában. Függvényábrázolás és függvényvizsgálat számítógéppel.

5. Sorozatok

a) A sorozat fogalma. Korlátos, monoton, konvergens sorozatok. A Cauchy-féle konvergenciakritérium. Néhány nevezetes sorozat. Függvénysorozatok.

b) Szabályjátékok. A számtani és a mértani sorozat.

6. Sorok

a) A végtelen sor fogalma, konvergenciájának értelmezése. A mértani sor. Pozitív tagú sorok konvergenciájának egyszerű kritériumai. Abszolút és feltételes konvergencia. Hatványsorok.

b) A végtelen mértani sor az általános iskolai matematikában. (A végtelen tizedes tört.)

7. A számelmélet elemei

a) Az oszthatóság és tulajdonságai az egész számok gyűrűjében, ill. integritástartományban. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Euklidészi osztás, euklidészi algoritmus. Irreducibilitás, prímtulajdonság. A számelmélet alaptétele. Számelméleti függvények.

b) Számelméleti alapismeretek az általános iskolában.

8. Számrendszerek

a) Számok felírása különböző számrendszerekben. Helyi értékes írásmód. Számok átírása egyik számrendszerből másik számrendszerbe. A racionális számok tizedes tört alakja.

b) Számrendszerek és oszthatósági szabályok. Törtek nem tizes számrendszerben.

9. Egyenlőség, azonosság, egyenlet, egyenlőtlenség

a) Algebrai egyenletek, egyenletrendszerek; megoldhatóságuk és megoldásuk. Azonosság. Ekvivalens átalakítások. Speciális algebrai egyenletek. A klasszikus algebra alaptétele. Egyenletek megoldása gyökképlettel. Különböző típusú egyenlőtlenségek.

b) Nyitott mondatok. Egyenlet, egyenlőtlenség mint nyitott mondat. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módjai. Szöveges feladatok néhány típusa.

10. Algebrai struktúrák

a) Az algebrai struktúra, részstruktúra fogalma. Félcsoport, csoport (speciális csoportok), gyűrű, test, háló, vektortér. Egyszerű példák algebrai struktúrákra. Homomorfizmus, izomorfizmus.

b) Algebrai struktúrák az általános iskolai matematikában (számok, maradékosztályok, geometriai transzformációk.)

11. Geometriai szerkesztés és szerkeszthetőség

a) Az euklidészi szerkesztés fogalma. A geometriai szerkeszthetőség algebrai megfogalmazása. Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének kérdése. Euklidészi értelemben nem megoldható szerkesztési problémák. Nem-euklidészi szerkesztések.

b) Alapszerkesztések. A szerkesztési feladatok megoldásának lépései (elemzés, szerkesztés, bizonyítás, diszkusszió). Dinamikus geometriai szerkesztő programok.

12. A számfogalom

a) Az egész számok gyűrűje, a racionális számok teste, mint hányadostest. A valós számok testének és a komplex számok testének felépítése. A számfogalom bővítésének további lehetôségei és korlátai (Frobenius tétele).

b) A számfogalom kialakítása az általános iskolában, a módszertani alapelvek érvényesülése.

13. A kombinatorika elemei

a) Egyszerű összeszámlálási problémák. Variációk, permutációk és kombinációk (ismétlés nélküli és ismétléses esetek). Binomiális együtthatók és tulajdonságaik. A binomiális tétel. A Pascal-féle háromszög.

b) Egyszerű kombinatorikai problémák az általános iskolában.

14. A valószínűségszámítás elemei

a) Valószínűségi kísérletek; eseménytér, eseményalgebra, valószínűség. A valószínűség kiszámítása kombinatorikus és geometriai módszerrel. Események függetlensége, feltételes valószínűség.

b) A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elemei az általános iskolai tananyagban.

15. A valószínűségszámítás függvényei

a) Valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény. A valószínűségi változó jellemző adatai. Néhány nevezetes eloszlás. A nagy számok törvényei.

b) Valószínűségi kísérletek eredményeinek elemzése; relatív gyakoriság. A relatív gyakoriság és a valószínűség tapasztalati kapcsolata.

16. Topológiai és gráfelméleti ismeretek

a) Topologikus leképezések, topológiai invariánsok. Topológiailag ekvivalens alakzatok. Egy- és kétoldalú felületek. Alapvető gráfelméleti fogalmak és egyszerű problémák. Síkra rajzolható gráfok. Az Euler-féle poliédertétel és általánosítása.

b) A topológia és a gráfelmélet elemeinek tanítása az általános iskolában. Elemi topológiai és gráfelméleti problémák.

17. Egybevágóság

a) Geometriai leképezések, transzformációk. Az egybevágósági transzformáció és tulajdonságai. A síkbeli és térbeli egybevágósági transzformációk tipusai. Geometriai alakzatok egybevágósága. A hiperbolikus sík tengelyes tükrözése a modellekben.

b) Az egybevágósági transzformációk szerepe a geometria tanításában. Síkidomok tulajdonságainak vizsgálata. Háromszögek egybevágóságának alapesetei. Szerkesztési feladatok.

18. Hasonlóság

a) A párhuzamossági axióma és következményei. Szakaszok aránya; a párhuzamos szelôk tételei. A centrális nyújtás és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció és tulajdonságai. Geometriai alakzatok hasonlósága. Arányossági tételek.

b) Hasonlósági transzformációk és alkalmazásaik feladatok megoldásában. Háromszögek hasonlóságának alapesetei.

19. Ívhossz, kerület, felszín

a) Sokszög és konvex síkidom kerülete. A kör kerülete, a körív hossza. Görbék megadása analitikus eszközökkel. Görbe ívhosszának értelmezése és kiszámítása integrálszámítás segítségével. Poliéder és konvex mértani test felszíne. Egyenes körhenger, körkúp és gömb felszíne. Forgástest palástfelszínének kiszámítása integrálszámítás segítségével.

b) Sokszögek kerülete. A kör kerülete. Sokszögek és kör területének felhasználása felszínszámításokban (poliéderek, hengerek, kúpok felszíne). A gömb felszíne.

20. Hosszúság, terület, térfogat

a) Szakasz hossza. Sokszög és síkidom területe. A kör és részeinek területe. Síkidom területének kiszámítása integrálszámítás segítségével. Poliéder és mértani test térfogata. A Cavalieri-elv, a gömb térfogata. Forgástest térfogatának kiszámítása integrálszámítás segítségével.

b) A terület és a térfogat fogalmának alakítása az általános iskolában. Terület- és térfogatképletek.

21. Térgeometriai ismeretek, ábrázolási módok

a) Párhuzamos térelemek. Merőleges térelemek. Térelemek távolsága és szöge. A Monge-féle ábrázolás: térelemek ábrázolása, rotáció, képsíkba forgatás. Az axonometrikus ábrázolás, típusai. Perspektív ábrázolás.

b) A távolságfogalom alakítása az általános iskolában. Két pont távolsága, két alakzat távolsága. A térgeometria elemei az átalános iskolában. A számítógép alkalmazása a térgeometria oktatásában.