A sík lefedése
  A háromszögek egybevágósági alapesetei, melyek az abszolút geometria eszközeivel bizonyított tételek, egy újabb tétellel bővülnek a hiperbolikus geometriában. Kihasználva, hogy bármely háromszög defektusa pozitív, könnyen igazolható, hogy:
 
Két háromszög egybevágó, ha szögei páronként egyenlők.
Itt most a szögeivel adunk meg olyan háromszögeket, amelyekkel hézagmentesen kiparkettázható a hiperbolikus sík úgy, hogy a szomszédos háromszögek a közös oldalegyenesükre vonatkozóan egymás tengelyes tükörképei legyenek.

Ennek az a feltétele, hogy a háromszög mindhárom szöge a teljes szög k- ad része (vagy 0° ) legyen, ahol k egész szám, emellett teljesüljön, hogy a háromszög defektusa pozitív. Ha valamely szögre nézve k páratlan, akkor a parkettázás csak akkor végezhető el, ha a háromszög egyenlőszárú, azaz a másik két szöge egyenlő. Ebben az esetben azonban nem tudjuk kiszínezni a háromszögeket két színnel úgy, hogy a szomszédos háromszögek különböző színűek legyenek, ezért ilyenkor véletlenszerűen választott színekkel végezzük a színezést. Ha mindhárom szög a teljes szög 2k -ad része, (vagy 0° ), akkor két színnel végezzük a lefedett síkrész színezését.

Itt jegyezzük meg, hogy:
 

Az euklídeszi síkban mindössze négy olyan háromszög létezik, amellyel a feltételeknek eleget tevő parkettázás megvalósítható. Ezek szögei rendre ( 90° , 60° , 30° ) ; (90° , 45° , 45° ) ; (60° , 60° , 60° ) ; (120° , 30° , 30° ). A két utóbbi a derékszögűekből is előállítható.
 
 
A hiperbolikus síkot végtelen sokféle háromszöggel ki lehet parkettázni a feltételnek eleget tevő módon.
 
 
Az euklídeszi sík a szabályos sokszögek közül csak a szabályos háromszöggel, a négyzettel és a szabályos hatszöggel parkettázható ki.
 
A hiperbolikus sík kiparkettázható minden olyan szabályos n - szöggel, amelynek minden szöge a teljes szög k -ad része , ahol k >2 tetszőleges, ekkor  egész szám, vagy minden szöge 0° , (ekkor n>2 ).
Már említettük, hogy a hiperbolikus geometriában van legnagyobb területű háromszög, melynek mindhárom szöge 0° -os. Azonban ebből is végtelen sokkal lehet csak lefedni a síkot, tehát maga a sík területe nem véges.

A programrészletet vizsgálva támadhat olyan érzésünk, mintha a modell középpontjának kitüntetett szerepe lenne a parkettázásban. Ez nem így van, véletlenszerűen is elhelyezhetjük a kiindulásul vett háromszöget.

<<<<<