Ezen a WWW oldalon  matematikai, ill. matematikai felkészültséget igénylő számítstechnikai problémákat szeretnénk felvetni.

 Egyúttal tekintse ezt a lapot az olvasó egy  fórumnak, ahol szívesen látjuk a kitűzött feladatok megoldását épp úgy, mint új feladatok, problémák felvetését.

Matematikai feladatok:

• Egy egyenes körhengerfelület és egy forgáskúpfelület tengelye párhuzamos, de nem esik egybe. A kúp tengelye a henger belsejébe esik. Igaz -e, hogy a két felület síkmetszete ellipszis? (Válasszunk a "mindig",  a " van ilyen eset" és a  "soha"  lehetséges válaszok közül
•   Hány dimenziós a Sierpinski háromszög?

• Igaz -e, hogy ha az 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n + ... harmonikus sor tagjai közül elhagyjuk azokat, amelyek nevezője tartalmaz egy adott számjegyet (pl. a 7 - et), akkor a megmaradt tagokból képzett sor konvergens lesz? 

• Igaz -e, hogy a harmonikus sor  bármely  s_n = 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n           részletösszege n>1 esetén nem lesz egész szám?  

Egy átdarabolási feladat

Számítástechnikai feladatok:

• Egy általános iskolai matematikaversenyen az alábbi feladatot tűzték ki: Melyik az a legkisebb 4 -re végződő természetes szám, amelynek az utolsó jegyét elhagyva és a szám elé írva a szám 4 -szeresét kapjuk?   A keresett szám jegyeit az utolsóból elindulva rendre kitalálhatjuk, mint ha a szorzást írásban végeznénk. Ha a szám utolsó jegye 4, akkor a 4 -szeresének az utolsó jegye 6, amely egyúttal az .eredeti szám utolsó elötti jegye, tehát a szorzás folytatható mindaddig, míg a szorzatban meg nem jelenik a 4 számjegy úgy, hogy nem kell a "maradék" -kal tovább számolnunk.   Így a keresett szám 102564. Valóban: 102564 * 4 = 410256  .  Általánosítsuk a feladatot. Van-e minden n = 2,...,9 számjegyhez olyan legkisebb n -re végzôdô természetes szám, amelynek az utolsó jegyét elhagyva és a szám elé írva a szám n -szeresét kapjuk?

• Keressük meg az összes olyan négyzetszámot, amely nem tartalmazza a 0 -t, viszont az 1, .., 9 számjegyek mindegyikét pontosan egyszer tartalmazza.

• Készítsünk programot az un. „válogatós királykisasszony" problémájának a demonstrálására:

A királykisasszony kegyeiért egymást követően n (pl. 10) kérő verseng, akik rendre felajánlják vagyonukat (amely legalább 1, legfeljebb 100 buznyák). Kit válasszon a királykisasszony, ha a leggazdagabbat szeretné választani, de akit már egyszer elutasított, azt nem választhatja újból. (Ha addig mindenkit elutasít, akkor az utolsóhoz mindenképpen hozzá kell mennie.)
Utólag jelöljük meg, kik lettek volna a kiválasztottnál jobb kérők.

• Válasszunk ki az első  n  természetes szám közül minél többet úgy, hogy a kiválasztottak közül bármely kettônek a különbsége különbözzön bármely másik kettő különbségétôl. Pl. n =12 esetén ilyen tulajdonságúak az 1,2,4, 9 számok. Vajon ki tudunk -e választani 5, vagy ennél több ilyen tulajdonságú számot az elsô 12 közül?
  
  
• Bontsunk egy pozitív (n) számot az összes lehetséges módon  természetes számok összegére. Két felbontást tekintsünk akkor is különbözőnek, ha a számok sorrendje különböző. Pl n=8, k=5 esetén: 8+0+0+0+0 ,  7+1+0+0+0,  7+0+1+0+0,  ... 2+3+2+3+2, ... 0+0+0+0+8 .

• Rögzítsük a síkon egy tetszőleges háromszög csúcsait, majd a sík egy ugyancsak tetszőleges P₀ pontjából kiindulva képezzük az a P₀, P₁, ... P_n ...  pontsorozatot, amelyben a P_k+1 pont a P_k  és a háromszög valamelyik - véletlenszerűen választott - csúcsa közötti felezőpont. Milyen lesz a pontsorozat? Akinek (netán) nincs türelme elkészíteni a problémát szemléltető programot, töltse le az ide csatolt EXE file-t!  

• Mozgassunk egy (rögzített körüljárású) ABC háromszöget a síkjában úgy, hogy az A , ill. B csúcsa illeszkedjen az egymásra merôleges x , ill. y egyenesre! Mit ír le ezalatt a C pont? Szemléltesssük a mozgást a képernyôn! (A számítógéppel kapott sejtés igazolása szép elemi matematikai feladat.)

• Rajzoljunk a képernyőre egy szabályos n oldalú sokszöget, ahol  3<n<50, majd bontsuk a sokszöget - egymást nem metszô - átlókkal háromszögekre úgy, hogy a felbontáshoz véletlenszerűen válasszuk az átlókat. Készítsük el ezt a felbontást két példányban, majd szinezzük ki a sokszög csúcsait legfeljebb négy színnel úgy, hogy a szomszédos, tehát egymással (élekkel vagy bármelyik felbontásbeli átlókkal) összekötött csúcsok ne legyenek azonos színűek. (Ez a feladat a négyszínprobléma ekvivalens átfogalmazása egy konkrét - véletlenszerűen előállított -  síkbeli térképre.)

Egy látogatónk kérésére összegyűjtöttünk néhány, első pillantásra ártatlannak tűnő elemi geometriai feladatot. Ezek egy része valóban könnyű - bár ez megítélés kérdése - , van azonban a feladatok között nehezebb, sőt ismert "makacs" probléma is. Reméljük, olvasóink találnak közöttük "testhezálló" feladatokat.

• Adott egy négyzet három csúcsa. Egyetlen megengedett szerkesztési lépésünk van: két adott pont ismeretében megszerkeszthető egyiknek a másikra vonatkozó tükörképe. Megszerkeszthető-e a négyzet negyedik csúcsa?

• Bizonyítsuk be, hogy az olyan derékszögű háromszögben, melynek egyik hegyesszöge 15* , az átfogóhoz tartozó magasság az átfogó 1/4 -ed része!

• Egy a élű rombusz hegyesszöge 75 fok. Igazoljuk, hogy 6 db. ilyen rombuszból két, egymással nem egybevágó romboid (rombusz alapú ferde hasáb) is előállítható! Számítsuk ki a térfogatukat!
• Szerkesszük meg a síkban azt az ötszöget, amelynek adottak az oldalfelező pontjai!
• Az ABC egyenlőszárú háromszög BC alapjának felezőpontja D, ennek vetülete az AC száron E, és a DE szakasz felezőpontja F . Bizonyítsuk be, hogy AF merőleges BE -re!
• Adott ponton át szerkesszünk egyenest úgy, hogy két adott ponttól mért távolságainak összege adott szakasszal legyen egyenlő! (Diszkusszió!)
• Keressük meg az összes olyan poliédert, amelynek nincs átlója, azaz bármely két csúcsát él köti össze!
• Helyezzünk el az egységsugarú gömbön 8 pontot úgy, hogy a pontok közötti távolságok minimuma maximális legyen! Számítsuk ki az így elhelyezett pontok közötti minimális távolságot!
• Szerkesszünk négyzetet, ha adott mind a négy oldalegyenesének egy-egy pontja! Négy adott ponthoz hány ilyen négyzet tartozik?
• Az ABC szabályos háromszög belsejében levő P pontból az AB oldal 150* -os szögben látszik. Igazoljuk, hogy az AP, BP és CP szakaszokból szerkeszthető derékszögű háromszög!
• Adott a síkban n >3 pont, melyekről tudjuk, hogy bármely kettőhöz létezik olyan harmadik, amely rajta van a kettő által meghatározott egyenesen. Igazoljuk, hogy az összes egy egyenesen van!
• Adott két koncentrikus kör. Szerkesszünk olyan egyenest, amelyből a körök három egyenlő hosszúságú szakaszt metszenek ki!
• Elhelyezünk a síkon három egymást páronként érintő, r sugarú gömböt. Egy negyedik gömb is érinti a síkot, valamint mindhárom gömböt. Mekkora a sugara?
• Egy egyenes egyik oldalán tűzzünk ki két pontot! Szerkesszünk háromszöget, amelynek adott hosszúságú alapja az egyenesen van, két másik oldala egy-egy kitűzött ponton megy át, és az alappal szemközti szöge adott nagyságú!
• Egy négyszög két szemben lévő oldalának felezőpontjait összekötő szakasz számtani közepe a másik két oldalnak. Igazoljuk, hogy a négyszög trapéz!
• Adott az AB átmérőjű k kör és egy és egy erre, valamint az (AB) egyenesre sem illeszkedő C pont. Szerkesszük meg csak vonalzóval a C ponton átmenő, (AB) egyenesre merőleges egyenest!
• Az A1 , A2 ,...,A6 konvex hatszög szemben fekvő élei párhuzamosak. Igazoljuk, hogy az A1 A3 A5 háromszög és az A2 A4 A6 háromszög területe egyenlő!
• Egy r sugarú gömb belsejében lévő P ponton át felveszünk három, egymásra páronként merőleges síkot. Igazoljuk, hogy a gömbből kivágott három síkmetszet területének az összege nem függ a síkok megválasztásától, csak a P pont helyzetétől!
• Hány olyan gömb létezik, amely egy szabályos tetraéder minden síkját érinti? Függ-e a válasz attól, hogy a tetraéder szabályos?
• Adott három szakasz, a, b és c Mérjük fel őket egy adott pontból olyan irányokba, hogy a szakaszok másik végpontjai szabályos háromszöget alkossanak! (Diszkusszió!)
• Egy háromszög két belső szögfelezőjének a háromszög belsejébe eső szakasza egyenlő. Igazoljuk, hogy a háromszög egyenlőszárú!
• Legfeljebb hány részre osztja a síkot n darab egyenes ; legfeljebb hány részre osztja a teret n darab sík?
• Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala és az ezekkel szemközti szögek különbsége!
• Adott egy 45 fokos szögtartomány belsejében a P és Q pont. Szerkesszünk olyan egyenlőszárú háromszöget, amelynek egyik szára P -re, másik szára Q -ra illeszkedik, csúcsai pedig az adott szög szárain vannak!
• Igazoljuk, hogy egy adott ellipszis köré írt bármely téglalap csúcsaiugyanarra a körre illeszkednek.

Várjuk olvasóink leveleit: szilassi@jgytf.u-szeged.hu

Vissza a Matematikai Tanszék címlapjára.