Legismertebb szabályos poliéder a kocka. Legcélszerûbb úgy megadni a térbeli derékszögû koordinátáit, hogy a középpontja a koordinátarendszer origója legyen, a csúcsainak koordinátái pedig 1, vagy -1. Ekkor a kocka éle 2 egységnyi lesz. (A VRML nyelvben alapalakzatként megadott kocka - amelynek a forrás fájlja igazán nem nagy - ugyancsak ezekkel az adatokkal szerepel a nyelv leírásában.)

A többi szabályos poliédert legkönnyebb a kockából elõállítanunk. Ha a kocka csúcsai közül kiválasztunk négyet úgy, hogy közülük semelyik kettõnek ne legyen közös éle, akkor ezzel egy szabályos tetraéder csúcsait kaptuk meg. Az így kapott tetraéder oldala akkora, mint a kocka lapátlója. A kocka csúcsai két szabályos tetraédert határoznak meg. Természetesen megadhatunk egy szabályos tetraédert úgy is, hogy felveszünk az egyik koordinátasíkban egy szabályos háromszöget, a negyedik csúcs koordinátáit pedig a szabályos tetraéder magasságát kiszámítva határozzuk meg. Itt jegyezzük meg, hogy a szabályos poliédereket felsorolva egyedül a tetraédernél szerepel a „szabályos" jelzõ, ugyanis tetraédernek nevezzük az összes négy háromszög által határolt poliédert, azaz háromszögalapú gúlát.

A kocka lapjainak a középpontjai egy oktaéder csúcsait alkotják. Ugyanezt az oktaédert megkaphatjuk a kockából elõállított két szabályos tetraéder metszeteként is. Egyúttal megállapíthatjuk, hogy egy szabályos tetraéder éleinek a felezõpontjai egy oktaéder csúcsai. Kissé bonyolultabb az oktaéder koordinátáit úgy megadnunk, hogy valamely lapjával illeszkedjen valamelyik - jelen esetben az (XZ) - koordináta-sikra.

Elsõ pillantásra bonyolultabb alakzatnak tûnik az ikozaéder, amelyet 20 szabályos háromszögbõl építhetünk fel. (Itt csak a szemben fekvõ lapokat színeztük azonos színûre, így természetesen tíz különbözõ színt kellett használnunk.) Az ikozaéder csúcsait három, egymásra páronként merõleges un. arany- téglalap alkotja. (Arany - téglalapnak nevezzük az olyan téglalapot, a mely oldalainak az aránya az aranymetszés aránya. Ezt -az 1 -nél nagyobb - arányt jelöljük most t vel. Értékét az   1 : t = t : (1+t)   összefüggésbõl számíthatnánk ki. Közelítõ értéke:   t = 1.618 . ) A téglalapokat legcélszerûbb a koordinátasíkokra illesztenünk. Ezzel könnyen meghatározhatjuk az ikozaéder 12 csúcsát, a lapok megadásához azonban gondosan ügyelnünk kell arra, hogy milyen sorszámú háromszögek alkotják egy -egy lap csúcsait. Természetesen az ikozaéder lapjait is kiszínezhetjük négy színnel úgy, hogy a szomszédos lapok ne kapjanak azonos színt, sõt három szín  is elegendõ a helyes színezéshez.

Az ötödik szabályos poliéder, a dodekaéder 12 szabályos ötszögbõl épül fel. A szabályos ötszög átlójának és oldalának az aránya az aranymetszés aránya, A dodekaéder húsz csúcsa közül nyolcat kiválaszthatunk úgy, hogy azok egy kockát alkossanak. A megmaradt 12 csúcs pedig három olyan téglalapot határoz meg, melyek páronként merõlegesek egymásra, hosszabbik oldaluk t a rövidebbik , t - 1   ( = 1/t ) . Ezzel meg is határoztuk egy dodekaéder csúcsait. Megadásához már csak azt kell meghatároznunk, hogy mely pontok alkotnak egy - egy lapot, és azokat miként színezzük. Minden egyszerû poliéder kiszínezéséhez elegendõ négy szín, így ehez is, azonban azt a dodekaédert, amellyel további mûveleteket fogunk végezni, célszerûnek tûnt úgy színezni, hogy csak a szemközti lapjai kapják ugyanazt a színt.

Egészítsük ki a (konvex) dodekaéder lapjait egy - egy arany-háromszöggel úgy , hogy a lapokból un. szabályos csillagötszöget kapjunk! A kapott csillagötszögek csúcsai egy nagyobb ikozaéder csúcsai lesznek, melynek koordinátái t -vel, ill. ennek t - szeresével, azaz 1+ t -vel fejezhetõk ki. Ezzel lényegében a dodekaéder minden lapjára egy - egy olyan gúlát illesztettünk, amelynek az oldallapjai egy síkba esnek az alaplappal szomszédos dodekaéder - lapokra. Az így kapott - tágabb értelemben vett - szabályos poliéder, a kis csillag dodekaéder lapjai szabályos csillagötszögek (erre utal a csillag szó a nevében), testszögletei pedig ötoldalú (ötélû) konvex szabályos testszögletek. Így - amennyiben egy egy csillag-ötszöget a csúcsaiból, valamint a származtatásához használt konvex ötszög csúcsaiból álló egyszerû (de konkáv) tízszöggel szeretnénk megadni - akkor ehhez fel kell vennünk egy dodekaéder, valamint egy megfelelõen elhelyezett és felnagyított ikozaéder csúcsait. Még ez is kiszínezhetõ négy színnel úgy, hogy a szomszédos lapok különbözõ színûek legyenek.

A kis csillag dodekaéder lapjait ismét konvex ötszögekké kiegészítve kapjuk a nagy dodekaédert, melynek lapjai konvex szabályos ötszögek, testszögletei önátmetszõ ötoldalú szabályos testszögletek. Be lehet látni, hogy ennek a poliéder-felületnek a helyes kiszínezéséhez 10 szín szükséges és elegendõ, mi most azonban 12 színt használtunk, a szemközti lapokat színeztük ugyanúgy. Ez a poliéder matematikailag közvetlenül származtatható a konvex dodekaéderbõl is, kihasználva, hogy a megfelelõ lapok síkjai ugyanazok, vagy származtatható az ikozaéderbõl , kihasználva, hogy annak bizonyos csúcsai éppen egy konvex szabályos ötszöget alkotnak. Ez utóbbi származtatás teszi lehetõvé, hogy az õt leíró VRML fájlban mindössze 12 pont koordinátáit (egy ikozaéder csúcsait) kell megadnunk.

A nagy dodekaéder lapjait ismét kiegészíthetjük szabályos csillag-ötszögekké. Az újonnan kapott csillag-ötszög csúcsai egy (konvex) dodekaéder csúcsai lesznek. Eszerint ha ugyancsak egy cikk-cakkos tízszög csúcsainak a koordinátáival adjuk meg ezeket a csillag-ötszögeket, akkor ezeknek a belsõ pontjait egy ikozaéder, a külsõket egy ugyancsak megfelelõen elhelyezett és felnagyított dodekaéder csúcsaiból kapjuk.

Így jutunk a nagy csillag dodekaéderhez, melynek a lapjai szabályos csillagötszögek, tesztszögletei háromélû szabályos testszögletek.

A (konvex) ikozaéder csúcsai közül - a lapjait alkotó csúcsokon túlmenõen - ki tudunk választani olyanokat, amelyek szabályos háromszögeket alkotnak. Ezeket alkalmas sorrendben összeillesztve egyetlen - önátmetszõ - poliéder felületet kapunk, a nagy ikozaédert. Ezt a poliédert szabályos háromszögek alkotják, testszögletei önátmetszõ szabályos ötélû testszögletek. Ez a poliédert származtathatjuk a konvex ikozaéder megfelelõ lapjainak a megnövelésével, de megkaphatjuk úgy is, hogy a konvex ikozaéder megfelelõ lapjaihoz megkeressük a vele párhuzamos, nagyobb háromszöglapokat. Egy nagy ikozaéder csúcsainak a koordinátáit - (1+ t) szoros nyújtással kapjuk abból a (konvex) ikozaéder csúcsaiból, amelyhez tartozó lap-síkok egybeesnek a nagy ikozaéder lapsíkjaival.

Foglaljuk össze egy táblázatba a szabályos poliéderek adatait:
 

Mint láttuk, a kocka csúcsai egyúttal megadják két szabályos tetraédernek is a csúcsait. Az oktaéder csúcsai közül - és természetesen a tetraéder csúcsai közül sem - tudjuk kiválasztani egyéb szabályos poliéder csúcsait.

Azt is láttuk, hogy a dodekaéder csúcsai közül kiválaszthatunk nyolcat, melyek éppen egy kocka csúcsai lesznek. Egy adott dodekaéder-csúcshoz két ilyen kocka is tartozhat. Összesen öt kocka írható egy dodekaéderbe.

Minthogy a kocka csúcsai közül ki tudtunk négyet választani úgy, hogy azok szabályos tetraédert alkossanak, nyilvánvaló, hogy az oktaéder csúcsai közül is kiválasztható négy ilyen pont, vagyis a dodekaéderbe szabályos tetraéder is írható. A dodekaéder valamely kiszemelt csúcsához pontosan két beírt szabályos tetraéder is tartozik, melyeknek a közös csúcsával szemközti lapjai egy síkba esnek. Ezek szerint a dodekaédernek összesen tíz beírt tetraédere van. Ezek közül öt - öt tetraéder kiválasztható úgy, hogy minden dodekaéder- csúcsra egy tetraéder illeszkedjék.

A dodekaéder csúcsaival - mint láttuk - egyúttal megadtuk a nagy csillag dodekaéder csúcsait is.

Az ikozaéder csúcsai egyúttal a kis csillag dodekaédernek, a nagy dodekaédernek, valamint a nagy ikozaédernek lesznek a csúcsai. Más szabályos poliéder csúcsait nem tudjuk kiválasztani  az ikozaéder csúcsai közül. Így az oktaéder csúcsai egyetlen más szabályos poliéder csúcsaival sem esnek egybe.
 
  Vissza a poliéderekkel foglalkozó anyagunk kezdõlapjára