Adott a síkon n > 3 - különböző - pont, melyekről tudjuk, hogy bármely kettőhöz található egy olyan harmadik, amely illeszkedik a két pont által meghatározott egyenesre.

Igazoljuk, hogy az összes pont egy egyenesre illeszkedik.
 

"Megoldás:"

Az igazolást a pontok száma szerinti teljes indukcióval végezzük.

Ha csak négy pontunk van - legyenek ezek A, B, C és D -, akkor pl. az AB egyenesre illeszkednie kell még legalább egynek -mondjuk C -nek. Ha a D nem illeszkedne az ABC egyenesre, akkor pl. az AD pontpárhoz már nem találnánk az általuk meghatározott egyenesre illeszkedő harmadik pontot. Tehát D-nek is illeszkednie kell az ABC egyenesre.

Néhány további pontot tekintve meggyőződhetünk arról, hogy ugyancsak lehetetlen úgy elrendeznünk őket, hogy teljesüljön a feltétel, és mégse legyen az összes pont kollineáris, bár ez a kísérletezés nem része a bizonyításnak.

Tegyük most fel, hogy minden   k < n pontra igaz az állítás, azaz, ha tudjuk a pontokról, hogy bármely kettőhöz van olyan harmadik, amely rajta van a kettő által meghatározott egyenesen, akkor az összes egy egyenesen van.

Azt kell igazolnunk, hogy n pont esetén is igaz ugyanez az állítás.
A bizonyáshoz válasszunk ki az n pont közül egyet tetszés szerint. Ideiglenesen töröljük le.

A megmaradt n -1 pontra alkalmazható az indukciós feltétel, vagyis ezek egy egyenesre illeszkednek. Ha nost visszatennénk az ideiglenesen elvett pontot, és az nem illeszkedne arra az egyenesre, amelyre a többiek, akkor ezt bármelyikkel összekötve az általuk meghatározott egyenesen már nem találnánk olyan harmadikat, amely erre illeszkedne. Tehát ennek a pontnak is a többieket tartalmazó egyenesen kell lennie.

Ezzel a teljes indukciós bizonyítást befejeztük.

Helyesnek véli a megoldást?    Igen - Nem