SIERPINSKI SZIVACS-különbözõ dimenziókban








    1. Sierpinski háromszög

    A Sierpinski Szivacs egy olyan közismert fraktál,amit aránylag könnyû elkészíteni. Ennek a fraktálnak a háromszög verzióját többféle módon is elõállíthatjuk. Erre a legegyszerûbb módszer, ha rajzolunk egy egyenlõ oldalú háromszöget, és ezt további négy egyenlõ oldalú háromszögre bontjuk, melyek közül az egyik háromszög lefelé fog mutatni. Ezt a lefelé mutató háromszöget távolítjuk el. A megmaradt háromszögeket ismét négy egyenlõ oldalú háromszögre osztjuk, a lefelé mutató háromszögeket pedig megint eltávolítjuk.

    Ezt a mûveletet újra és újra elvégezve a kis háromszögek egyre kevésbé fognak látszani.

Egy másik módszer a "Káosz Játék". Adott három pont-az egyenlõ szárú háromszög csúcsai-a síkon. A háromszög tetszõleges pontjával kezdjük, és egy tetszõlegesen kiválasztott csúcs és a pont közötti szakasz felezõpontját berajzoljuk. Ezt a mûveletet többször is megismételjük, míg végül a pontok egy Sierpinski háromszöget határoznak meg.
Mi a kapcsolat a Pascal háromszög és a Sierpinski háromszög között?

Hány dimenziós a Sierpinski háromszög?
 

2. Sierpinski tetraéder
 

    Amint az ábrán láthatjuk, a Sierpinski tetraéder lapjai Sierpinski háromszögek. Érdekességkét megjegyezzük, hogy azok a poliéderek amelyeket eltávolítunk a Sierpinski tetraéderbõl nem tetraéderek, mint ahogy gondolnánk, hanem oktaéderek. A Sierpinski tetraédert a háromszöghöz hasonló módon állíthatjuk elõ. Elsõ lépésben  a teraéder közepébõl eltávolítjuk az oktaédert, így négy kis szabályos teraédert kapunk. Ezután a kisebb tetraéderek közepébõl is eltávolítunk egy-egy oktaédert, és így tovább. A "Káosz Játék" segítségével ugyancsak elõállítható a Sierpinski tetraéder.Vajon a Pascal háromszög segítségével is? Mindezek után felmerülhet még egy kérdés:
 Hány dimenziós a Sierpinski tetraéder?

És végül azoknak ajánlanék a témához kapcsolódó oldalakat az interneten, akik tudnak angolul:

http://www.shodor.org/interactivate/activities/gasket/
http://serendip.brynmawr.edu/playground/sierpinski.html
http://www.palmyra.demon.co.uk/illusion/geometry/siertetr.gif
http://www.math.sunysb.edu/~scott/mat331.spr98/samples/fractals/sierp3d/sierp3d.html