A szabályos poliédereknek, pl. az ikozaédernek, vagy a dodekaédernek, esetleg e két alakzat metszete-ként elõálló alakzatnak az un. ikozidodekaédernek a felhasználásával  számos igen tetszetõs, érdekes szimmetriát mutató geometriai alakzat készítésére nyílik lehetõség.

Munkánk igényel némi - matematikai - elemzést, amit viszont nem nagyon mellõzhetünk, ha nem csak a "Mit kaptunk?", hanem a "Hogyan kaptuk?"  kérdést is szem elõtt szeretnénk tartani.

Induljunk ki a dodekaéder egy élvázas modelljébõl. Mivel a dodekaéder csúcsai közül alkalmasan kiválasztható nyolc olyan, melyek egyben egy kocka csúcsai is, a kocka csúcsai közül pedig alkalmasan kiválasztható három olyan,  melyek egyben egy szabályos háromszög csúcsai, a dodekaéderen is találunk három, szabályos háromszöget alkotó csúcsot. Ilyen például az  : p1.wrl  .

Az alábbi VRML fájlok szerkesztéséhez jórészt az  e sorok írója által fejlesztett VRML szerkesztõ programot fogjuk alkalmazni, így arról, aki nyomon szeretné követni az itt bemutatott "mûhelymunkát", feltételezzük, hogy ismeri, és kellõ biztonsággal használja ezt a programot.

Lehet, hogy feltûnt figyelmesebb olvasóinknak, hogy ebben a VRML fájlban betûket lát számok helyett, ezt viszont a mi szerkesztõnk nem tudja elõállítani. Ugyanígy, kissé áttetszõ az  lap. Megtehetjük, hogy egy VRML fájlba "kézzel" belenyúljunk, hiszen ez nem csak a VRML megjelenítõ, hanem a mi számunkra is ( remélhetõleg) érthetõ ASCII kódú program, amely bármely vezérlõjeleket nem tartalmazó szövegszerkesztõvel szerkeszthetõ. Praktikus pl. erre a célra a PASCAL szerkesztõt használni, ezzel ugyanis könnyen átvihetünk program-részleteket egyik fájlból a másikba.

Nos, az -nek ( a csúcsok koordinátái:   )  a síkja tartalmaz a dodekaéder csúcsai közül még hármat, pl. a  pontot, amelyrõl könnyen be lehet látni, hogy illeszkedik az  középvonalának az egyenesére, a  ,  pontokon átmenõ egyenesre. Az is nyilvánvaló, hogy ez az egyenes metszi ( az  pontban) az origón , valamint a   pontokon átmenõ  egyenest, hiszen mindkettõ az XZ síkban van. Még - némi számolással - azt is meg tudjuk határozni, hogy ennek a metszéspontnak a koordinátáiarányú zsugorítással állnak elõ a pont koordinátáiból. (  továbbra is az aranymetszés arányát jelöli: .)
 

Egy olyan csillag-poliédert fogunk építeni, amelynek a lapjai matematikai szempontból nézve egybevágó önátmetszõ négyszögek. A fenti vizsgálatokat azért végeztük, hogy egy ilyen négyszöget elõállítsunk, ez az négyszög. Technikai szempontból ez természetesen két háromszögre az  és az  háromszögre bomlik. Ebben a sorrendben felsorolva a két háromszög csúcsait, és bekapcsolva A VRML szerkesztõnknek azt a funkcióját, hogy csak a pozitív körüljárású síklapokat lássuk, kicsit talán érzékeltetni tudjuk, hogy a négyszögünk önátmetszõ. p2.wrl .

Innen kezdve a feladatunk elvileg egyszerû, gyakorlatilag technikai jellegû, és kissé hosszadalmas. Ezt a körüljárási irányt megtartva a dodekaéder minden élére illesszünk rá egy az négyszöggel egybevágó négyszöget, ezzel megkapjuk a keresett csillag-poliédert. Azt, hogy ezzel valóban (közönséges, bár önátmetszõ lapokkal rendelkezõ) poliédert kapunk, még be kellene látnunk. Lényegében azt kellene igazolnunk, hogy az alakzat minden élére pontosan még egy ugyanilyen alakzat azonos hosszúságú éle illeszkedik. (Ismételten hangsúlyozzuk a körüljárási irányt.)

Most mellõzzük még ezt a feladatot, helyette irányítástartó egybevágósági transzformációkkal és az így kapott fájlok összefésülésével lássunk neki az alakzat elõállításának. Azt azért nem árt elõre tudnunk, hogy minden egyes dodekaéder-élhez két ilyen négyszögnek kell tartoznia, vagyis az alakzatunk összesen 30*2 négyszögbõl, gyakorlatilag 120 db. háromszögbõl fog állni. Csúcsai - ugyancsak elvileg - az eredeti dodekaéderünk csúcsi, valamint az ebbõl arányú zsugorítással kapott (Az  pont transzformálásával elõálló) dodekaéder csúcsi lesznek melyekhez - gyakorlatilag - hozzáadódnak még az  pont transzformálásával kapott pontok, melyek éppen egy ikozidodekaéder csúcsait alkotják. Ez utóbbiak azonban nem csúcsai az alakzatnak, hanem a négyszögek önátmetszõ pontjai. (A figyelmesebb olvasó már bizonyára észrevette, hogy a korábban  elõállított ikozidodekaédert  nem véletlenül mutattuk be a WEB-lapunk elején. Egy-egy ilyen alakzatot nem csak amiatt érdemes elkészíteni, mert érdekes, netán szép, hanem azért is, mert "hátha jó lesz még valamire". Ez máris bekövetkezett.)

Mint már láttuk, szerkesztõnk segítségével könnyen elõállíthatjuk azokat az egybevágósági transzformációkat, amelyek valamely kiválasztott pontot valamelyik kiválasztott koordináta-tengelyre illesztik. Ehhez célszerû készítenünk egy "sablont", amelyrõl leolvasható, hogy milyen pontokat kell kiválasztanunk ahhoz, hogy alakzatunkat meghatározott helyzetbe transzformáljuk, például, hogy az  négyszög síkját valamely tengelyre merõleges helyzetbe hozzuk.
 
 

Ez a sablon.wrl fájl úgy készült, hogy elõbb a dodekaéder, majd az ikozidodekaéder adatait olvastuk be a szerkesztõnkbe. Az összefésült fájlnak elõször kitöröltük az összes lapját, majd az ikozidodekaéderhez tartozó éleket is, minden csúcs sorszámát kiírattunk, végül ebbe a fájlba is belenyúltunk kicsit "kézzel": Más színt és betûméretet használva különböztetjük meg a dodekaéder csúcsainak, ill. élfelezõ-pontjainak a koordinátáit.

Ha ebbõl az alakzatból fogjuk leolvasni a szükséges transzformációkat, akkor elsõként ezt a fájlt, ezt követõen a transzformálásra kiszemelt ( pl. a p2.wrl) fájlt olvassuk be, ezzel elérjük, hogy a transzformációkhoz használt pontok sorszáma - a dodekaéder csúcsait és él-felezõ pontjait illetõen - ugyanaz legyen, mint a sablonfájlban: p3.wrl.

Egyelõre segíti a tájékozódást az  háromszög, amelyet mindkét körüljárással felvettünk, így mindkét oldala felõl nézve látszik, miközben a poliédeünket alkotó háromszögek csak a leendõ külsõ oldaluk irányából látszanak.

. Ha azt szeretnénk, hogy ez a sík pl. az Y tengelyre legyen merõleges, akkor a 2. pontot kell az Y tengelyre, és a (0,2) egyenes normálsíkjának egy pontját, pl. a 45. -t az X (vagy a Z ) tengelyre illesztenünk. Jelöljük ezt így, a kiválasztás sorrendjében: Y:=(2)  X :=(45) . Az origó természetesen helyben marad:   p3a.wrl . Akár ezt, akár a p3.wrl -t tovább transzformálva rendre elõ tudjuk állítani ennek az alakzatnak a (2,8) tengely körüli 120 fokos elforgatottjait. Az Y:=(2)  X :=(29) transzformáció eredménye p3b.wrl ,az Y:=(2)  X :=(40) transzformációé pedig p3c.wrl . (Elegendõ volt a szerkesztõbe egyszer beolvasott p3.wrl fájlt rendre tovább transzformálni.)

Az így kapott fájlokat összefésülve megkapjuk a három, egy síkban fekvõ önátmetszõ négyszöget: p3abc.wrl . Ha az összefésüléskor összevontuk az egybeesõ csúcsokat, de a lapokat nem, akkor az (1,3,6) háromszögünk már 6 példányban szerepel a fájlban.

Egy újabb egybevágósági transzformációval: Y:=(8)  X :=(45) - amely lényegében egy X tengely körüli 180 fokos forgatás - elõ tudjuk állítani az ezzel párhuzamos síkban fekvõket is, melyeket az eredetivel összefésülve megkapjuk az összes olyan "négyszöget" (technikailag 12 db. háromszöget), melyek síkja(i) merõlegesek a dodekaéder két szemközti csúcsát összekötõ egyenesére: p4.wrl .
 

Ebbõl most már töröljük ki a csúcsok sorszámait, az összes élt, az eddig a támpontul szolgáló szabályos háromszögeket, végül minden felesleges csúcsot is. Adjunk a lapoknak egy késõbb átírandó - pl. fehér - színt: alap.wrl .

Mivel alakzatunk 120 darab háromszögbõl fog állni, valami szisztémát célszerû kidolgoznunk a lapok színeinek a megválasztására. Egyelõre állapodjunk meg abban, hogy az alakzat egymással párhuzamos - ill. egybeesõ - síkban fekvõ lapok kapják ugyanazt a színt. Mivel egy dodekaédernek 20 csúcsa, így 10 szemben fekvõ csúcs-párja van, ez tíz színt fog jelenteni.

Eljárásunknak a lényege, hogy megfelelõ transzformációkkal olyan irányba állítjuk a sablonfájlunk dodekaéderét, hogy az alap-alakzatunkat hozzáolvasva újabb és újabb más-más színû lapokkal bõvüljön az alakzatunk.

Ezt kissé részletezve az eljárás sorozatunk az alábbi lépésekbõl fog állni.

1. Olvassuk be a szerkesztõnkbe sablon.wrl fájlt! Olvassuk le a csúcspontok sorszámaiból, hogy melyek azok a csúcspontok, amelyeket rendre az Y, ill, X tengelyre kell állítanunk ahhoz, hogy a dodekaéder két szemközti csúcsát az Y tengelyre illesszük. Ha már kiszemeltünk egy Y tengelyre illesztendõ pontot, ehhez három szóbajöhetõ él-felezõ pont közül ki kell választanunk azt, amelyet majd az X tengelyre fogunk illeszteni.

Célszerû ezeket az adatokat leírnunk, esetleg ellenõrzésképpen rendre végre is hajtanunk a megfelelõ transzformációt, és megszemlélni, hogy valóban a kívánt helyzetbe állítottuk e a sablon.wrl alakzatot. Ezután töröljük ki a fájlból a sorszámokat.
2. Hajtsuk végre azt a transzformációt, amely a szerkesztõnkben lévõ fájlt új irányba állítja.
3. A szerkesztõben lévõ fájlhoz olvassuk hozzá az  alap.wrl  fájlt, azaz fésüljük össze azzal.
4. Az így kapott fájlban a színpalettán állítsuk át a (0,0,0) színt valamilyen eddig nem használt színre.

(Ahhoz, hogy nyomon követhessük a folyamatot, most elmenthetjük a szerkesztõnkben lévõ fájlt. Ezt most meg is tettük yaxb.wrl néven, ahol a az Y tengelyre, b az X tengelyre illesztett pont sorszámát jelenti.)
5. Térjünk vissza a szerkesztõnkben lévõ fájllal a 2. ponthoz mindaddig, amíg van eddig be nem állított irány.
6. Végül a kapott alakzatot állítsuk vissza a kiindulásul vett helyzetbe, töröljük ki a felesleges - éleket ill. lapokat nem tartalmazó - csúcsait, majd tároljuk az adatainkat arany1.wrl néven. Ezzel a munkát befejeztük.

  y02x45.wrl    y10x37.wrl   y11x41.wrl   y03x39.wrl   20x49.wrl

  y13x26.wrl   y06x28.wrl   y07x22.wrl   y14x27.wrl   y17x32.wrl

A kész alakzat eredeti helyzetében:

y27x34.wrl
 
 

Ugyanezt az arany-dodekaédert más - ugyancsak következetes - szisztéma szerint is kiszínezhetjük. Például  úgy, hogy azt a négy lapot (a két nagyobb és két kisebb háromszöget), amelyek "körülvesznek" egy dodekaéder-élt ugyanolyan színûre festünk. Emellett még arra is ügyelhetünk, hogy - éppúgy, mint eddig - az egy doekaéder-lap éleire illeszkedõ lapok mind különbözõ színt kapjanak.

Ezt a színezést az is indokolja, hogy amennyiben (pl. papírból) el szeretnénk készíteni az alakzat modelljét, ezt a négy lapot célszerû együtt kivágnunk.

Nehezebb feladat lenne a 120 háromszögbõl álló alakzatunkat ennek megfelelõen átszínezni, mint újból elõállítani.
Ezért egy adott dodekaéder él körüli  négy háromszöglap kivételével töröljük le az alakzat összes lapját. Ebbõl az alakzatból ( 4lap1.wrl  )  fogjuk felépíteni újból az arany-dodekaédert, a fenti elveknek megfelelõ módon.

Az egész poliéder újraépítéséhez célszerû egy új "sablont" készítenünk, amely az ikozidodekaéder csúcsai mellett az ikozaéder csúcsait tartalmazza. Ezt használhatjuk ugyanis arra a célra, hogy az alakzatunkat úgy helyezzük el egy koordináta-rendszerben, hogy a konvex burkát alkotó dodekaéder két lapja legyen párhuzamos a (vízszintesnek tekinthetõ) XZ síkkal.

Az új alapalakzatunk most  5*4  azonos színû háromszögbõl fog állni. Ezt az elõbb megismert, itt már nem részletezett módon az új sablonfájlunk és az 4lap1.wrl  összefésülésével és  transzformálásával   állítjuk elõ elõször az   y12x48.wrl  fájlt, a 12. számú pontot az Y a 45. -et az X tengelyre állítva. Ennek a fájlnak készítsük el azt a változatát is, amely pusztán a lapokat tartalmazza: 4lap2.wrl . Ugyanis ezt fogjuk majd  rendre összefésülni  az y12x48.wrl fájl tovább transzformált változataival. (Erre a célra használhatnánk magát az  y12x48.wrl fájlt is, de  a szerkesztõ programnak ekkor sokat kellene bíbelõdnie az egybeesõ csúcsok összevonásával.)

Nos, a forgatások és összefésülések eredményeként állnak elõ rendre az   y12x55.wrl  y12x57.wrl    y12x33.wrl  y12x45.wrl    fájlok, melyek közül az utolsót - az elõbbivel megegyezõ okból - ugyancsak megszabadítjuk a felesleges csúcsoktól és élektõl: alap2.wrl  . Ezek a forgatások lényegében az Y tengely körüli  nagyságú forgatások voltak.

A már megismert módon tovább transzformáljuk az y12x45.wrl  fájlt, megváltoztatjuk az utolsóként hozzáolvasott lapok színét, majd összefésüljük az alap2.wrl fájllal. Így kapjuk rendre az   y2x43.wrl  y3x53.wrl    y6x42.wrl y9x40.wrl   y5x54.wrl   fájlokat, melyek közül az utolsó már a végsõ arany2.wrl  fájl.

 

Munkánk közben célszerû elmentenünk a VRML szerkesztõnk által kiszámolt  transzformációs mátrixok fájljait  (ty2x43.wrl  ty3x53.wrl    ty6x42.wrl     ty9x40.wrl    ty5x54.wrl), ugyanis ezekbõl a VRML fájl közvetlen szerkesztésével igen egyszerûen elõállítható az alakzat. Fontos megjegyezni, hogy ezek a mátrixok rendre az Y tengelyre merõleges helyzetbe állítják a dodekaéder lapjait. Mivel az új helyzet mindig az elõzõbõl áll elõ, az itt kialakított sorrend nem változtatható meg.    

Vegyük most "kézbe" a VRML fájl szerkesztését valamely ASCII  kódú szövegszerkesztõt használva. A  4lap.wrl alakzatból könnyedén elõ tudjuk állítani az azonos színû lapokat   egy Y tengelyû, 2*Pi/5 nagyságú forgatással, melyet négyszer kell alkalmaznunk: alap3.wrl  Ebbõl pedig az imént kiszámított  mátrix transzformációkkal újból  megkaphatjuk az arany-dodekaédert: arany3.wrl . Ehhez fordított sorrendben kell alkalmaznunk a transzformációkat,  hiszen most nem az egész alakzatot forgatjuk olyan helyzetbe, hogy összefésülhessük az alapalakzattal, hanem az alapalakzatot fordítjuk más és más  helyzetbe.  Ezzel egy kissé rövidebb forrásfájlt kapunk, hiszen nem kell minden pont koordinátáját külön-külön megadnunk:  arany3.txt  .

 

Az alakzat rajzán kék színnel jelöltük az élt, ha a hozzá tartozó lapszög konvex, pirossal, ha konkáv. Az egymáshoz illesztendõ élek közül csak az egyikhez illesztettünk "fület", ahhoz, amelyik a modellkészítés szempontjából jobban kézre esik. A papír-modell elkészítéséhez ebbõl a "sablon"-ból, összesen  30 darabra van szükség, az itt látott színezési szisztémához 6 színbõl kell  5-5  ilyen alakzatot készítenünk.

Vegyük még egyszer szemügyre az arany-dodekaédert! Ha csak egy színre figyelünk, támadhat olyan érzésünk, mint ha az ebbõl a színbõl álló alakzat egyszer felülrõl, egyszer alulról "kerüli meg"  a dodekaéder éleit. Tegyük  kissé képlékenyebbé ezt a jelenséget. Ehhez  készítsünk két tóruszt, melyek közül az egyik - pontosan ötször - körbe tekeredik  a másik körül.
 

Ezeket a tóruszokat a MAPLE release 5 verziójával szerkesztettük, amely az általa elõállított térbeli alakzatokról  VRML fájlokat is tud készíteni:  Ez a program forrásfájlja: spiral.mws , a forrás szövege: spiral.txt  és az általa elõállított vrml fájl: spiral.wrl.
 
Ha most ezt a fájlt beillesztjük az arany3.wrl fájlba az azonos színû lapokat elõállító rész helyére, egy pillanat alatt  hozzájutunk egy igen látványos VRML jelenethez.

Ha pedig csak a tórusszal végezzük el ezeket a transzformációkat, kissé más formában ugyan , de visszajutunk a kiindulásul vett ikozidodekaéderhez.

Az ikozidodekaéder középpontjára  és két szomszédos csúcsára illeszkedõ sík egyben az itt  látott tórusz (vagy az alap2.wrl alakzat) síkja abban az értelemben, hogy az origón átmenõ, erre merõleges tengely körül forgatva a tóruszt  bármely, az alap2.wrl alakzatot, valamint a spirálunkat a  nagyságú forgatással önmabába vihetjük át.

Próbáljuk meghatározni két ilyen sík szögét. Ez a szög tulajdonképpen a dodekaéder lapszögének a kiegészítõ szöge, ami viszont az ikozaéder egy élének az origóból vett látószöge: .

Így, ha egy tóruszt elõállítottunk, akkor ezt a "síkjára" illeszkedõ tengely körüli  nagyságú szöggel elforgatva egy újabb tóruszt kapunk, amelybõl pedig egy az eredeti tóruszunk síkjára merõleges tengely körül -os szöggel még  négyszer tovább forgatva rendre megkaphatjuk az összes többi tóruszt is.

Mindezt az öt csavarással elõálló spiráunkkal is megtehetjük, csak a legelsõt a lerajzolás elõtt alá kell vetnünk  egy a síkjára merõleges 180 fokos forgatásnak. Mindez könnyen és röviden megvalósítható a MAPLE segítségével, amely az egész VRML fájl elõállítását is elvégzi helyettünk. Az alábbi VRML fájlok ezzel a spiralok.mws  MAPLE programmal készültek, melynek ez a forrásfájlja: spiralok.txt.

A spirál  formáját lényegében két bemenõ adat határozza meg:

1. d  :  az alapul vett ( r =10 sugarú) tórusz középvonala körül ekkora távolságra fut a spirál középvonala;
2. ro :  a spirál sugara.

(A  keletkezõ VRML jelenet minõségét, az  interaktív mozgatás sebességét - méginkább a fájl méretét - befolyásolja az is, hogy a tóruszok megadásához milyen "finom" beosztást alkalmazunk, így ez a két adat  - numpoints = a , tubepoints = b - ugyancsak bemenõ paraméterként szerepel a spirál elõállításánál.)

d = 0.5;    ro = 0.4 :  "szelídebb" kanyarokat leírva áttekinthetõbb a kép:   6sp2.wrl  ;

d = 3;       ro = 0.75 : ha meggyõzõdtünk róla, hogy két spirál nem metszi egymást, akkor a konstrukció szimmetriáiból adódóan semelyik kettõnek sincs közös pontja: 2sp3.wrl ; 6sp3.wrl ;

d=7;         ro = 0.3 :  ugyanez akkor is igaz, ha  spirálok szinte áttekinthetetlenül kusza alakzatban kerülgetik ki egymást:   2sp4.wrl ;  6sp4.wrl ;

A MAPLE felhasználók számára ajánljuk, hogy keressenek további nem metszõ eseteket.

Ezeket a forgatásokat az  alap3.wrl  alapalakzatunkra alkalmazva ezzel az igazán nem nagy fájllal  -  arany4.txt  - is elõállíthatjuk az arany dodekaédert: arany4.wrl .

A "saját mûhelyükben" végzett munkájukhoz sok sikert, az önálló felfedezés örömét kívánja: