Egybevágóság

 

Az egybevágóság fogalma abszolút geometriai fogalom. Ha például – a síkgeometriára szorítkozva – axiómaként elfogadjuk a tengelyes tükrözés már említett tulajdonságait, a többi egybevágósági transzformációt így értelmezhetjük:
 

Centrális tükrözésnek nevezzük két tengelyes tükrözés szorzatát, ha a két tengely merőleges egymásra. Metszéspontjuk a tükrözés centruma. Mivel az egyenesek közötti merőlegesség szimmetrikus reláció, a tükrözések sorrendje felcserélhető, így a centrális tükrözés involutórikus transzformáció. 

Forgatásnak nevezzük két tengelyes tükrözés szorzatát, ha a két tengely nem merőlegesen metszi egymást. A forgatás centruma az egyenesek metszéspontja, szöge a két egyenes szögének a kétszerese. A forgatás irányát a tükrözések sorrendje határozza meg. 

(Egyenes menti) eltolásnak nevezzük két tengelyes tükrözés szorzatát, ha a két tengely egy adott egyenesre merőleges. Az eltolás nagysága az egyenesek közös merőlegesükkel alkotott metszéspontjai közötti távolság kétszerese, irányát a tükrözések sorrendje határozza meg. 
 

 
 
 
Az euklídeszi geometriában két párhuzamos egyenesnek végtelen sok közös merőlegese van, ezek bármelyike alkalmas az eltolás nagyságának a meghatározására.
 
A hiperbolikus geometriában két ultrapárhuzamos egyeneshez csak egy olyan egyenes tartozik, amely mindkettőt merőlegesen metszi, így az eltolás nagyságát ezen kell mérnünk. 
Abszolút geometriai eszközökkel belátható, hogy:
 
Az eltolást egyértelműen meghatározza egyenese, az azon mért nagysága, valamint iránya. Ez azt jelenti, hogy egy adott egyenesen bárhol veszünk is fel egy adott hosszúságú szakaszt, ha a szakasz végpontjaiban az adott egyenesre merőlegeseket állítunk, akkor az ezekre vonatkozó tükrözések szorzata mindig ugyanazt az eltolást határozza meg. 
Mivel a hiperbolikus geometriában két egyenes egyirányú is lehet, ezért itt van egy eddig nem említett egybevágósági transzformáció:
 
Paraciklus menti eltolásnak nevezzük a két egyirányú egyenesre való tükrözés szorzatát.
Itt is a tükrözések sorrendje határozza meg az eltolás irányát. Nagysága nehezebben értelmezhető, mivel az adott egyeneseknek a rájuk merőleges paraciklussal alkotott metszéspontjai közötti távolság függ attól, hogy melyik paraciklust választottuk ki.

Az euklídeszi és a hiperbolikus síkon értelmezett eltolás között van még egy lényeges eltérés:
 

A sík bármely pontjának és egy eltolással kapott képének a távolsága egyenlő (és megegyezik az eltolás nagyságával).
Ez a hiperbolikus geometriában nem igaz.

A Tengelyes tükrözés, Centrális tükrözés, Forgatás, Eltolás (egyenes mentén), Eltolás (paraciklus mentén) című menüpontoknak megfelelő alprogramok használatát itt nem részletezzük külön. Reméljük, nem lesz nehéz hozzászokni, hogy a képernyőn csupa egybevágó háromszögek modelljeit látjuk, bár ez a látvány többnyire erősen eltér a megszokottól.

A sík lefedése című menüpont az egyik leglátványosabb, a  különböző geometriai rendszerek összehasonlítására legalkalmasabb része a programnak, így ezt külön tárgyaljuk.

<<<<<