avagy amit már az Ókorban is ismertek… és akik ismerték

(Ludolph-féle szám)

A jelölés a periféria (kerület) görög szó kezdőbetűje. A kör kerülete és átmérője közötti arányt jelenti. 1739-ben Euler javasolta, hogy ezt az arányszámot betűvel jelöljék.

Az egyiptomi Rhind-papiruszon (i.e. 2000-1700) a d átmérőjű kör kerületére a

képlet szerinti utasítás található. Ha ezt összehasonlítjuk a mai képletünkkel: 

akkor láthatjuk, hogy p helyett a ²⁵⁶/₈₁=3,1065 számot használták.

Ugyanakkor Mezopotámiában a p =3 vagy a p» 3¹/₈=3,125 lényegesen durvább közelítő értékeket használták.

Az indiai "Szulvaszutrák" kb. i. e. 500-ból p értékére két érdekes kifejezést adtak. Ezek a

és

.

Árjabhatta (476-550?), neves indiai matematikus és csillagász, 499-ben íródott könyvecskéjét, az Árjabhatiját, sokak Eukleidész Sztoikheiájához szokták hasonlítani, melyben Árjabhatta a hatványfogalom, a négyzetgyök- és köbgyökvonás mellett terület- és térfogatszámítással is foglalkozott. Ebben az "összefoglaló" műben a legnagyobb érdekesség az, hogy az író a háromszög területét helyesen számolja ki, de a piramis térfogatát a háromszögtől vett helytelen analógiával úgy határozta meg, hogy az alapterületet megszorozta a magasság felével. A kör területéhez úgy jutott el, hogy a kerületet szorozta a fél sugárral, ami jó, de már a gömb térfogatát úgy számította ki, hogy a gömbi főkör területét megszorozta a négyzetgyökével, ami pedig egyáltalán nem jó. (A jó és rossz eredmények e párhuzamát találhatjuk a négyszögek területszámításánál is.)
A p értékét, ugyanúgy, mint Ptolemaiosz, 3,1416-nek vette az egyik feladatnál, de 10 négyzetgyökének a másiknál. Sokszor indokolatlanul elfogadja a közelítő értéket akkor is, amikor a pontos érték meghatározása sem kerülne fáradságba. Ez különben más hindu matematikusoknál is előfordul. Van azonban arra is példa, hogy tudatosan különböztetik meg a pontos és a gyakorlatnak még megfelelő közelítő értéket.

Az ókori kínai matematikusok is p» 3 pontatlan értékkel számoltak i. e. 200-100 körül, ami nem annyira a pontosságra törekvő, hanem inkább a kényelmességről árulkodik, holott pontosabb közelítés is rendelkezésükre állt.
Forgalomban volt még több p érték is. Liu Ci (i. e.50-i. sz. 23) csillagász 3,15-dal számolt. Csang Heng (76-139) csillagász a p helyett Ö 10-et vagy ⁹²/₂₉ » 3,1724-et vett.
Vang Fan a p -t ¹⁴²/₄₅» 3,1556-nek számította. A Han-dinasztia (i. e.206-i. sz. 220) nevezetes reformátor politikusa, Vang Mang elrendelte, hogy a mértékegységeket egységesíteni kell az egész birodalomban. Az egységesítést Liu Ci hajtotta végre. Elkészítette a mértékegységek rézetalonját, és definíciójukat törvénybe iktatták. Ekkor a p értékét is "rendeletileg" 3,1546645» 3,1547-nek állapították meg. Ez a szám úgy jött ki, hogy a régi mérőedények vizsgálata alapján meghatároztak egy 1,62 területegység (csi²) területű kört. Ebbe rajzolták az első ábrán látható módon az egységnyi területű négyzetet. A kör átmérője és a négyzet átlója közti különbség fele, amit "résnek" neveztek, 0,0095 csinek mutatkozott.

Ezekből az adatokból a kör átmérője:

Mivel a kör területének a mérőszáma 1,62, ezért a

illetve

egyenletbőlp »3,1547.

Törvény ide, törvény oda, azért akadtak Kínában is matematikusok, akik más, pontosabb p -közelítéseket kerestek. Ezek közé tartozott Liu Huj is. Ez a III. századi matematikus egy 10 egységnyi sugarú körbe szabályos 192 oldalú sokszöget rajzolt. Így a kör területének alsó közelítő értékét 313 ⁵⁸⁴/₆₂₅-nek találta. Felső közelítésnek azt a területet vette, amelyet úgy nyert, hogy a beírt sokszög területéhez hozzáadta a kimaradt körszeletek köré írt téglalapok területösszegét (2. ábra). Ekkor 314 ⁶⁴/₆₂₅-öt kapott. E két érték számtani közepe pedig közelítőleg 314,0184. Ezen eredmény alapján p -t 3,14-nak vette. A legpontosabb számítást Cu Csung-Cse (429?-500) hajtotta végre. Ő Lui Huj módszerét a körbe írt 12288 és 24576 oldalú szabályos sokszögekre alkalmazta. Ilyen módon azt kapta,hogy3,1415926<p<3,1415927.

Érdekes, hogy a már említett Csang Csiu-Csien egy ízben ugyanannál a feladatnál kétféle utasítást adott. Először számolt  a p»²⁷/₂₈=3,37 értékkel, aztán a jóval pontosabb p» ²²/₇»3,1428 közelítéssel. Erre a feladatra hivatkozva a VII. századi Li Csun-Feng a pontosabb ²²/₇ értéket használta a Matematika kilenc fejezetben átdolgozásánál.
A p sokféle közelítő értékének egy időben való előfordulása megerősíti aztr a feltevést, hogy at ókori és középkori Kína matematikusai egymástól elszigetelten, egymás eredményeiről nem vagy csak nagyon későn értesülve dolgoztak.
A görögök nagy matematikusa, Arkhimédész (i.e. 287-212) a körbe és a kör köré írt szabályos sokszögekkel közelítve találta, hogy 3¹⁰/₇₁< p <3¹/₇ ,ill. 3,1408< p <3,1429. Ha a határok számtani közepét vesszük, akkor a p számára 3,1419-et kapunk. (Ez az első példaszerű határérték számítás.)
Ptolemaiosz "Almageszt"-jében, a II. században p»³⁷⁷/₁₂₀=3,14166. Ő trigonometrikus módszerekkel számolt.
Al-Kashi (XV.sz.) perzsa matematikus arra volt a legbüszkébb,hogy pontosabban adta meg a 2p közelítő tizedes törtjét, mint előtte bárki, azaz 16 tizedes pontossággal. Ezt úgy érte el, hogy az Értekezés a körről című, 1427 körül megjelent tanulmányában kiszámította a 3*228 oldalú szabályos sokszög kerületét, és ezt elosztotta a sokszög köré írható kör sugarával. Ilyen módon nyerte a

eredményt.
Az érdekesség kedvéért itt jegyzem meg, hogy sok olyan mondóka létezik, amely megkönnyíti a p szám valamelyik közelítő értékének megjegyzését. Ezek közül idézek egy angol szöveget:
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.(Mennyire kívánok egy italt, természetesen alkoholt, a nehéz kvantummechanikai előadások után.) Az angol mondat egymás utáni szavainak betűszáma adja rendre a p közelítő tizede törtjének a számjegyeit:p» 3,14159265358979.

A francia Viéte (1540-1603) p-t tíz tizedesjegyig határozta meg. Ludolph van Ceulen (1540-1610) holland matematikus 35 tizedesjegyig számította ki p értékét. Ezért szokás a p-t Ludolph-féle számnak nevezni.

Az előbb említett Viéte trigonometrikus alakban adta meg p értékét:

Bár nem Leibniz (1646-1716) fedezte fel, de róla nevezték el a

… sort.

Valószínű, hogy a felfedezés érdeme James Gregory (1638-1675) skót matematikusé.

1669-ben Wallis (1616-1703) szintén skót matematikus szerint:

, ami egy konvergens vételen sorozat.

1706-ban Machin francia matematikus p-hez gyorsan közelítő sora:

1784-ben Shancks angol matematikus e sor segítségével 707 tizedesjegyig számította ki p értékét, körülbelül 30 évi munkával.

1944-ben Fergusson, ugyancsak angol matematikus kimutatta, hogy Shancks eredménye az 528. tizedesjegytől kezdve téves.

Elektronikus számológépekkel p-nek már több ezer jegyét kiszámították.

De Buffon gróf (1707-1788) 1777-ben elsőnek vezette be a geometriai valószínűség fogalmát a "tűprobléma" néven közismertté vált feladattal. Ez a feladat lehtővé teszi a p kísérleti meghatározását.Buffon példája szerint:

Vízszintes táblára d távolságú párhuzamos egyeneseket rajzoljunk. Egy l< d hosszúságú tűt dobálunk a táblára irányítás nélkül. Mi a valószínűsége annak, hogy a tű valamelyik egyenesre esik? A keresett valószínűség értéke:

A zürichi Christian Wolf 1850-ben a képlet alapján kísérletileg meghatározta p-t. Kísérletében d=45 mm és l=36 mm volt. 5000 dobás után p értékére 3,1595-et talált.

A XVII. században Lambert (1728-1777) és Legendre (1752-1833) bebizonyították, hogy p irracionális szám.

1882-ben Lindemann (1852-1939) német matematikus kimutatta, hogy p transzcendens szám, azaz racionális együtthatójú algebrai egyenletnek gyöke nem lehet. Ez viszont azt jelenti, hogyp euklédeszi szerkesztéssel nem szerkeszthető meg.