A poliéder fogalma

Azt a célt tűztük ki, hogy felépítsük a poliéder (sokszögekkel határolt mértani test) fogalmát.

Sok - sok VRML kép (jelenetsor) formátumú példán és ellenpéldán megvilágítva fogunk eljutni a fogalom kialakításáig. Reméljük, türelmesebb olvasóink végig fogják követni ezt a - néha talán túlságosan is körülményesnek tűnő - utat.  Akik mégsem, azok számára is nyitva áll az a lehetőség, hogy lexikonszerűen megnézzék az éppen aktuális kérdéshez tartozó jeleneteket, példákat.

A tárgyalt fogalmak címszavakban:

A sokszög

Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban a szokásos betűzés helyett mindig számokkal fogjuk jelölni a tér, ill. a sík pontjait.

A  0, 1, 2 , ...N ( véges sok, különböző) pont által meghatározott   0-1 , 1-2 ,  2-3  , ... N-1 - N szakaszokból álló geometriai alakzatot töröttvonalnak - másképpen poligonnak - nevezzük. A töröttvonal szomszédos szakaszai a közös végpontú szakaszok. A pontok a töröttvonal csúcsai, vagy másképpen szögpontjai. Az elsőként megadott csúcs a töröttvonal kezdőpontja, az utolsóként megadott a végpontja.

Egy töröttvonal síkbeli, ha az összes csúcsa egy síkra illeszkedik. Zárt, ha a kezdő és végpontja egybeesik. A zárt töröttvonalat csúcsai ciklikus felsorolásával adjuk meg. Bárhol kezdhetjük a felsorolást, ha tudjuk hogy zárt a töröttvonal, akkor az utolsónak és elsőnek felsorolt csúcsot is él köti össze. Egy ciklus elemeit kétféle "irányban" haladva sorolhatjuk fel, ennek megfelelően egy zárt sokszögnek kétféle irányítást adhatunk. (Később ezt ki is fogjuk használni.)


Egy töröttvonal egyszerű, ha az előírtakon kívül nincs a szakaszoknak közös pontjuk. Ha ez nem teljesül, akkor előfordulhat, hogy a csúcsait felsorolva valamely csúccsal többször is találkozunk a felsorolásban, vagy egy csúcs valamely nem hozzá tartozó él belső pontja. Ekkor un. ön-érintő sokszögvonalhoz, ha pedig a töröttvonal metszi önmagát, akkor önátmetsző sokszögvonalhoz jutunk.

Nézzünk néhány példát az eddigiekre.

P1  :  egy nem síkbeli, nem zárt töröttvonal.

P2( 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 4 - 7 ) ,   P3 ( 1 - 2 - 3 - 4 - 5 ) :   zárt, síkbeli, ön-érintő sokszögek.

P4 (1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 )  ,  P5 ( 1 - 2 - 3 - 4 - 5 ) :    önátmetsző zárt síkbeli sokszögek.

Itt jegyezzük meg, hogy ugyanaz a rajza a P2 és P4 alakzatnak, mégis különböznek (már a csúcsaik számában is). Az önátmetsző sokszögvonal metszéspontjait nem soroljuk a csúcsai közé. Egy töröttvonalat valóban a csúcsai felsorolásával (És természetesen a csúcsok egyértelmű meghatározásával ) kell megadnunk.  A csúcsok (általában a sík vagy tér pontjainak) egyértelmű megadása a geometria egyik alapvető kérdése. Történhet pl. egy síkbeli rajzzal, ha a pontok nincsenek egy síkban, akkor ábrázoló geometriai módszerekkel, vagy síkbeli, ill. térbeli koordinátáival. Mindig az adott problémaszituáció, a téma "környezete" dönti el, hogy az egyértelmű megadás hogyan történjék. A túlságosan "laza", hiányos megadás épp oly hiba, mint az adott körülményekhez képest túl precíz, körülményes fogalmazás. Általában azt lehet mondani,  hogy olyan precíznek, pontosnak kell lennie a megadásnak, hogy az minden felhasználó (olvasó) számára egyértelmű legyen, mindenki számára ugyanazt jelentse. 

Pl. ugyanaz a rajza a  P6   az egymástól különböző  1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 4 -7 , valamint az 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 5 - 4 -7 zárt síkbeli sokszögeknek. Az előbbi ön-érintő, az utóbbi önátmetsző sokszög. Ez a tulajdonságuk az általuk határolt síkrészek megadásánál kap jelentőséget. Tehát nem mondhatjuk, hogy egy sokszögvonal egyértelmű megadásához elegendő lerajzolnunk a sokszöget. Még akkor sem, ha a csúcsait megszámozzuk a rajzon. (Egy rajz végül is csak egy - matematikai - fogalom szemléltetésére szolgál, nem azonos magával a fogalommal. Legfeljebb azt mondhatjuk, hogy ha ez nem értelemzavaró, akkor a fogalom egyértelmű megadását egy rajzzal is megtehetjük.)

Egy egyszerű töröttvonal is lehet elfajuló, ha a szomszédos élei egyenesszöget zárnak be. Például  P7 egy háromszöggé elfajuló négyszög. (Minden - zárt - sokszögvonalnak legalább három csúcsa, így legalább három éle van.)


Bizonyítható, hogy az egyszerű, zárt síkbeli töröttvonal, az un. egyszerű sokszögvonal két részre osztja a sík rá nem illeszkedő pontjait úgy, hogy a különböző síkrészekhez tartozó pontokat csak olyan (ugyancsak ebben a síkban fekvő) töröttvonallal tudjuk összekötni, amely az egyszerű sokszögvonalat páratlan számú, (tehát legalább egy) pontban metszi. E síkrészek egyike nem tartalmaz félegyenest, azaz korlátos. Ezt a síkrészt egyszerű sokszöglapnak nevezzük.


Az egyszerű sokszög jelentheti a sokszögvonalat, vagy a sokszöglapot is. Csak akkor szoktuk külön jelezni, hogy a sokszögvonalat, vagy a sokszöglapot értjük a sokszögön, ha ez a szövegkörnyezetből nem derül ki.

Egy egyszerű sokszög(lap) konvex, ha bármely két pontja összeköthető olyan szakasszal, amelynek minden pontja a sokszöglaphoz tartozik.

P8 egy egyszerű (nem konvex) sokszöglap.


Kissé általánosabban közönséges sokszöglapnak (sokszög tartománynak, röviden sokszögnek) nevezzük a véges sok egyszerű, zárt síkbeli töröttvonal által határolt korlátos síkrészt, melyben bármely két sokszögvonal diszjunkt, azaz nincs közös pontja. A közönséges sokszöglap minden csúcsára pontosan két él illeszkedik. Ha egy közönséges sokszögvonal határát képező bármely egyszerű sokszögvonal valamely pontja köré rajzolunk egy (a sokszög síkjában fekvő)  tetszőlegesen kicsi sugarú kört - úgy mondjuk, hogy tekintjük egy tetszőleges (síkbeli) környezetét - akkor ennek a körlapnak mindig lesz a sokszöglaphoz tartozó, és nem tartozó része. Egy közönséges sokszöglap összefüggő, ha bármely két pontja összeköthető olyan egyszerű töröttvonallal, amelynek nincs közös pontja a sokszöglapot határoló egyik egyszerű sokszögvonallal sem. (A fenti meghatározás lehetővé teszi azt is, hogy egyetlen sokszöglapnak tekintsünk egymással nem összefüggő síkrészeket is, bár ezeket általában külön sokszögeknek tekintjük.

P9 két egyszerű sokszögvonallal határolt közönséges sokszög.

Még általánosabb sokszöglap fogalomhoz jutunk, ha a sokszöglapot határoló (egy, vagy több) töröttvonaltól nem követeljük meg, hogy egyszerű sokszögvonal legyen, hanem megengedjük, hogy a sokszöglap határa ön-érintő, vagy önátmetsző is lehet. Azt is megengedhetjük, hogy a több határvonalú sokszöglap határvonalaik messék egymást. (Azt viszont már nem engedjük meg, hogy e határvonal(ak)nak végtelen sok közös pontja legyen.

Pl. ez a két egyszerű, zárt sokszögvonal által meghatározott sokszöglap állhat egy, vagy két nem összefüggő részből, a sokszögvonalak kölcsönös helyzetétől függően.


Az önátmetsző sokszögvonallal értelmezett önátmetsző sokszöglapok esetén azonban már külön értelmezést igényel - még egyetlen zárt síkbeli töröttvonal esetében is - hogy mit értsünk a sokszögvonal által határolt síklapon. Példáinkból látható, hogy egy önérintő, vagy önátmetsző sokszögvonal egy, vagy több olyan korlátos részt - tartományt - vág ki a (nem korlátos) síkból, amely tartományok belső pontjai összeköthetők olyan töröttvonallal, amelynek nincs közös pontja a sokszögvonalunkkal. Minden így kapott síkrészhez hozzárendelhetünk egy egész számot, amelyet a síkrész körüljárási számának, vagy lefedettségi számának nevezhetünk. Ehhez adjunk a zárt sokszögnek egy körüljárási irányt (pl. azzal, hogy a csúcsait rendre felsorolva az egyik ciklust pozitívnak tekintjük.) Azt mondjuk, hogy egy tartomány körüljárási száma K, ha valamely belső pontjából a sokszögvonalon egyszer körbefutó pontot követve K -szor fordul körbe a kiválasztott (belső) megfigyelési pontból kiinduló, és a körbefutó pontot tartalmazó félegyenes. Nyilvánvaló, hogy a sík nem korlátos részének a körüljárási száma 0, az egyszerű sokszöglapé 1, vagy -1 attól függően, hogy a sokszög körüljárási iránya megegyezik-e  a sík irányításávaval.
 

Nem tartozik vizsgálódásunk körébe, de megemlítjük, hogy topológiai módszerekkel igazolható: az euklídeszi sík kétféleképpen irányítható. Az már a geometria tárgyán kívüli megállapodás, hogy ezek közül melyiket tekintjük pozitívnak. Vannak nem irányítható felületek is, mint pl. a Möbius szalag.

Nézzünk erre néhány példát. Példáinkon a sárgától indulva egyre haragosabb zöld színnel jelöljük az egyre nagyobb pozitív, a lila felé hajló pirossal az egyre nagyobb abszolút értékű negatív körüljárási számú részeit a sokszöglapnak.

P10 (1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 )
P11 (1 - 2 - 3 - 4 - 5 )
P12 (1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 4 -7 )
P13 (1 - 2 - 3 - 4 - 6- 5 - 4 -7)
önátmetsző, ill. önérintő sokszögvonallal határolt sokszöglap.

Bár a sokszögek síkgeometriai alakzatok, így egyszerűen ábrázolhatók egy papírlapon, vagy a képernyőn. Mi most mégis a térbe ágyazva jelenítjük meg alakzatainkat, előre vetítve azt, hogy a poliéderek  megadásakor különböző síkokban fekvő sokszögekkel lesz dolgunk.

Érdemes megjegyezni, hogy az önátmetsző sokszögek területét úgy célszerű értelmeznünk, hogy egy-egy (egyszerű) tartomány területét megszorozzuk a hozzá tartozó lefedettségi számmal. Így megmarad a terület azon tulajdonsága, hogy ha egy sokszöglapot részekre bontunk, akkor a kapott részek területének összegeként megkapjuk az eredeti sokszöglap területét. Pl. a P11 ötszög területe az (1 - 2- 3 - 5) négyszög és a (3 - 4 -5) háromszög területének az előjeles összege, függetlenül attól, hogy pl. a   4. pont hol helyezkedik el a többihez viszonyítva., azaz konvex, konkáv, esetleg önátmetsző a sokszögvonal.

Térjünk vissza az egyszerű sokszögek vizsgálatához.

Az egyszerű sokszögvonal minden csúcsából kiindul két félegyenes, amely a vele szomszédos egyik, ill. másik csúcsot tartalmazza. Ezek két részre (szögtartományra) osztják a síkot. Ezek közül a sokszög adott csúcsához tartozó(belső) szög az a szög, amelynek az adott csúcs köré írt(a sokszög síkjában fekvő) tetszőlegesen kicsi kör lapjával alkotott közös része megegyezik e körlap és a sokszöglap közös részével. (A csúcs bármely környezetének a sokszöglaphoz, ill. a belső szögéhez tartozó része azonos.)

Bocsássa meg az olvasó, hogy ennek a már általános iskolából jól ismert fogalomnak a meghatározásával untatjuk, de ez a kissé körülményes megfogalmazás még hasznunkra lehet a térbeli analóg fogalmak kialakításánál. Érdemes végiggondolni, hogy ez a meghatározás önátmetsző sokszögekre vonatkoztatva némi finomításra szorul. Fogalmazhatnánk pl. úgy, hogy a szóban forgó szögszárak által meghatározott szögek közül az jelentse a sokszög adott csúcsához tartozó belső szöget, amelynek a csúcs körüli bármely kicsi környezetében található belső ponthoz nagyobb körüljárási szám tartozik.(Így pl. a P11sokszög 4 -es pontjához tartozó belső szög a konkáv szögtartomány.)

Egy konvex sokszög - amely szükségképpen egyszerű - belső szögeinek a közös része (metszete) maga a sokszög.

Egy egyszerű sokszög szabályos, ha minden oldala és minden szöge egyenlő. Az így értelmezett szabályos sokszögek konvexek.
 

Később szükségünk lesz a szabályos sokszög fogalmának egy általánosítására. Általánosabb értelemben szabályosnak nevezünk egy sokszöget, ha oldalai és szögei egyenlők. Itt most eltekintünk az egyszerű (azaz konvex) kikötéstől, helyette megengedjük azt, hogy a sokszögvonal önátmetsző is lehet. Ha egy szabályos sokszög nem konvex, akkor szükségképpen önátmetsző. Ezeket - megkülönböztetésül - önátmetsző szabályos sokszögeknek nevezzük. Ebben az általánosabb értelemben két szabályos ötszög, és három szabályos hétszög létezik. (Érdekes - lényegében számelméleti - kérdés annak a vizsgálata, hogy adott N értékhez hány N - oldalú szabályos sokszög tartozik.)

P14(1 - 2 - 3 - 4 - 5 )   Szabályos ötszögek

P15(1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 -7)   Szabályos hétszögek

A szabályos csillagötszögnek vannak egyszeresen és kétszeresen lefedett részei, a hegyesebb szögű önátmetsző szabályos hétszögnek  pedig van háromszorosan lefedett része is.
Az önátmetsző szabályos sokszögek  területét úgy értelmezhetjük, hogy a többszörösen lefedett részek területét megszorozzuk a terület lefedettségi számával. Ilyen értelmezés mellett pl. érvényben marad az a konvex szabályos sokszögekre érvényes képlet, miszerint a kerület felének és a beírt kör sugarának a szorzataként megkapható a sokszög területe.

Itt (is) fel szeretnénk hívni olvasóink figyelmét a szabályos ötszög aranymetszéssel kapcsolatos tulajdonságaira, melyekre később szükségünk lehet.

Az eddig áttekintett fogalmak síkgeometriai fogalmak voltak. Most térjünk át a térgeometriai fogalmakra.

A poliéder

Poliédertestnek nevezzük a tér azon véges sok sokszöge által határolt részét, amely nem tartalmaz félegyenest (azaz korlátos). A poliédertestet határoló bármely sokszöglap bármely éle egyúttal éle legalább egy másik sokszöglapnak is. Magát a poliédertestet határoló sokszögeknek - a poliéder lapjainak - az összességét  poliéder felületnek nevezzük. Poliéderen érthetjük a poliédertestet, vagy a poliéderfelületet is. Ha a szövegkörnyezetből nem derül ki, hogy melyikre gondolunk, akkor kell csak ezt külön hangsúlyoznunk. A poliéder csúcsai az őt határoló sokszögek csúcsai, élei e sokszögek élei. A poliéder minden csúcsára legalább három lap, így legalább három él illeszkedik. (Mivel a legkevesebb oldalszámú sokszög a háromszög, ezért az is igaz, hogy a poliéder minden lapjára legalább három csúcs, így legalább három él illeszkedik. )

Egy poliédert akkor tekinthetünk adottnak, ha egyértelműen megadjuk a csúcsait, -pl  térbeli  koordinátáikkal - , továbbá egyértelműen megadjuk a lapjait a szomszédos csúcsok ciklikus felsorolásával.

Egy poliéderfelület összefüggő, ha bármely két pontja összeköthető olyan töröttvonallal, amelynek minden pontja illeszkedik a felületre. Hasonlóan: egy poliédertest összefüggő, ha bármely két belső (azaz a felületre nem illeszkedő) pontja összeköthető olyan töröttvonallal, amelynek a poliéderfelülettel nincs közös pontja. Egy poliéder élhálózata összefüggő, ha bármely csúcsból bármely csúcsba eljuthatunk a poliéder élein haladva.

Például ezek szerint egyetlen poliédernek tekinthető két teljesen különálló kocka is, bár ha sem a poliédertest sem a poliéderfelület nem összefüggő, akkor ezt az alakzatot nem szoktuk egyetlen poliédernek tekinteni.

Ez a P16 poliédertest nem összefüggő, bár a poliéderfelület az. Ugyanakkor képzeljük el azt az összefüggő poliédertestet, amelyet két, egymásba illesztett, egymással nem összefüggő poliéderfelületet (pl. kocka) határol. Ez esetben a poliédertest a belső kockán "kívüli", és a külsőn "belüli" térrész.(P17)

Egy poliéder közönséges, ha minden csúcsára teljesül, hogy az erre illeszkedő lapok elrendezhetők egy ciklikus sorrendbe úgy, hogy a ciklus szomszédos lapjai szomszédos (közös éllel rendelkező) lapok legyenek, továbbá teljesül, hogy a lapoknak nem lehet közös belső (azaz a sokszög határvonalára nem illeszkedő) pontjuk. (Ez a feltétel zárja ki, hogy a közönséges poliéder felület önátmetsző legyen.) A közönséges poliéder minden élére szükségképpen pontosan két lap és pontosan két csúcs illeszkedik. Ugyancsak szükségszerű, hogy a közönséges poliéder minden lapja közönséges sokszög. A közönséges poliéder felületének bármely pontja köré írt tetszőlegesen kicsi sugarú gömbnek - a felületre illeszkedő pont (térbeli) környezetének - lesz a poliédertesthez tartozó és nem tartozó része is.

A P16 poliéder nem közönséges, P17 vagy P18 azonban igen. Figyeljük meg, hogy P17 felülete nem összefüggő. A P18 poliéder test, ill. felület összefüggő, az élhálózata azonban nem.  P19 már egyszerű sokszögekkel (jelen esetben négyszögekkel) határolt közönséges poliéder, így az élhálózata szükségképpen összefüggő.


A közönséges poliéderek minden éléhez tartozik egy lapszög. Ennek a meghatározásához vegyünk fel egy olyan tetszőlegesen kicsi sugarú kört, melynek a középpontja az él egy tetszőleges belső pontja, síkja merőleges a vizsgált élre. Ennek a körlapnak a poliédertesttel alkotott közös része egy  körcikk. Ennek a körcikknek a középponti szögét nevezzük az él lapszögének.  Egy lapszög lehet konvex (P20), vagy konkáv (P21).

A közönséges poliéder egy csúcsára illeszkedő lapjainak a csúcsra illeszkedő élszögei  (belső szögei) két részre osztják a teret. E két rész közül azt tekintjük a poliéder adott csúcsához tartozó testszögletének, amelyre teljesül, hogy a csúcs köré írt bármilyen kicsi sugarú gömbnek a poliéder testtel alkotott közös része, valamint a testszöglettel alkotott közös része ugyanaz. (A csúcs környezetének a poliédertesthez, ill. a csúcs testszögletéhez tartozó része megegyezik.)  A poliéder egy adott csúcsához tartozó testszöglete lehet, hogy tartalmazza a teljes poliédert (P22), de nem feltétlenül (P23). Ezért nem mondhattuk azt, hogy a poliéder  egy csúcsára illeszkedő élszögek által meghatározott térrészek közül az a testszöglet, amelyik tartalmazza a poliédert.

Egy testszöglet valamely éléhez tartozó lapszöget a poliéder lapszögéhet hasonló módon értelmezhetjük.
A poliéder valamely  élének a  lapszöge egyben az él végpontjaihoz tartozó testszögletek lapszöge is.
Egy testszöglet - amely a poliéder fogalmától függetlenül is kiépíthető fogalom - szabályos, ha minden élszöge, valamint minden lapszöge egyenlő. A szabályos testszöglet elmetszhető olyan síkkal, amely a testszöglet minden élével ugyanakkora szöget zár be.  Ennek a síknak a lapszög határoló felületével alkotott metszésvonala szabályos sokszög.

A szabályos testszögletet általánosabban értelmezve megengedhetjük, hogy a határoló felülete önátmetsző is lehet, ekkor az előbbi értelemben vett síkmetszet is önátmetsző szabályos sokszög.

A közönséges poliédereknek egy fontos jellemzője az un. összefüggőségi szám. Egy közönséges poliéder N -szeresen összefüggő, ha a felületén fel tudunk venni N-1 darab olyan egyszerű zárt töröttvonalat, amely mentén felvágva nem feltétlenül esik szét a felület két különálló részre, de bárhogyan veszünk is fel N darab ilyen töröttvonalat, feltétlenül szétesik. (A poliéderfelületnek ez a tulajdonsága un. topológiai tulajdonság, ami azt jelenti, hogy ha a felületet egy tetszőleges folytonos transzformációnak vetjük alá, akkor ez a tulajdonsága megmarad.)

  P19   pl. egy háromszorosan, P24  pedig egy egyszeresen összefüggő poliéderfelület (és összefüggő poliédertest, azonban az élhálózata nem összefüggő, mivel van egy  topológiai szempontból körgyűrű-szerű lapja).   Megjegyezzük, hogy a háromszorosan összefüggő poliéderfelületek folytonos deformálással tórusszá, az egyszeresen összefüggők gömbbé alakíthatók. Kétszeresen összefüggő közönséges poliéderfelület pedig nem létezik. (Tórusznak nevezzük azt a felületet, amelyet úgy származtathatunk a körből, hogy körbeforgatjuk egy a síkjában fekvő olyan egyenes körül, amelynek nincs a körrel közös pontja. )

Egyszerű poliédereknek nevezzük azokat a közönséges poliédereket, amelyek felülete egyszeresen összefüggő, és minden lapja egyszerű sokszög.  Minden konvex poliéder egyszerű., de nem minden egyszerű poliéder konvex.

P25   és    P26  egyszerű poliéderek.  Egyikük sem konvex,  azonban a P25 poliéder csúcsaink tudunk olyan új koordinátákat adni, hogy a lapok és csúcsok elrendezését , (illeszkedését, szomszédosságát) megtartva  konvex poliédert kapjunk: P27 . (Azt mondjuk, hogy P25 és P27 felülete és élhálózata topológiailag ekvivalens, azaz homeomorf.)  Ha két poliéder felülete és élhálózata homeomorf, vagyis csak a csúcsainak az egymáshoz viszonyított helyzetében  - koordinátáiban - van eltérés közöttük, akkor topológiailag azonosnak tekintjük őket. Érdekes kérdés annak a vizsgálata, hogy hány topológiailag különböző 4, 5, 6 .. N lapú egyszerű poliéder létezik. Próbálja megadni az olvasó a választ pl. N=7-re. (Terveink szerint  később egy önálló weblapon vissza fogunk térni a kérdésre.)

A   P26  poliédernek van két olyan lapja, melyek két él mentén is szomszédosak. Ez okozza, hogy  a vele  megegyező élhálózatú poliéderek egyike sem realizálható konvex poliéder formájában.

Az egyszerű poliéderek körében érvényes Euler poliédertétele, amely szerint egy egyszerű poliéder lapjai és csúcsai számának az összege 2-vel nagyobb, mint az élek száma:

L + C - E = 2

Egy poliéder(test) konvex, ha bármely két pontját összekötő szakasz minden pontja a poliédertesthez tartozik. Minden konvex poléder egyszerű, azonban van olyan egyszerű poliéder, amely nem realizálható konvex poliéder formájában. Minden közönséges poliédernek van konvax lapszöge is. Ha egy poliéder minden lapszöge konvex, akkor maga a poliéder is konvex.

Szabályos poliéder az, amelyre teljesül, hogy


A szabályos poliédereknek egy általánosabb értelmezéséhez jutunk, ha a fenti meghatározásból elhagyjuk a konvex megszorítást, helyette megengedjük, hogy a lapjai, vagy a testszögletei önátmetszők is lehetnek. Így a szabályos poliéderek köre kibővül. A nem konvex szabályos poliéderek az un. szabályos csillag-poliéderek.

Egy poliéder topológiai értelemben szabályos, ha a poliéder felület egyszeresen összefüggő (azt mondjuk, hogy homeomorf a gömbbel)  minden csúcsába ugyanannyi él fut be, és minden lapjának ugyanannyi éle van. Pl. topológiai szempontból szabályos poliéder bármely téglatest, vagy általában egy négyszög alapú csonkolt gúla. Igazolható, hogy ötféle topológiailag szabályos poliéder létezik, és ezek mindegyike realizálható konvex szabályos poliéder formájában.

A szabályos poliéderekről itt olvashatunk bővebben.

Félig-szabályos poliéder, az, amelyre teljesül, hogy:

vagy:
Eszerint két különböző típusú félig-szabályos poliéder létezik. Azt mondjuk, hogy minden egyik értelemben vett félig -szabályos poliédernek létezik az un. duális poliédere, amely a másik értelemben vett félig szabályos poliéder. A poliéderek közötti duális kapcsolat többféle (topológiai, projektív geometriai, metrikus) összefüggést takar, amely önmagában is érdekes vizsgálódás (később elkészítendő weblap) tárgya lehet.

Vegyük észre, hogy a félig szabályos poliédereknek ez a definíciója  úgy állt elő, hogy a szabályos poliéderrel szemben támasztott követelmények egy részét elhagytuk. Eszerint minden  szabályos poliéder egyszersmind félig szabályos is. Ugyancsak ide tartozik bármely szabályos N oldalú hasáb - más elnevezéssel prizma, melynek az oldallapjai négyzetek, valamint a szabályos háromszögekből és  két darab  N oldalú szabályos sokszögből előálló alakzat az un. szabályos antiprizma: P28  Ilyen  félig-szabályos poliéder pl  az, amelynek minden csúcsára három négyzet és egy szabályos háromszög illeszkedik: P29 . Ennek van egy centrálisan nem szimmetrikus "csavart" változata is, melyet úgy kaphatunk, hogy az egyik  szabályos nyolcszögre épülő "kupoláját" elfordítjuk 45 fokkal: P30

Arkhimédészi poliédereknek nevezzük azokat a félig szabályos poliédereket, melyek lapjai legalább kétféle szabályos sokszögek (ezzel kizártuk közülük a szabályosakat, valamint a másik értelemben vett félig szabályosakat), nem hasábok, nem antiprizmák , és nincs közöttük az előbbi csavart kupolájú  P30  poliéder.
Igazolható, hogy 13 különböző arknimédészi poliéder (arkhimédészi test) létezik.

Az arkhimédészi poliéderek duálisaira  - melyeknek a testszögletei szabályosak és a lapjai egybevágók - használatos a   katalán poliéder  elnevezés.

Néha   - szűkebb értelemben  - csak az arkhimédészi és a katalán poliédereket nevezik félig szabályos poliédereknek.
A kockából előállítható arkhimédészi poliéderekről itt olvashatunk kissé bővebben.

A konvex poliédereknek egy érdekes csoportját alkotják az un. Johnson poliéderek, melyeknek a lapjait 3- ,4- ,5- ,6-, 8-  vagy 10- oldalú szabályos sokszögek, és nem tartoznak az előbbi csoportok egyikébe sem. Összesen 92 db ilyen poliéder létezik.

A fent említett konvex poliéderek alaposabb megismeréséhez nagy segítséget nyújthat a POLY nevű (cél)szoftver, melynek a kizárólagos feladata ezeknek a poliédereknek a bemutatása. Ezt az igen látványos programot a szerző weblapjáról, innen tölthetik le az érdeklődők: http://www.peda.com/


Toroid a topológiailag tórusz szerű közönséges (de nem egyszerű) poliéder.  Pl.: P18 , vagy P19 .Minden toroid felülete háromszorosan összefüggő. Ha egy toroid  felületét egyszerű sokszögek határolják, (mint pl. a P19 poliédert) akkor lapjainak, csúcsainak és éleinek a száma között fennáll az  L + C - E = 0   összefüggés, amely az Euler-tétel egy általánosításának a toroidokra való alkalmazásaként adódik.

Magasabb összegüggőségi számú toroidok is konstruálhatók, melyek homeomorfak (felületük topológiailag ekvivalens) valamelyik több, mint egy "lyukkal" rendelkező tórusszal.

A topológiailag tórusz-szerű  poliéderek körében is értelmezhető a 'szabályos" jelző, amely itt topológiai összefüggéseket jelent: szabályos toroidnak nevezzük azt a tórusz szerű poliédert, amelyenek minden lapja egyszerű sokszög, és minden csúcsára ugyanannyi lap, minden lapjára ugyanannyi csúcs illeszkedik. (Pl.  a P19 poliéder olyan szabályos toroid, amelynek 4 fokszámú lapjai, és 4 fokszámú csúcsai vannak.)

A fenti meghatározás-sorozatot ne tekintse az olvasó teljesnek, mi sem tekintjük annak. Szándékaink szerint  igyekszünk folyamatosan bővíteni, finomítani , minél több példával megvilágítani az itt bemutatott fogalmakat. 

Vissza a poliéderekkel foglalkozó anyagunk kezdőlapjára