A történet 1949-ben kezdődött.

Ebben az évben rendezték meg második alkalommal az azóta közismertté vált Kürschák József matematikai versenyt. A verseny egyik feladata így hangzott:
 

Bármely egyszerű poliéder lapjai, csúcsai és élei között fennáll az összefüggés, ahol L a lapok C a csúcsok, E az élek számát jelenti. Legyen a feltételeknek eleget tevő poliédernek C csúcsa. Mivel bármely két csúcsnak van közös éle, ezért egy csúcsból C-1 él indul ki, így az élek száma , hiszen minden él két csúcshoz tartozik. A poliéder lapjai csak háromszögek lehetnek, hiszen pl. egy négyszögnek már van átlója. Így - mivel minden csúcsba C-1 háromszög fut be - a lapok száma ugyancsak azért, mert egy lap három csúcshoz tartozik. Végül - mivel a keresett poliéder egyszerű - alkalmazható rá az Euler-tétel. Az L és E értékét ebbe behelyettesítve C-re egy másodfokú egyenletet kapunk: melynek a gyökei C = 3 és C =4 . Ezek közül - mivel egy poliédernek legalább 4 csúcsa van - csak az utóbbi jelent megoldást, ez pedig valóban a tetraéder. Megjegyezzük, hogy a C=3-nak is van geometriai ( topológiai) tartalma. Gondoljunk pl. arra, hogy egy gömb valamely körén (pl egy főkörén) elhelyezünk három pontot. Ezek -topológiai szempontból - két háromszöget alkotnak, így adódik az L=2 ,C=3, E=3 megoldás, amelyben a két háromszög mindhárom oldala mentén szomszédos.

Mint utóbb kiderült, a feladat a vártnál nehezebbnek bizonyult. Ugyanis a feladat kikötései között nem szerepelt, hogy az egyszerű poliéderekre érvényes állítással van dolguk a versenyzőknek.

A felkészültebb, körültekintőbb diákok, akik nem szerették volna leszűkíteni a bizonyítást az egyszerű poliéderek körére, többnyire tudtak arról, hogy az egyszerű sokszögekkel határolt de topológiai szempontból tóruszt alkotó poliéderekre az Euler-tétel így módosul:

A fenti gondolatmenet ez esetben is alkalmazható, mindössze egy helyen kell módosítani a meggondolásainkat, az utóbbi egyenlet jobb oldalára 2 helyett 0 -t kell írnunk:

Ebből aC = 7 értéket kapjuk megoldásként, melyhez L=14,E=21 érték tartozik.

A kérdés tehát immár az, hogy:
 

A kérdést Császár Ákos professzornak, aki annak idején a Budapesti Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikai Intézetének a tanársegédje volt,  nemsokkal a versenyt követően sikerült negválaszolnia, majd a kapott eredményt közölnie:

       CSÁSZÁR Á: A polyhedron without diagonals , Acta Sci Math. 13 (1949-50), pp 140 - 142

Ezt a felfedező utat most megkíséreljük rekonstruálni, felvillantva olyan ötleteket, melyek esetleg másutt is hasznosíthatók lesznek  olvasóink számára. Akik azonban inkább a végeredményre kíváncsiak, ugorják át ezt a részt.

Először is rajzoljuk meg a tórusz felületére illeszkedő teljes gráfot. Vajon hányféleképpen tehetjük ezt meg?

Mint már említettük egy tórusz felülete szemléltethető egy olyan téglalappal, melynek a szemközti oldalélei egybeesnek.  Az egybeeső téglalap-éleket egyszerűbb úgy szemlélnünk, (szemléltetnünk? ) mint ha ezzel a "mintás' téglalappal vagy akár paralelogrammával) parkettáznánk ki hézagmentesen a  síkot.

 Nem tartozik a témánkhoz, de ilyen képeket alkalmaznak pl. háttérként a weblapok készítői, melyekkel kiparkettázva a hátteret,  nem lehet látni, hogy hol a rácsosan elrendezett  kép határa.

Egy ilyen téglalap (paralelogramma) helyett vehetünk egy olyan tetszőleges alakzatot, amely alkalmas arra, hogy pusztán párhuzamos eltolásokat alkalmazva kiparkettázzuk vele a síkot.

Mivel a keresett poliéder csupán háromszögekből áll, melynek minden csúcsára 6 háromszög illeszkedik, vegyünk egy (nem feltétlenül szabályos)  háromszögrácsot, számozzuk meg a rácspontokat alkalmas módon, majd válasszunk ki a síkon egy  az előző feltételeknek megfelelő alakzatot, amely lényegében a tóruszra rajzolt gráf lesz.

A számozást úgy kell elvégeznünk (1és 7 közötti számokkal), hogy a közös él mindkét végpontjában más-más szám szerepeljen. Mivel az egész kiparkettázott sík rácspontjait be  kell számoznunk, választhatjuk pl. az egy egyenes menti rácspontok számait rendre 1-től 7-ig. Ez a sorrendet ugyanígy meg kell hagynunk a "felette" ill. "alatta" lévő sorban, olyan eltolásokkal, hogy pl. a 7. csúcsnak a felette lévő szomszédjai csak a 2 és 3,vagy a 4 és 5 lehet. (Az
egyik lehetőséget választva valójában nem kerültünk  döntéshelyzetbe, hiszen a két eset egymás tükörképe.)

Erről a háromszögrácsról, amelynek az azonos sorszámú csúcsait azonosaknak tekintjük, máris leolvasható, hogy mely háromszögek alkotják a tórusz felületét, és az egy csúcsba befutó élek, ill. lapok  milyen sorrendben követik egymást.

A gráf, ill.  a keresett poliéder lapjai - melyeket a csúcsok sorszámaival adunk meg - tehát:
 
 

Egy felületre rajzolt gráfot nem elegendő az éleivel megadnunk, azt is meg kell adnunk hogy a felületet alkotó tartományokat (lapokat) milyen  -topológiai értelemben vett - sokszögek alkotják, sőt azt is, hogy ezek egy-egy csúcsra milyen sorrendben illeszkednek. Esetünkben ezekről az ábrákról ez is  leolvasható:
 

Megállapíthatjuk tehát, hogy a tóruszra rajzolt 7 csúcsú teljes gráf egyértelműen meghatározott, vagyis bárhogyan készítjük is el a keresett poliédert, az homeomorf (topológiai szempontból azonos)  lesz az itt leírt gráffal.

Nos, fogjunk hozzá a poliéder megadásához.

Olyan konstrukciót fogunk tervezni, hogy az legyen tengelyesen szimmetrikus. A szimmetriatengelyére illeszkedjen (pl.)  a 7. csúcs, ez esetben az   1 és 6  , a   2 és 5 , valamin a 3 és 4 csúcsok egymás tükörképei lesznek.

Induljunk ki abból, hogy felveszünk az  xy síkban egy az origóra szimmetrikus helyzetű négyzetet, majd két átellenes csúcsát kissé elmozdítjuk a z tengely irányába.  Ezzel megadtuk 4 csúcsot, mondjuk az (1 2 6) és (6 5 1) lapokat.

A (2-5) élre illeszkedő két háromszög illeszkedik még a 3. ill.  4. csúcsra. Ezt  a két csúcsot  - a szimmetriára tett ígéretünket betartva - csak úgy vehetjük fel, hogy  a 3. csúcs első két koordinátája  teljesüljön, hogy y >abs(x) , mert ellenkező esetben nem megfelelő sorrendben követnék egymást a (2 3 5) és (5 4 2) lapok , másrészt  teljesülnie kell az x>0feltételnek , mert  másképp a (2 3 5)  és (3,5 6 ) lapok lennének önátmetszők, harmadrészt nem lehet túl nagy a (3-4) él, mert  belemetszene a később kialakítandó (1 5 7) lapba. Ezt a két csúcsot megadva poliéderünk már 8 lapból áll, és csak egy csúcsa hiányzik. Már kialakult a  "lyuk"  a poliéderen a (2-5) és a (3-4) élek között.
Az eddig kialakított modellünkön látszik, hogy ha pl. csökkenteni szeretnénk a (3-6) élhez tartozó - konkáv - lapszöget, akkor a 3. csúcs x koordinátáját kellene növelnünk, de ettől a (2-5) él ugyancsak konkáv lapszöge növekedne, vagy növelhetnénk a z koordinátáját, ettől viszont a 7. csúcsot kellene túl messzire felvennünk. Igaz, megtehetnénk, hogy az irányokat megtartva a(3-4) él hosszát csökkentjük, ekkor  azonban csak a (2-5) él lapszöge növekedne, és kevéssé csökkenne a (3-6) él lapszöge.

A  7. csúcsot eléggé távol felvéve a Z tengelyen, le tudjuk zárni a felületet úgy, hogy egyik háromszöglap se messe a többit.

Ezzel előállítottuk a poliédert, mint azt Császár Ákos tette 1949-ben.

A poliédert szemlélve  észrevehetjük, hogy bár tengelyesen szimmetrikus, síkra vonatkozóan nem, tehát létezik  egy "jobbos" és egy "balos" változata, amelyek egymásnak síkra vonatkozó tükörképei.
 
 

A már kész konstrukcióval kapcsolatban két kérdés vethető fel:
 

A célunk tehát egyrészt az, hogy az alapvetően azonos poliéderek között keressünk minél szellősebb, tetszetősebb változatot, másrészt, hogy keressünk alapvetően különböző változatokat.

1986-ban két német szerző bebizonyította, hogy a Császár poliédernek négy alapvetően különböző változata létezik több nincs.

JÜRGEN  BOKOWSKI, ANSELM EGGERT:  All realizations of Möbius'torus with 7 vertices preprint Technishe Hochschule Darmstadt, 1986

Most rendre bemutatjuk e négy változat egy - egy  a lehetőségekhez képest szellősnek tekinthető példányát. A poliéderek elkészítéséhez rajzokat is mellékelünk. Reméljük, hogy a rajzok, és a közölt adatok alapján érdeklődőbb olvasóink el is készítik a poliéderek modelljeit. A hálózatból attól függően kapjuk a jobbos, ill. balos változatot, hogy a legelső hajlítást magunk felé, vagy az ezzel ellentétes irányba végezzük.  A rajzokon a piros él azt jelzi, hogy az ehhez tartozó lapszög konkáv.

 A modellek VRML fájljait érdemes megszemlélnünk "élvázas" formájukban is, így  könnyebben észrevehetők az egyes változatok közötti eltérések, melyek lényegében az (1-6), (2 -5) és (3 -4) él ill. 7. csúcs egymáshoz viszonyított elrendezésében mutatkoznak meg.

Csúcsok:
 

	Eredeti			Cs1			Cs2			Cs3			Cs4
Nr.	X	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	x	y	z	z
1.	3	-3	0		0	0	12	0	0	12	0	0	12	0	0
2.	3	3	1	0	8	4	0			0	12		0	12
3.	1	2	3	-1	2	11	3	-3		-4	-3		-3	3
4.	-1	-2	3	1	-2	11	-3	3		4	3		3	-3
5.	3	3	-1	0	-8	4	0			0	-12		0	-12
6.	-3	0	3		0	0	-12	0	0	-12	0	0	-12	0	0
7.	0	0	15	0	20	0	0	0		0	0		0	0

Cs0Az eredeti változat. Ezehket a koordinátákat közölte Császár Ákos 1949-ben.

  Sorrend a z tengelyen (1-6) , (2-5) , (3-4) , 7   Alapvetően azonos Cs0-al.

A lapok összeragasztásának javasolt sorrendje:

1. 2 - 4 él;
2. 2 - 3 él;
3. 6 - 4 él;
4. 4 - 5 él;
5. 5 - 1 ,  1 - 3  és 3 -7 él mentén.

Sorrend a z tengelyen (1-6) , (3-4) , (2-5) ,  7

A lapok összeragasztásának javasolt sorrendje:

1. 3 - 5 él;
2. 1 - 3 és 3 - 7 él;
3. 6 - 5 él;
4. 5 - 4 és 4 - 6 él;
5. 7 - 2 és  2 - 6 él mentén.

Sorrend a z tengelyen (1-6) , (3-4) , 7  , (2-5)

A lapok összeragasztásának javasolt sorrendje:

1. 4 - 7 és  7 - 3 él;
2. 3 - 4 él;
3. 2 - 4 él;
4. 3 - 5 és 3 - 1 él;
5. 4 - 6 és 6 - 1 él mentén.

Sorrend a z tengelyen (1-6) , 7  , (3-4) , (2-5)

A lapok összeragasztásának javasolt sorrendje:

1. 7 - 3 és 7 - 4 él;
2. 1 - 3 él;
3. 2 - 3 és 3 - 4  él;
4. 4 - 6 él;
5. 4 - 5 él;
6. 5 - 6 él mentén.

A fenti rajzokat eredetileg a Corel Draw 9.0 változatával készítette egy 2000-ben végzett hallgatónk: Lédeczi Gyöngyvér. A CorelDraw forrásfájl alapján - amennyiben ehhez adottak a technikai feltételek - kinyomtatható a poliéder hálózata az elkészítéséhez megfelelő méretben. A Corel Draw forrásfájlok rendre:
Cs1.cdr , Cs2.cdr ,  Cs3.cdr  , Cs4cdr
 

Azok számára, akik tudják használni a MAPLE computeralgebrai programot, átnyújtjuk azt a forrásfájlt, amely alapján az itt bemutatott modellek adatait kiszámoltuk, és amelyekkel újabb, alkalmasint szellősebb elrendezéseket is kereshetünk. Ez a program ellenőrzi azt is, hogy a megadott koordinátákkal meghatározott felület nem önátmetsző-e. Bemutatjuk egyszerűbb példákon azt az eszköztárat is, amelyekkel ezeket a vizsgálatokat végeztük.Ezeket a fájlokat megfelelő  - elsősorban a számolások matematikai hátterét megvilágító - magyarázatokkal is elláttuk, így a felvetődő matematikai problémák iránt érdeklődő olvasóink számára szolgálnak némi tanulsággal.