Skip navigation

Várható érték becslése ismert szórás esetén

Tegyük fel, hogy  ahol  ismert, ismeretlen.

Legyen  statisztikai minta változóra.

Ezen minta alapján szerkesszük meg azt az intervallumot mely valamely kicsiny –általában 10% alatti –  p értékre 1-p valószínűséggel tartalmazza az  változó várható értékét.

A konfidencia intervallum alapgondolata az, hogy egy mintaátlag középpontú szimmetrikus intervallumot szerkesztünk, melynek sugarát a minta elemeinek eloszlásparaméterei alapján számoljuk.

A minta eloszlásra igaz, hogy:  .

Ekkor az:

 

valószínűségi változó standard normális eloszlású változó.

Ebből kiindulva keressük azt az  sugarú intervallumot, melyre  melyre

Mivel a sűrűségfüggvény harmadik tulajdonsága alapján:

azaz azt szemléltetve a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényével olyan intervallumot keresünk melyre a  intervallumon a sűrűségfüggvény alatti terület 1-p.

Mivel az eloszlás és sűrűségfüggvény viszonyára , így a Newton-Leibnitz szabályt alkalmazva:

 

Azaz az eloszlásfüggvény függvényértékek közötti különbséggel méri egy esemény valószínűségét amit a sűrűségfüggvény függvény alatti területtel.

 

 Standard normális eloszlás eloszlásfüggvényére említettük hogy igaz az alábbi összefüggés a  pontra tükrös helyzet miatt:

azaz:

ahonnan:

 

Így

Beírva ezt a kiinduló összefüggésbe:

Felhasználva az eloszlásfüggvény középpontosan szimmetrikus helyzetéből kapott összefüggést:

Ekkor tehát :

behelyettesítve a definíciót

kapjuk, hogy:

ahonnan az alábbi lépések következnek:

 

Innen -1-gyel szorozva kapjuk:

Innen a konfidencia intervallum:

Így megszerkeszthető az átlag körüli konfidencia intervallum, melynek sugara:

Ez az intervallum tartalmazza 1-p valószínűséggel az változó várható értékét.

Ha egy előírt megbízhatósági szinthez felső korlátot akarunk adni az intervallum sugarára akkor ha ez a korlát k akkor a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

átrendezve:

vagyis legalább ekkora minta elemszám szükséges a paraméter kielégítő becsléséhez.

Ha például p = 0,05 akkor  a következő statisztikai függvénnyel számítható Excelben: NORM.INVERZ(0,975;0;1).

Ennek értéke 1,959964.

Ekkor ha  és tudjuk, hogy a mintaátlag ,  a minta elemszáma pedig , akkor  az  megbízhatóságú konfidencia intervallum a következőképp számolható a konfidencia intervallum  fent felírt formulája alapján:

 

vagy a konfidencia intervallum sugarát megadó MEGBÍZHATÓSÁG statisztikai függvénnyel: