5.4. Logikai szita
A kezemben van 7 elem a logikai készletből, 5 kicsi és 4 kör. Hogy lehet ez?
A kérdés hamar megoldódik, ugyanis annak ellenére, hogy 5 + 4 > 7, mégis lehetséges az elemek kiválasztása, hiszen a kicsi körök a kicsik és a körök halmazába is beleszámítanak. Így több lehetséges megoldás adódik, például van 2 kicsi kör, 2 kicsi háromszög, 1 kicsi négyzet, 2 nagy kör, és nincs olyan elem, amelyik se nem kicsi, se nem kör.
Az is lehetséges, hogy több kicsi kör van, például 4, ekkor 1 kicsi háromszög van, nincs nagy kör, viszont van 2 olyan elem, amelyik se nem kicsi, se nem kör, például nagy háromszög.
A logikai szita azt jelenti, hogy két halmaz egyesítésének elemszámát úgy kapjuk, hogy a két halmaz elemszámának összegéből kivonjuk a metszetük elemszámát. Ugyanis a metszetbe tartozó elemeket mindkét halmaz elemszámánál figyelembe vettük.
A logikai szita formula három halmazra a következő:
Ha három halmaz egyesítésének elemszámát számoljuk, először összeadjuk a három halmaz elemszámát. Ekkor azokat az elemeket, amelyek két halmazban is benne vannak, duplán számoltuk, ezért ezeket le kell vonni, azaz kivonjuk az összes lehetséges halmaz elemszámát, amely halmazok két halmaz metszeteként állnak elő. Ekkor a három halmaz metszetében levő elemeket háromszor hozzáadtuk, de háromszor le is vontuk, ezért egyszer hozzá kell adni.
1. Példa: A parkolóban motorok és autók állnak, 5 motor és 12 piros jármű. Hány jármű áll a parkolóban, ha 3 motor piros, és 4 autó nem piros?
Megoldás:
A feladat nehézsége, hogy kitaláljuk, mely halmazokat érdemes ábrázolni. Ugyanis kétféle jármű áll a parkolóban, motor és nem motor, amelyek viszont autóként szerepelnek a feladat szövegében. Így nem kell külön halmaz a motoroknak és az autóknak, hiszen ami nem motor az autó. A halmazábrába beleírjuk az egyes halmazrészek elemszámát:
Beírjuk a két halmaz metszetébe a 3 piros motort, a két halmazon kívülre a 4 nem piros autót. Mivel 5 motor van, amiből 3 piros, ezért 5 – 3 = 2 motor nem piros. 12 piros jármű közül 3 motor, ezért 12 – 3 = 9 piros autó (nem motor) van. Összesen 2+3+9+4=18 jármű áll a parkolóban.
2. Példa: A fagyizóban egy óra alatt 75 vásárló volt, 42-en kértek csokifagyit, és 23-an édes tölcsért. 15 olyan vásárló volt, aki édes tölcsérbe kért csokifagyit. Hányan nem kértek se csokifagyit, se édes tölcsért?
Megoldás:
Készítsünk halmazábrát, és írjuk be az egyes halmazrészek elemszámát!
A két halmaz a csokifagyit választók és az édes tölcsért választók halmaza. A két halmaz metszetében 15 elem van, így a csokifagyit nem édes tölcsérbe kérők halmazában 42 – 15 = 27-en vannak, az édes tölcsérbe nem csokifagyit kérők halmazában pedig 23 – 15=8-an. Így 27+15+8=50 vásárló kért csokifagyit, vagy édes tölcsért, akiket az összes vásárlók halmazából kivonva megkapjuk azokat, akik se csokifagyit, se édes tölcsért nem kértek: 75 – 50 = 25.
3. Példa: A pizzázóba egy délelőtt 55 pizza rendelés futott be. 20 kukoricás pizzát, 33 sonkás pizzát és 24 tejfölös pizzát rendeltek. 13 pizza sonkás-kukoricás, 16 sonkás és tejfölös, 11 pedig kukoricás és tejfölös. 8 olyan pizzát rendeltek, amelyik sonkás-kukoricás és tejfölös. Hány olyan pizzát rendeltek, amelyiken se kukorica, se sonka, se tejföl nem volt?
Megoldás:
Készítsünk halmazábrát, és írjuk be az egyes halmazrészek elemszámát!
Kezdjük a három halmaz metszetével! Sonkás-kukoricás pizza 13 volt, ezek közül 8 tejfölös is, ezért 13-5=8 nem tejfölös. 11 kukoricás és tejfölös, közülük 8 sonkás, ezért 11-8=3 nem sonkás. 16 sonkás és tejfölös, közülük 8 kukoricás, ezért 16-8=8 nem kukoricás. Összesen 20 pizza kukoricás, közülük 5+8+3 sonkás vagy tejfölös is, tehát 20-5-8-3=4 csak kukoricás. A 33 sonkásból 5+8+8 kukoricás vagy tejfölös is, tehát 33-5-8-8=12 csak sonkás. A 24 tejfölösből 3+8+8 kukoricás vagy sonkás is, tehát 24-3-8-8=5 csak tejfölös. Így az 55 pizza közül 5+8+4+3+12+8+5 kukoricás vagy sonkás vagy tejfölös, tehát 55-5-8-4-3-12-8-5=10 pizza se nem kukoricás, se nem sonkás, se nem tejfölös.
