6.4. Logikai feladatok
1. Példa:
Dorka vidáman megy haza, ha ötöst kap a matematika dolgozatára. Dorka ma vidáman ment haza. Biztosan tudjuk-e, hogy ötöst kapott a matematika dolgozatára?
Megoldás:
Nem tudjuk biztosan, hogy ötöst kapott a matematika dolgozatára. Ugyanis azt tudjuk, hogy „Ha ötöst kap, akkor vidáman megy haza.”, ami nem jelenti azt, hogy „Ha vidáman megy haza, akkor ötöst kapott.” Ugyanis abból, hogy az állítás igaz, nem következik, hogy az állítás megfordítása is igaz.
2. Példa:
Cook kapitány Polly nevű papagája mindig tüsszent a vihar előtti napon. Polly éppen tüsszentett. Cook kapitány azt mondta: „Most tüsszentett a papagájom, holnap vihar lesz.” Helyes-e Cook kapitány következtetése?
Megoldás:
Nem helyes Cook kapitány következtetése. Azt tudjuk, hogy „Ha vihar lesz holnap, akkor Polly ma tüsszent.”. Ebből azonban nem következik, hogy „Ha Polly ma tüsszent, akkor holnap vihar lesz.”, ugyanis ez az eredeti állítás megfordítása.
3. Példa:
Robin Hood születésnapján Mariann elhatározta, hogy megtudja, hány éves Robin. Little John azt mondta neki, hogy Robin Hood legalább 25éves. Tuck barát azt állította, hogy Robin legalább 24 éves. Hány éves Robin, ha a két társa közül pontosan egy nem mondott igazat?
Megoldás:
Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy ki mondott igazat:
1. eset: Little John mondott igazat, azaz Robin legalább 25 éves.
Tuck barát hazudott, azaz nem igaz, hogy Robin legalább 24 éves. Ez azt jelenti, hogy Robin fiatalabb 24 évesnél, ami ellentmond annak, hogy Robin legalább 25 éves, tehát ez az eset nem lehet.
2 eset: Tuck barát mondott igazat, azaz Robin legalább 24 éves. Little John hazudott, azaz nem igaz, hogy Robin legalább 25 éves, tehát Robin 25 évesnél fiatalabb. Ez azt jelenti, hogy Robin 24 éves.
Fontos, hogy mindkét esetet megnézzük esetleg azután is, hogy találtunk egy megoldást.
4. Példa:
Négy testvér, Gabi, Zsuzsi, Zsófi és Dorka négy különböző játékot kapott karácsonyra, egy társasjátékot, egy babát, egy mackót és egy labdát. A mackót Gabi vagy Dorka kapta. A babát nem Zsuzsi és nem Zsófi kapta. A társasjátékot és a babát nem Gabi kapta. A labdát nem Zsuzsi vagy Dorka kapta. Mit kapott Zsuzsi?
Megoldás:
Készítsünk táblázatot, és írjuk be a szöveg alapján, hogy ki mit nem kaphatott.
|
|
Gabi |
Zsuzsi |
Zsófi |
Dorka |
|
Társasjáték |
- |
|
|
- |
|
Mackó |
|
- |
- |
- |
|
Baba |
- |
- |
- |
+ |
|
Labda |
|
|
|
- |
A mackót Gabi vagy Dorka kapta, ezért Zsuzsi és Zsófi nem kaphatott mackót.
A babát nem Zsuzsi és nem Zsófi kapta.
A társasjátékot és a babát nem Gabi kapta.
Ebből látszik, hogy a babát csak Dorka kaphatta, aki mást már nem kaphatott.
|
|
Gabi |
Zsuzsi |
Zsófi |
Dorka |
|
Társasjáték |
- |
+ |
- |
- |
|
Mackó |
+ |
- |
- |
- |
|
Baba |
- |
- |
- |
+ |
|
Labda |
- |
- |
+ |
- |
A mackót csak Gabi kaphatta, aki így nem kapott mást.
A labdát nem Zsuzsi vagy Dorka kapta, így csak Zsófi kaphatta, és Zsuzsinak maradt a társasjáték.
5. Példa:
Peti a múlt héten kedden, szerdán és csütörtökön háromféle főzeléket evett ebédre, de már rosszul emlékezett, hogy melyik napon mit evett. A következőket mondta:
Melyik napon melyik főzeléket ette Peti, ha a három állítás közül csak egy igaz?
Megoldás:
1. eset: az 1. állítás igaz, a másik kettő hamis
Rajzoljunk most is táblázatot:
|
|
kedd |
szerda |
csütörtök |
|
Spenót |
- |
|
|
|
Tökfőzelék |
- |
|
|
|
Borsó |
|
|
+ |
Az 1. állítás igaz, ezért a spenótot nem kedden ette. Nem igaz, hogy a borsót nem csütörtökön ette, tehát a borsó csütörtökön volt. Nem igaz, hogy a tökfőzelék kedden volt. Ez alapján kedden nem lehetett egyik főzelék sem, így ez az eset nem lehetséges.
2. eset: a 2. állítás igaz, a másik kettő hamis.
|
|
kedd |
szerda |
csütörtök |
|
Spenót |
+ |
|
|
|
Tökfőzelék |
- |
|
+ |
|
Borsó |
- |
+ |
- |
A 2. állítás igaz, a borsót nem csütörtökön ette. Az 1. állítás hamis, vagyis nem igaz, hogy a spenót nem kedden volt, tehát kedden volt. A 3. állítás is hamis, azaz a tökfőzelék nem kedden volt. Mivel kedden a spenótot ette Peti, nem ehetett borsót, így a borsót csak szerdán ehette. Végül csütörtökre maradt a tökfőzelék. Ez az eset lehetséges.
3. eset: a 3. állítás igaz, a másik kettő hamis.
|
|
kedd |
szerda |
csütörtök |
|
Spenót |
- |
|
|
|
Tökfőzelék |
+ |
|
|
|
Borsó |
|
|
+ |
A 3. állítás igaz, a tökfőzelék kedden volt. Az 1. állítás hamis, nem igaz, hogy a spenót nem kedden volt, ami azt jelenti, hogy a spenót kedden volt. Ez ellentmond annak, hogy a tökfőzelék volt kedden, ezért ez az eset nem lehetséges.
Tehát Peti kedden spenótot, szerdán borsót, csütörtökön tökfőzeléket evett.
6. Példa:
Niki, Piki és Tiki mindegyike vagy igazmondó, vagy hazug. Az igazmondó mindig igazat mond, a hazug mindig hazudik. Ki biztosan igazmondó közülük, ha a következőket mondják?
a) Niki: „Piki hazug.”
Piki: „Tiki hazudik.”
Tiki: „ Niki és Piki hazug.”
b) Niki: „Mindhárman hazugok vagyunk.”
Piki: „Pontosan egy igazmondó van köztünk.”
Megoldás:
a) Ha Tiki igazmondó, akkor Piki is és Niki is hazug, viszont Niki azt állítja, hogy Piki hazug, tehát nem hazudik, ami nem lehet.
Tehát Tiki hazug, és ebből következik, hogy Piki és Niki közül legalább az egyik nem hazug. Piki azt mondja, hogy Tiki hazug, ez igaz, tehát Piki igazmondó. Ekkor Niki hazug, ha azt állítja, hogy Piki hazug. Tehát Tiki és Niki hazug, Piki pedig igazmondó.
b) Niki nem mondhat igazat, mert azt állítja, hogy mindhárman hazugok. Tehát Niki hazug, és van köztük igazmondó.
Ha Piki hazug lenne, akkor nem igaz a kijelentése, hogy pontosan egy igazmondó van, viszont már van két hazug, és kell legyen igazmondó is, ami csak úgy lehetséges, ha pontosan egy igazmondó van. Ez ellentmondás, ezért Piki nem lehet hazug.
Tehát Piki igazmondó, így igaz az állítása, hogy pontosan egy igazmondó van, ezért Tiki hazug.