10.2. Gyakorlatok

10.4. gyakorlat. Adottak a koncentrikus  és  körök. Szerkesszünk olyan  egyenest ami a két körvonalat , ,  és  pontokban metszi (az egyenesen ebben a sorrendben), és .

Vázlat. Vegyük észre, hogy pl.  pont tetszőlegesen kijelölhető. Ha kiindulunk a megoldásból, akkor  pont -re vett tükörképe éppen . Így  illeszkedik  -re vett középpontos tükörképére. A szerkesztés 10.2. gyakorlathoz hasonlóan végezhető el. Hány megoldás lesz? Mennyiben térnek el ezek egymástól? 

10.5. gyakorlat. Adott egy  kör, és rajta [a körvonalon] három pont ,  és . Szerkesszük meg azt az  húrt, amelyet a  húr felez.

Ötlet. Ha  húrt  pontból középpontosan kétszeresére nagyítjuk, a nagyított képnek tartalmazni kell  pontot. ,  vagy  megoldás lehet.

10.6. gyakorlat. Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az egyik hegyesszöge és befogóinak összege!

Vázlat. Legyen az adott hegyesszög , a befogók adott összege . Szerkesszünk tetszőleges derékszögű háromszöget, aminek egyik hegyesszöge , ennek befogói legyenek  és . Nagyítsuk ezt a derékszögű háromszöget  arányban. Egy megoldás van.

10.7. gyakorlat. Az  egyenes egyazon partján adva van az  és  pont. Szerkesszünk az  egyenesen olyan  pontot, amire az  és  egyenesek ugyanakkora szöget zárnak be  egyenessel.

Ötlet. Legyen  pont  egyenesre vett tükörképe . Az ,  és a keresett  pontok kollineárisak. Egy megoldás van. 

A leckét néhány nehezebb feladattal zárjuk.

10.8. feladat. Az  egyenes egyazon partján adva van az  és  pont. Szerkesszünk az  egyenesen olyan  pontot, amire az  egyenes kétszer akkora szöget zár be  egyenessel, mint a  egyenes.

A megoldás lényegében leolvasható 29. ábráról.

Az utolsó feladatot csak érdeklődő olvasóknak ajánljuk.

10.9. feladat. Adott az  egyenesen az  pont, és az  egyenesen a  pont. Szerkesszünk  egyenest, ami olyan  ill.  pontokban metszi az  ill.  egyeneseket, amikre  és

1.  párhuzamos egy adott  egyenessel.
2.  áthalad egy rögzített  ponton.
3. az  szakasz adott hosszúságú.
4. egy adott  egyenes felezi az  szakaszt.

Ötletek. Minden alrész megoldása a következő állításon múlik.
Legyenek  két egyenlő hosszú, nem párhuzamos, egymással  szöget bezáró szakaszok. (Szakaszok szögét az őket tartó egyenesek szögeként értelmezzük.) Ekkor létezik egy olyan  pont, hogy az  körüli  vagy  szögű forgatás -t -be, -t pedig -ba viszi.
Ennek igazolása nem túl nehéz, az  pont az  szakaszfelező merőlegesének és  szakaszfelező merőlegesének metszéspontjában kell legyen. A feltétel miatt  és  egybevágóak, hiszen oldalaik páronként egyenlőek, amiből  következik. (Hogyan?) A forgatás nyilvánvalóan  egyenest -ba viszi, ezért a forgatás szöge   vagy .
Esetünkben ismert  és  valamint  is, ezért (minden lehetséges)  pont megszerkeszthető.

1. Legyen az  egyenes  körüli megfelelő elforgatottja , és .  egyenes kimetszi -ből -t. Miért?
2. Legyen  megfelelő elforgatott képe . Az  szakasz  (vagy ) szögű látóköríve kimetszi -ből -t. Miért?
3. Mivel  hossza ismert, így  hossza szerkeszthető. Fejezzük be a gondolatmenetet!
4. -ből -t egy ismert szögű és ismert arányú forgatva nyújtással kaphatjuk. Hogyan?