2.2.1. A körülírt kör középpontja

Az  szakasz szakaszfelező merőlegese azon pontok halmaza a síkon, amelyek -tól és -től egyenlő távolságra vannak. Ismert, hogy az előbb definiált szakaszfelező merőleges egy egyenes, amely illeszkedik az  szakasz felezőpontjára, és merőleges  egyenesre.

1. tétel. Az  háromszög oldalfelező merőlegesei egy  pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög mindhárom csúcsától ugyanakkora távolságra van. (3. ábra.)

Mozgassuk meg az ábrát a GeoGebraTube-on! Mit tapasztalunk, ha a háromszög egyik szögét elkezdjük növelni?

3. ábra. A háromszög köré írt kör középpontja

Bizonyítás. Jelölje az oldalfelező merőlegeseket rendre ,  és . Legyen  az  és az  egyenesek metszéspontja: . Definíció szerint az  pont egyenlő távolságra van   és  pontoktól (mivel rajta van -n), valamint
 egyenlő távolságra van  és  csúcsoktól (mivel rajta van -n). Így az  pont egyenlő távolságra van az  és  csúcsoktól is, így rajta van az  oldalfelező merőlegesen. Valóban, az ,  és  oldalfelező merőlegesek egy pontban metszik egymást, méghozzá az  pontban, amely mindhárom csúcstól ugyanakkora távolságra van.

Tekintsük 1. Tételben szereplő  háromszöget, és az  pontot, valamint legyen .
Az  körüli,  sugarú körvonal tartalmazza az ,  és  pontok mindegyikét, ezért a háromszög körülírt körének nevezzük. A körülírt kör az egyetlen mindhárom csúcsot tartalmazó körvonal.