2.2.2. A beírt kör középpontja

A  pont és az  egyenes  távolságán a -ből az -re bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.

Tekintsünk két különböző  és  egyenest a síkon.

Ha , akkor az -től és -től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza egy egyenes, az  és  középpárhuzamosa.

Ha , akkor az -től és -től egyenlő távolságra lévő pontok két egymásra merőleges egyenesen helyezkednek el, amelyek  pontban metszik egymást. Ezek az egyenesek felezik az  és  által meghatározott megfelelő szögeket, ezért őket az  és  szögfelezőinek nevezzük.

2. tétel. Bármely  háromszög belső szögfelezői egy  pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög minden oldalától egyenlő távolságra van.

A tétel bizonyítása nagyon hasonló az 1. Tétel bizonyításához, próbáljuk meg önállóan! Ellenőrzésként megtekinthetjük a GeoGebraTube-on.
Tekintsük 2. Tételben szereplő  háromszöget, és az  pontot, valamint legyen .
Könnyű látni, hogy az  középpontú,  sugarú kör minden oldalt egy belső pontban érint, ezért a háromszög beírt körének nevezzük. A beírt kör az egyetlen olyan kör, ami a háromszög mindhárom oldalát belső pontban érinti. Az érintési pontokba húzott sugarak merőlegesek a megfelelő oldalakra.