8.1. Középpontos hasonlóság

Adott egy  pont (középpont), és egy  valós szám (arány). Az  középpontú,  arányú középpontos hasonlóságot a következőképpen definiáljuk:  pont képe önmaga, minden más  pont képe az a  pont az  félegyenesen, amire .

Tekintsük meg a középpontos hasonlóságot szemléltető dinamikus ábrát a GeoGebraTube-on.

A következő tételben összegyűjtöttük a középpontos hasonlóság legfontosabb tulajdonságait. Ez a tétel lényegében a párhuzamos szelőkről és szelőszakaszokról 4.2. szakaszban elmondottak következménye.

21. tétel. A középpontos hasonlóság

1. aránytartó, egy  hosszúságú szakasz képe ;
2. szögtartó;
3. párhuzamos egyenesekpárokat párhuzamos egyenespárokba visz;
4. a középpontra illeszkedő egyeneseket invariánsan hagyja.

Ha  (középpontos) nagyításról,  esetén (középpontos) kicsinyítésről beszélünk. Szokás értelmezni a középpontos hasonlóságot  arány esetén is, ilyenkor először végrehajtunk egy  arányú középpontos hasonlóságot a korábban leírtak szerint, majd tükrözünk középpontosan -ra.

A kerület, terület és a középpontos hasonlóságok kapcsolatát vizsgálja a következő feladat.

8.1. gyakorlat. a) Egy négyzet oldalait kétszeresére növeljük. Hogyan változik a kerülete és a területe?
b) Egy négyzet oldalait -szorosára növeljük. Hogyan változik a kerülete és a területe?

Megoldás. a) A kerület kétszeresére, a terület négyszeresére nő.b) A kerület -szorosára, a terület -szeresére változik. Tekintsük meg az illusztráló dinamikus ábrát. 
A fentiek alapján világos, de precízen már azért nehezebben igazolható a következő tétel.

22. tétel. Ha egy  lemezt -szorosára nagyítunk/kicsinyítünk, kerülete -szorosára, területe -szeresére változik.

A térbeli analógia is világos.

8.2. gyakorlat. a) Egy kocka éleit háromszorosára növeljük. Hogyan változik a felszíne és a térfogata?
b) Egy kocka éleit -szorosára növeljük. Hogyan változik a felszíne és a térfogata?
c) Egy testet -szorosára nagyítunk/kicsinyítünk, hogyan változik a felszíne és térfogata?