4.1. Alapismeretek

Alakzatok egybevágóságára mindenkinek van szemléletes fogalma: két síkidom egybevágó, ha őket kivágva papírból,
a két papírdarab egymással tökéletes fedésbe hozható. Pontosabb definíciót a következő leckében adunk. Az egybevágóság jele .

A fenti eljárás szerint bárki meggyőződhet a következő tételről.

12. tétel (Háromszögek egybevágóságának alapesetei). Két háromszög egybevágó, ha

oldalaik hossza páronként egyenlő;
két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által bezárt szögek egyenlők;
egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két szögük páronként egyenlő;
két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbal szemközti szögek egyenlők.

Most már be tudjuk bizonyítani a Pitagorász-tétel megfordítását is.

13. tétel (Pitagorász-tétel megfordítása). Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy teljesül egy háromszög oldalaira. Tekintsünk egymásra merőleges $a$ ill. $b$ hosszúságú szakaszokat, amelyeknek az egyik végpontjuk közös. Ez a két szakasz meghatároz egy derékszögű háromszöget, aminek a harmadik oldala a Pitagorász-tétel miatt éppen . Az így kapott derékszögű háromszög tehát egybevágó az eredeti háromszöggel - hiszen mindhárom oldaluk hossza páronként egyenlő -, ami a tételt igazolja.

4.1. gyakorlat. Adjunk példát két olyan háromszögre, amiknek van két egyenlő oldalpárjuk, és egy egyenlő szögük, de a két háromszög nem egybevágó.

Megoldás. Vegyünk fel egy tetszőleges szakaszt, és rajzoljunk középponttal egy kört sugárral. Most húzzunk egy félegyenest -ből, ami a kört két különböző, és pontokban metszi. Az -nek és az -nek az oldala közös, a szerkesztés miatt , valamint a -nél lévő szög is közös, a két háromszög mégsem egybevágó.