1.2. Három térelem kölcsönös helyzete

Három térelem kölcsönös helyzetét már feladatokon keresztül dolgozzuk fel.

1.1. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha három sík közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást, és a metszetegyenesek közül valamely kettő egy  pontban metszi egymást, akkor a harmadik metszetegyenes is illeszkedik -re.

Legyenek ,  és  a vizsgált síkok, amelyek közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást.
Az  , az  illetve az  egyenesek legyenek rendre  és .
Továbbá legyen  a metszéspont. Másképpen,  az a pont, amire  és . (Lásd 2. ábra.)
Hasonlóan,

1.  és  miatt ;
2. és  miatt .

Következésképpen  is, azaz $. Tehát a  pont rajta van az ,  és  síkok által meghatározott metszetegyenesek mindegyikén.

1.1. gyakorlat megoldását felhasználva oldjuk meg a következő gyakorlatokat önállóan!

1.2. gyakorlat. Adott 3 páronként egyenesben metsző sík. A három metszésvonaluk közül kettő párhuzamos. Mutassuk meg, hogy ekkor bármely két metszésvonal párhuzamos!

1.3. gyakorlat. A párhuzamos  és  síkokat az  sík rendre  és  egyenesekben metszi. Mutassuk meg, hogy !

1.4. gyakorlat. Az  egyenes párhuzamos a metsző  és  síkok mindegyikével. Mutassuk meg, hogy  párhuzamos  egyenessel is!

Megoldás. Csak azt az esetet tárgyaljuk, amikor  nem illeszkedik az adott  és  síkok egyikére sem. A többi eset hasonló, ezek kidolgozását az olvasóra bízzuk.

Legyen  egy tetszőleges pont, és legyen  a  és  által feszített sík.  illeszkedik -re, mivel  mindkét síkon rajta van, másrészt párhuzamos is -vel, hiszen 
síkra  és  is illeszkedik, de közös pontjuk nem lehet  miatt. Így  az az egyetlen egyenes, ami -re illeszkedik, és párhuzamos -vel. Hasonlóan érvelhetünk -re, s így kapjuk hogy . Mivel , így az állítást beláttuk.