9.2. Euklidészi alapszerkesztések

9.1. gyakorlat. Szerkesszük meg egy adott  szakasz szakaszfelező merőlegesét!

Megoldás.Ismétlésül idézzük fel a szakaszfelező merőleges fogalmát: azon pontok halmaza a síkon, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra vannak. Tudjuk, hogy a keresett alakzat egy egyenes, ezért elég lenne két pontját megszerkeszteni. Ilyeneket viszont könnyen találunk, ha  és  körül is rajzolunk egy-egy  sugarú kört, akkor ezek metszéspontjai nyilvánvalóan rajta lesznek a keresett szakaszfelező merőlegesen. Ezek alapján a szerkesztés részletes menete (lásd 21. ábra):

1. szúrjuk -ba a körzőt, nyissuk ki  nyílásra, és rajzoljuk meg az  körüli  sugarú kört;
2. hasonlóan rajzoljuk meg a  körüli  sugarú kört;
3. a két kör metszéspontjait összekötő egyenes a keresett szakaszfelező merőleges.

Elemzés: a feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.

9.2. gyakorlat. Adott az  egyenes és egy  pont. Szerkesszük meg azt az -re merőleges egyenest, ami illeszkedik -re!

Megoldás.Visszavezetjük a feladatot előzőre. Elég lenne kijelölnünk egy olyan szakaszt -n, aminek a szakaszfelező merőlegese átmegy -n. Ez utóbbi pontosan akkor teljesül, ha  a szakasz végpontjaitól egyenlő távolságra van. Ezek alapján a szerkesztés menete (22. ábra):

1. jelöljünk meg -n egy (-től különböző és távoli) tetszőleges  pontot;
2. rajzoljunk  körül  sugarú kört;
3. legyen a kör és  egyenes -n kívüli második metszéspontja ;
4. szerkesszünk meg  szakaszfelező merőlegesét, ez illeszkedik -re, és merőleges -re.

Elemzés: a feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.

Megjegyzés: előfordulhat, hogy a rajzolt segédkör csak -ban metszi -t, ilyenkor éppen  a keresett egyenes. A szerkesztési feladatok megoldásánál általában feltesszük, hogy a választott pont nem speciális. (Ez egyébként jogos feltevés, hiszen ha véletlenül speciális pontot válaszottunk, újrakezdjük az eljárást új segédpontot használva. Illetve kimutatható, hogy a nem speciális segédpont is szerkeszthető, de ennek részletezése csak körülményessé tenné a leírást, és gyakorlati jelentősége igazából nincs.) 

9.3. gyakorlat. Adott az  egyenes és egy  pont. Szerkesszük meg azt az -vel párhuzamos egyenest, ami illeszkedik -re!

I. megoldás. Kétszer alkalmazva az előzőeket célba érhetünk. Először szerkesszünk egy tetszőleges  egyenest, ami merőleges -re. Majd szerkesszünk -re illeszkedő, -re merőleges egyenest, ez megoldása a feladatunknak.
II. megoldás. Az I. megoldásban adott módszer szükségtelenül hosszadalmas - kihasználva a paralelogrammáról tanultakat, gyorsabban célba érhetünk. Ha sikerül egy olyan paralelogrammát szerkeszteni, aminek egyik csúcsa , és egy -re nem illeszkedő oldalegyenese , akkor készen vagyunk. A szerkesztés menete (23. ábra):

1. jelöljünk meg -n két tetszőleges  és  pontokat;
2. rajzoljunk  körül  sugarú kört;
3. rajzoljunk  körül  sugarú kört;
4. a két kör -n kívüli második metszéspontja legyen ,  egyenes megfelelő.

Elemzés: a két kör két pontban metszi egymást, de az egyik metszéspont hamis megoldást ad, feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.

9.4. gyakorlat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott három oldalának hossza.

Megoldás.Keressük  háromszöget, ha adottak  és  oldalai. Jelöljük ki  és  csúcsokat egymástól  távolságra egymástól. Az  csúcs -től , -től  távolságra van, így előállítható két kör metszéspontjaként. A szerkesztés menete:

1. a tetszőleges  pont körül szerkesszünk  sugárral kört, majd a körvonalon jelöljünk ki tetszőleges  pontot;
2. rajzoljunk  körül  sugarú kört;
3. rajzoljunk  körül  sugarú kört;
4. a két kör második metszéspontjai szolgáltatják a keresett  csúcsokat .

Elemezés:  pont helyzete és a  oldalegyenes tetszés szerint kijelölhető. Ezután a szerkesztés két különböző  csúcsot, és mindegyikhez két különböző  csúcsot szolgáltathat.  csúcs mindig szerkeszthető, vegyük azonban észre, hogy -t adó körök nem feltétlen metszik egymást. Könnyű meggondolni, hogy a metszés feltétele, hogy a háromszög oldalaira az ,  és $c<a+b$ háromszög-egyenlőtlenségek egyszerre teljesüljenek. Világos azonban, hogy ha létezik megoldás, akkor a háromszögek egybevágóságának alapesetei miatt az összes kapott megoldás egybevágó, ezek között nem szokás különbséget tenni: a feladatnak pontosan egy megoldása van, ha az adatok kielégítik az ,  és  háromszög-egyenlőtlenségeket. Ha valamelyik esetben szigorú egyenlőtlenség helyett egyenlőség teljesül, akkor elfajuló megoldásként három kollineáris pontot kapunk, ezt mi nem tekintjük háromszögnek.

9.5. gyakorlat. Adott egy  nagyságú szög, egy  pont, és egy  kezdőpont  félegyenes. Szerkesszünk  kezdőpontú  félegyenest úgy, hogy  és  által bezárt szög az adott  szöggel egyenlő legyen.

Megoldás. Válasszunk az adott  nagyságú stög szárain tetszőleges  és  pontokat, csúcsát jelölje $R$. A   szöge éppen . Az előbbiek szerint tudunk -lel egybevágó háromszöget szerkeszteni, amelynek egyik csúcsa , erre illeszkedő oldalegyenese $e$, és -nál  szöge van. A részleteket az olvasóra bízzuk.

9.6. gyakorlat. Szerkesszük meg egy adott szög (belső) szögfelezőjét.

Mielőtt a feladat megoldását megismerjük, ismételjük át a rombuszról tanultakat!

Megoldás. A szögfelező értelemszerűen illeszkedik a szög csúcsára, így elég lenne még egy pontját megkeresni. Segítségül hívjuk a rombuszról tanultakat: a rombusz átlói felezik a belső szögeit. Ezek alapján a szerkesztés menete (24. ábra):

1. legyen az adott szög csúcsa , és jelöljünk ki egy tetszőleges  hosszúságú szakaszt;
2. szerkesszünk  körül  sugarú kört, ez messe a szögszárakat -ban és -ben;
3. szerkesszünk  körüli  sugarú, és  körüli  sugarú kört;
4. a két kör -tól különböző, második metszéspontja illeszkedik a keresett szögfelezőre.

Elemzés: pontosan egy megoldás van.