7.3. Tengelyes szimmetriák
7.5. feladat. Egy 
korlátos alakzat tengelyesen szimmetrikus az 
és 
egyenesekre vonatkozóan is. Igaz-e, hogy ekkor szimmetrikus az 
egyenesre is, ahol az egyenes -re vett tükörképe? Indokoljunk részletesen, vagy adjunk ellenpéldát!
Megoldás. Legyen 
pont tetszőleges. Tükrözzük -t először -re, a kapott pontot tükrözzük -re, majd a kapott pontot újfent tükrözzük -re. Azt állítjuk, hogy az így kapott pont éppen -re vonatkozó tükörképe. Ennek a ténynek az igazolását az olvasóra bízzuk (16. ábra ill. a vonatkozó dinamikus ábra).
Ebből viszont a kérdésre pozitív válasz következik, hiszen az -re vonatkozó tükrözés helyettesíthető három tükrözés egymásutánjával (rendre -re, -re majd -re tükrözünk), amelyek külön-külön mind invariánsan hagyják -t. korlátossága nem lényeges feltevés.
7.6. feladat. a) Egy korlátos alakzatnak pontosan két szimmetriatengelye van. Igazoljuk, hogy ezek egymásra merőlegesek!
b) Egy 
korlátos alakzatnak páros sok szimmetriatengelye van. Igazoljuk, hogy 
középpontosan szimmetrikus! (Vagyis van egy középpontos tükrözés szimmetriája.)
Megoldás. a) Legyen a két szimmetriatengely 
. Legyen tükörképe -re . 7.5. feladat szerint is szimmetriatengely, így vagy 
, de akkor 
, ami ellentmond feltevésünknek, vagy 
, amiből 
azonnal következik.
b) Részletes megoldást nem adunk, csak a lényeges gondolatokat közöljük. Ismét csak 7.5. feladatot használjuk. Válasszuk ki szimmetriatengelyt. A maradék szimmetriatengelyek -re szimmetrikus párokba rendeződnek, de mivel páratlan sokan vannak, így valamelyiknek, mondjuk -nek nem jut pár. Az a) részhez hasonlóan következik, hogy . Ha van két egymásra merőleges szimmetriatengely, akkor az alakzat középpontosan is szimmetrikus. 
A következő feladatot érdeklődő olvasóink figyelmébe ajánljuk.
7.7. feladat. Egy korlátos alakzatnak legalább két szimmetriatengelye van. Igazoljuk, hogy az összes szimmetriatengely egy közös ponton halad keresztül!
Ötlet. Ha -nak szimmetriatengelye, akkor -nak mindkét félsíkjába esik pontja (vagy tartalmazza -t). Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, és 7.5. feladat segítségével konstruáljunk olyan szimmetriatengelyt, amire ez nem teljesül. Jegyezzük meg, hogy ha nem korlátos, akkor az állítás nem igaz, lásd például az egyenest.