8.3. Nevezetes tételek
Néhány korábbi mulasztásunkat pótoljuk.
25. tétel. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük. A súlypont a súlyvonalakat 
arányban osztja, mégpedig úgy, hogy a hosszabb osztási szakasz mindig a csúcs felé esik..
Bizonyítás. Tekintsük 18. ábrát. Húzzuk meg az 
és $B$ pontból az 
és 
súlyvonalakat.
A két súlyvonal metszéspontja legyen 
pont. 
háromszög hasonló 
háromszöghöz az alapesetek b) pontja szerint, a hasonlóság aránya 
, ezért 
szakasz párhuzamos
az 
oldallal, és fele akkora. Az 
hasonló az 
-gel, mert szögeik egyenlőek: 
(mert csúcsszögek) és 
(mert váltószögek), s így a harmadik szögük is egyenlő. Mivel szakasz fele az szakasznak, ezért a és hasonlósági aránya szintén 
. Ebből következik, hogy 
és 
. Az metszéspont tehát 
arányban osztja a súlyvonalakat, mégpedig úgy, hogy a hosszabb osztási szakasz a csúcs felé esik. A fenti gondolatmenetet és 
súlyvonalakra megismételve kiderül, hogy ezek metszéspontja -t szintén arányban osztja, mégpedig úgy, hogy a hosszabb osztási szakasz a csúcs felé esik. Ebből következik, hogy és is épp -ben metszi egymást. Az eddigiekből a tétel állításai következnek.
26. tétel (Magasság- és befogótétel). Az derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó 
magasság talppontja legyen 
, 
és 
.
Ekkor 
, 
és 
.
Bizonyítás. Tekintsük 19. ábrát, az hegyesszögeit jelölje 
és 
a szokásoknak megfelelően. Az 
-ben van egy szög és egy derékszög, így 
, és 
. Hasonlóan kapjuk, hogy 
, s így természetesen 
is. A három hasonlóságban a megfelelő oldalak arányának egyenlőségéből kapjuk rendre, hogy 
, 
és 
. Ezeket átrendezve a tétel állításai következnek.
A hasonlóságok elemi alkalmazásainak egyik legszebb tétele a következő.
27. tétel (Feuerbach-kör). Egy (hegyesszögű) háromszögben a magasságok talppontjai, az oldalfelező pontok, és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai mind illeszkednek egy körre!
Az érdeklődő olvasók a hasonlóságokon alapuló bizonyítást megtalálhatják például itt.