8.2. Alapismeretek

Egy  transzformációt hasonlósági transzformációnak, vagy röviden hasonlóságnak nevezünk, ha létezik egy  valós szám, a hasonlóság aránya, úgy, hogy minden  pontpárra  teljesül, vagyis szakasz képe egy -szor olyan hosszú szakasz.

Példa hasonlóságra az előző szakaszban tárgyalt középpontos hasonlóság.

Vegyük észre, hogy ha végrehajtunk egymás után egy  arányú hasonlóságot, majd egy $1/\lambda$ arányú középpontos hasonlóságot, az eredmény távolságtartó lesz, hisz minden szakasz hossza -szeresére változik. Így valójában ha jól megismerjük az izometriákat, és a középpontos hasonlóságokat, akkor az összes hasonlóságot megérthetjük. Speciálisan, a középpontos hasonlóságok és az izometriák közös tulajdonságait örökli minden hasonlóság.

23. tétel. Minden hasonlóság

1. szögtartó;
2. párhuzamos egyenespárokat párhuzamos egyenespárokba visz.

8.3. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy kör hasonlóság melletti képe kör.

Megoldás. Legyen a  kör középpontja , sugara . Legyen  tetszőleges  arányú hasonlóság és . Tetszőleges  pont képe -től definíció szerint  távolságra van, így  képe az  középpontú,  sugarú kör lesz. 

Két alakzat hasonló, ha létezik olyan hasonlóság, ami egyiket a másikba viszi. Precízebben  és  hasonló, ha
létezik  hasonlóság úgy, hogy . Jele: .

8.4. gyakorlat. Igazoljuk, hogy bármely két kör hasonló.

Ötlet. Legyen a két kör  és , középpontjaik  és , sugaraik  és . Tekintsük azt a transzformációt, amit egy  vektorú eltolás és egy  középpontú,  arányú középpontos hasonlóság egymás után alkalmazásával kapunk. Ez a transzformáció hasonlóság, és a  kört -be viszi. 

Háromszögek egybevágóságának alapeseteinek mintájára kimondhatjuk a következő tételt.

24. tétel (Háromszögek hasonlóságának alapesetei). Két háromszög hasonló, ha a következők valamelyike teljesül:

1. megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő;
2. két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek egyenlők;
3. szögeik páronként egyenlőek;
4. két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők.