11.2. A seprűegyenes

29. tétel.  általános helyzetű egyenes a síkot  darabra bontja.

Bizonyítás. Jelölje az adott egyeneseket . Mivel az egyenesek általános helyzetűek, így bármely kettő metszi egymást, és semelyik három nem illeszkedik közös pontra. Így metszéspontjaik száma annyi, ahány egyenespárt kiválaszthatunk az  egyenes közül. A pár első tagjára , második tagjára  választási lehetőségünk van, de a kiválasztás sorrendje lényegtelen, így a metszéspontok száma . Legyenek a metszéspontok . Tekinsünk egy  egyenest, ami nem párhuzamos a  által meghatározott egyenesek egyikével sem, valamint a  pontok mind  ugyanazon oldalára esnek. (Egy ponthalmaz meghatároz egy egyenest, ha a ponthalmaz legalább két pontja illeszkedik az egyenesre.)

Az  egyenes az  egyenesek mindegyikét egy-egy pontban metszi. Ha  egyenesen "végigsétálunk'', pontosan akkor lépünk át egy síkrészből egy másikba, amikor áthaladunk egy ilyen metszésponton, így az  egyenes pontosan  létrejött síkrészt metsz.

Most képzeletben seperjünk végig az  egyenessel a  pontokon, vagyis toljuk el párhuzamosan -t folytonosan addig, míg az összes  pont át nem kerül  másik oldalára. Az  speciális választása miatt a  pontokon egyesével "haladunk át". Egy ábrával könnyen meggyőződhetünk róla, hogy minden egyes ilyen áthaladáskor  elhagy egy korábban metszett síkrészt, és helyette egy új síkrészbe metsz bele.

A leírtakból következik, hogy a létrejött síkrészek száma megegyezik a kezdetben metszett síkrészek számának és a metszéspontok számának összegével, vagyis , ahogy állítottuk.

A fenti módszer a térben is működik. A gondolatmenetet lemásolva oldjuk meg a következő feladatot!

11.4. feladat. Legfeljebb hány részre oszthatja a teret  sík?

Egy érdekes variánst kapunk a térben, ha feltesszük, hogy a síkok mind illeszkednek az origóra.

11.5. feladat.  Legfeljebb hány részre oszthatja a teret  origóra illeszkedő sík?

A téma iránt érdeklődőknek ajánljuk Hatvani László: A tér darabolása síkokkal (Polygon XX. évf. 1. szám (2011), 101--106) című cikkét, amiben a fenti két feladat megoldása is megtalálható.