2.1. Az értelmi fejlődés Piaget-féle szakaszainak matematikatanítási vonatkozásai, a mennyiségek állandósulásának sorrendje, ideje

Piaget az 1950-es években kísérleti módszerekkel vizsgálta a gyermekek értelmi fejlődését. Munkája nagy hatással volt a komplex matematikatanítási programra, ugyanis ez segítette a tananyag kiválasztását, és az egyes tartalmak tanítási szintjének meghatározását. Természetesen az életkori határok között nagy egyéni különbségek lehetnek, és sok esetben a vizsgált tartalom is befolyásolja, hogy annak alapján melyik szakaszba soroljuk a gyermeket.

A Piaget által meghatározott szakaszok jellemzői:

      -sorrendjük állandó

      -egymásra épülnek (integratívak)

      -a határaik nem élesek (minden szakasznak van előkészületi szintje, majd az egyensúly létrejöttével befejezett szintje).

A fejlődési szakaszok áttekintése során azokra koncentrálunk, amelyeknek az alsó tagozatos tanításban szerepe van (Piaget, Inhelder, 2004):

I. Érzékszervi, mozgásos (0-2 év)

Reflexek gyakorlása, szokások kialakulása, mozgásos cselekvési sémák használata jellemzi.

Tárgyak állandósulása.

II. Műveletek előtti szakasz (2-7 év):

1. Manipulálható tárgyakon végzett műveletek jellemzik.

Az előfogalmi gondolkodás (konkrét kísérletezés) fokozatosan szemléletes gondolkodássá változik (képzetek kialakulása, ismert konkrét cselekvés múltbeli eredményének elmesélése, jövőbeli eredményének előrejelzése).

2. Cenralizáció: egyszerre egy tulajdonságot tud megfigyelni, aszerint tud válogatni.

3. Irreverzibilitás: a cselekvéssort nem képes fordított irányba elvégezni.

4. Állandósul az „ugyanannyi”, az intuitív mennyiségi képzet.

Az iskolában 1. osztályban nagyon hamar szükség van azokra a képességekre, amelyek a műveletek előtti szakasz befejezett szintjét jelentik, például a szemléletes gondolkodás szükséges ahhoz, hogy a gyerekek észrevegyék, hogy a 3 autó, 3 ház, stb. képeken ugyanannyi dolog van, közös tulajdonsága a darabszám, így a 3 darab fogalma kialakuljon. Az „ugyanannyi” állandósulása hosszú folyamat, a különbségek nem rendezhetők az 1. osztály elején erre rendelkezésre álló néhány hét alatt, így elengedhetetlen, hogy erre az óvodában különös figyelmet fordítsanak. Ellenőrizhető az „ugyanannyi” állandósulása azzal az egyszerű kísérlettel, hogy kirakunk a gyermek elé két sorba ugyanannyi piros és kék korongot úgy, hogy a piros-kék párok egymás mellett legyenek. Megbeszéljük, hogy ekkor ugyanannyi piros korong van, mint kék. Ezután a gyermek szeme láttára a kék korongok sorát széthúzzuk, így a darabszám nem, csak a sor hossza változik. 4-5 éves gyermekek ekkor a darabszámról a hopsszúságra váltanak, és azt mondják, hogy több kék korong van, mint piros. Ahhoz, hogy lássák azt, hogy a két darabszám ugyanannyi, szükséges, hogy a darabszám függetlenedjen a megvalósulási formától, más mennyiségektől.

Több szempont egyidejű figyelembe vételére szükség van már az első összehasonlításoknál, az első szöveges feladatoknál. A cselekvéssor megfordítása pedig a visszafelé számlálásban, az összeadás, kivonás kapcsolatának felismerésében elengedhetetlen. Ez utóbbi képességek fejlettsége a 6. és 7. életév között nagymértékben fejlődik, így erre fokozottan oda kellene figyelni az iskolaérettség megállapításakor.

III. Konkrét műveletek szakasza (7-11 év)

1. A konkretizmus belsővé vált konkrétsággá fejlődik, a gyermek képekkel, gondolatban elképzelt dolgokkal, tevékenységekkel is képes foglalkozni. Ez teszi lehetővé számára a számokkal végzett műveleteket a tárgyakkal való manipulálás helyett.
2. Decentralizáció: több szempontra is képes egyidejűleg figyelni, ezáltal összefüggéseket felismerni.
3. Reverzibilitás: képes cselekvéseket fordított irányban elvégezni, a tárgyakat átrendezni.
4. Állandósul: szám, mennyiségek (hosszúság, tömeg, terület, idő)

Az iskolai kudarcok egyik oka lehet, hogy az ebben a szakaszban kialakuló képességek nagy részét befejezett szinten várjuk el már az 1. osztályos tanulóktól. A tanulók nagy része megfelelő szinten birtokában van ezeknek a képességeknek, viszont azok a tanulók, akik pedig nem rendelkeznek ezekkel a képességekkel, sokszor csak hosszú évek alatt tudnának erre a szintre fejlődni, akkorra viszont az iskolában menthetetlenül lemaradnak. Ez is mutatja az óvodai matematikai fejlesztés óriási felelősségét.

IV. Formális műveletek szakasza (11 évtől)

1. Műveletek szimbólumokkal, érvelés, állításokkal, hipotézisekkel kapcsolatos okfejtés képessége.
2. Többféle szempont szerinti osztályozás egyidejűleg, rendszerezés, nézőpontváltás.
3. Visszafelé következtetés.
4. Állandósul a térfogat, a mennyiségek aránya.

A legkésőbb állandósuló mennyiség a térfogat. Jellemző a kisebb gyermekekre a következő kísérlet eredménye: két egyforma edényben ugyanannyi víz van, erről öntögetéssel meggyőződünk. Ezután az egyik edényben levő vizet átöntjük egy magsabb edénybe a gyermek szeme láttára. Azok, akikben a térfogat még nem állandósult, a magasabb edényben levő víz mennyiségét gondolják többnek, ugyanis az alakzatot nézi, nem pedig az átalakítás folyamatát.

Rendkívül fontos, hogy bár a szimbolikus gondolkodás előkészítésével foglalkozunk az alsó tagozatban, nem szabad elvárni például szöveges feladatok szimbolikus, nyitott modellel való modelljének felállítását. A túl korai absztrakció megfelelő tapasztalati alapozás nélkül olyan szakadást idéz elő az absztrakciós folyamatban, amely mindvégig rányomja bályegét a tanulók matematikai teljesítményére, és matematikához való hozzáállására.