8.3. Oszthatóság fogalma és tulajdonságai
Az a természetes szám osztója a b természetes számnak, ha létezik olyan c természetes szám, amelyre a · c = b.
Jele: a | b.
Ekkor:
b osztható a-val
b többszöröse a-nak.
Az „osztható” fogalom a szorzáson alapul, a gyerekekben is a számok szorzat alakját kell erősíteni, az fogja segíteni őket az oszthatósággal kapcsolatos összefüggések felfedezésében. A számok szorzat alakjának felfedezésében segítségükre lehet a téglalap alakban való kirakás.
Az „oszthatóság” két szám közötti kapcsolatra jellemző tulajdonság, az osztás során pedig két számhoz rendelünk hozzá egy harmadik számot.
Figyeljük meg a 0 és az 1 szerepét:
0-nak minden természetes szám osztója. (a · 0 = 0).
Ez egyben azt is jelenti, hogy a 0 osztható 0-val, viszont a 0-t nem lehet elosztani 0-val!
A 0 minden természetes számnak többszöröse.
Az 1 minden természetes számnak osztója. (1 · b = b).
Minden szám osztója önmagának.
Tetszőleges a természetes szám nem valódi osztói 1 és a, a többi osztóját valódi osztónak nevezzük.
A természetes számok osztóit osztópáronként sorolhatjuk fel.
Példa: Soroljuk fel a 36 osztóit!
Láthatjuk, hogy a 6 osztópárja önmaga, vagyis a 36-nak páratlan számú osztója van. A 36 négyzetszám.
Az osztópárok alapján látható, hogy ha egy természetes szám négyzetszám, akkor páratlan számú osztója van, és ha egy természetes szám nem négyzetszám, akkor páros számú osztója van.
A 36 osztóiról szerezhetünk tapasztalatot, ha megpróbálunk többféleképpen téglalap alakba kirakni 36 korongot. Az egyik ilyen téglalap négyzet, ezért a 36 négyzetszám.
A számok többszöröseiről szerezhetünk tapasztalatot az alábbi játékban, ahol a sebesség is fontos (a szorzótáblák gyakorlásakor is játszható).
http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartPIAN.asp?file=AZartPIAN.swf
Az oszthatóság reláció tulajdonságai:
tetszőleges a, b, c természetes számokra:
- reflexív: a | a,
- antiszimmetrikus: ha a | b és b | a, akkor a = b,
- tranzitív: ha a | b és b | c, akkor a | c .
Összeg oszthatósága:
tetszőleges a, b, c természetes számokra
- ha a | b és a | c, akkor a | b + c
- ha a | b és a nem osztója c-nek, akkor a nem osztója b + c -nek
Szorzat oszthatósága:
tetszőleges a, b, c természetes számokra
ha a | b, akkor a | b · c
Összetett oszthatósági szabály
tetszőleges a, b, c természetes számokra
ha a | c és b | c, és (a;b) = 1, akkor a · b | c
Példa: Igaz-e, hogy ha egy természetes szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor osztható a szorzatukkal, azaz 24-gyel.
Megoldás: Nem igaz, például a 12 osztható 4-gyel is és 6-tal is, de nem osztható 24-gyel.