5.1. Összeadásra, kivonásra vezető szöveges feladatok
A műveletek tanításánál nem csak a művelet elvégzésének algoritmusát kell megtanítani, hanem a művelet fogalmát, azokat a helyzeteket, szövegeket, amelyeknek a művelet a modellje. A következőkben csoportosítjuk azokat a szövegeket, amelyek összeadásra, kivonásra vezetnek annak érdekében, hogy a tanulóknak minél változatosabb szövegű feladatokat tudjunk adni, ezzel fejlesztve gondolkodásukat, mélyítve az összeadás, kivonás értelmezését (Carpenter&Moser, 1984 alapján).
Az összeadás, kivonás három alapvető típusa: a változtatás, a hasonlítás és az egyesítés
A szövegekben kiemeltük a kulcsszavakat, azonban arra is mutatunk példát, amikor a szövegeknek a matematika nyelvére való mechanikus fordítása a kulcsszavak alapján helytelen eredményre vezet.
1. Változtatás
Összeadás: Katinak volt 5 lufija, kapott még 3-at. Hány lufija lett Katinak? (5 + 3 = )
Kivonás: Katinak volt 5 lufija, kipukkadt 3. Hány lufija maradt Katinak? (5 – 3 = )
A meglevő szám növekedésére többféle szóval utalhatunk, például keresett; szerzett, talált, szedett, stb. ugyanígy a csökkenésre: elvesztett, elköltött, eladott, elhervadt, stb. Figyeljük meg, hogy egy mennyiség kezdeti állapota és a változás van megadva, és ugyanannak a mennyiségnek a végső állapotára kérdezünk rá.
Ezeket a változásokat jól szemléltethetjük számegyenesen lépkedéssel:
2. Hasonlítás
Összeadás: Katinak van 5 lufija, Petinek 3-mal több. Hány lufija van Petinek? (5 + 3 = )
Kivonás: Katinak van 5 lufija, Petinek 3-mal kevesebb. Hány lufija van Petinek? (5 – 3 = )
A hasonlításnál két mennyiséget hasonlítunk össze, és először mindig azt kell eldönteni, hogy melyik a nagyobb.
3. Egyesítés
Összeadás: Katinak 5 lufija van, Petinek 3 lufija van. Hány lufijuk van kettőjüknek összesen? (5 + 3 = )
Kivonás: A szobában összesen 8 lufi van, abból 5 Katié, a többi Petié. Hány lufija van Petinek? (8 – 5 = vagy 5 + = 8)
Az összeadásnál két közös rész nélküli (diszjunkt) halmaz egyesítésének elemszámát kérdezzük. Ebben az esetben a legnehezebb megfogalmazni a szöveg kivonás párját, ami egy halmaznak az adott alaphalmazra vonatkozó kiegészítő halmazának (komplementerének) elemszámát kérdezi.
A három alaptípus különböző variálási lehetőségei
4. Fordított, vagy indirekt szövegű feladatok
A gondolkodásfejlesztés, szövegértés szempontjából döntő fontosságú feladatok, amelyekben a műveletre utaló kulcsszó fordított műveletre utal, mint amit valójában végezni kell. Így a kulcsszó fordítás módszerének formális alkalmazásával helytelen eredményre jut a tanuló.
Fordított szöveg változtatással:
Katinak 5 lufija lett, miután kipukkadt 3. Hány lufija volt eredetileg? (5 + 3 = vagy - 3 = 5)
A történetet modellezhetjük buborékokkal, amelyekkel a különböző időpontokban levő állapotokat ábrázolhatjuk: Katinak volt valamennyi lufija, ezek száma kerül majd az első buborékba. Kipukkadt 3, ezt nyíllal jelöljük, és maradt 5, amit a második buborékba írunk.
A megoldás során visszafelé haladunk: Az a szám, amelyiknél 3-mal kisebb szám az 5, az 5-nél 3-mal nagyobb, azaz 5 + 3 = 8.
Fordított szöveg hasonlítással:
Katinak 5 lufija van, 3-mal több, mint Petinek. Hány lufija van Petinek? (5 – 3 = vagy + 3 = 5)
Ez a feladat mutatja, mennyire fontos a gyerekekkel értelmezni a szöveget, lejátszani korongokkal, és megmutatni, hogy kinek van több lufija és mennyivel.
A szövegben szereplő adatokat szakaszokkal ábrázoljuk, a darabszámoknak megfeleltetjük a szakaszok hosszát. A gyerekek megtanulják, hogy nagyobb számnak hosszabb szakaszt feleltetnek meg, jelölik a darabszámok különbségét, tudják ábrázolni az összegüket:
5. Feladatok sorszámmal, mennyiségekkel
A feladatokat célszerű nemcsak darabszámokra, hanem tudatosan sorszámokra és mennyiségekre is megfogalmazni.
Kati az 5. helyen végzett a versenyen, Peti 3 hellyel hátrébb. Hányadik helyen végzett Peti?
Kati az 5. emeletről lement 3 emeletet a lifttel. Hányadik emeleten van Kati?
Kati
Kati 5 km-t futott, 3 km-rel többet, mint Peti. Hány kilométert futott Peti?
6. Az összeadás, kivonás tagjaira kérdezünk
A feladatokat modellezhetjük nyitott mondatokkal. A gyerekeknek ezt nem szükséges felírni, különösen, ahogyan a fenti szövegeknél is megmutattuk, egy szövegnek többféle nyitott mondat is megfelelhet. Az alábbi példák azt a célt szolgálják, hogy a tanító tudatosan variálja a szövegeket a főbb típusokon belül is.
A változtatásokra mutatunk olyan feladatokat, amelyek az összeg és különbség tagjaira kérdeznek rá.
Katinak van 3 lufija, hány lufit kell még kapnia, hogy 5 lufija legyen? 3 + = 5
A feladat kérdése az, hogy mennyit kell adni a 3-hoz, hogy 5 legyen. Ezt a feladattípust pótlásnak nevezzük, és külön is foglalkozunk vele 1. osztályban az összeadás tanításakor.
Kati kapott 3 lufit, és így 5 lufija lett. Hány lufija volt eredetileg? + 3 = 5 (ez volt a fordított szövegű feladat)
Katinak volt 5 lufija, kipukkadt valamennyi, így 3 lufija maradt. Hány lufi pukkadt ki? 5 - = 3.
Katinak volt valamennyi lufija. Miután kipukkadt 3, 5 lufija maradt. Hány lufija volt eredetileg? - 3 = 5 (ez is fordított szövegű feladat).
Látható, hogy a tagokra rákérdezéssel megkaptuk a fordított szövegű feladatokat is. A fordított szövegű feladatokat mégis fontosnak gondoltuk külön kiemelni, a kulcsszó fordítás okozta tévedési lehetőség miatt.
7. Szövegek egyenlővé tevéssel
A szövegek átfogalmazása sokszor segíti a tanulókat a feladat megoldásában. Ahogy a két szám összehasonlításánál megmutattuk, a viszonyokat egyenlővé tevéssel is leírhatjuk.
Petinek van 3 lufija, ha kap még 2 lufit, akkor ugyanannyi lufija lesz, mint Katinak. Hány lufija van Katinak. (3 + 2 = )
Katinak 5 lufija van, Petinek 3 lufija van. Hány lufit kell kapjon még Peti, hogy ugyanannyi lufija legyen, mint Katinak? (3 + = 5)
Katinak van 5 lufija. Ha Peti kap még 3 lufit, akkor ugyanannyi lufija lesz, mint Katinak. Hány lufija van Petinek? ( + 3 = 5)
8. Összetett szövegek
Előfordulhat, hogy többszöri változás, hasonlítás, vagy változás és hasonlítás is szerepel a feladatban. Ekkor nehézséget jelent a gyerekek számára, hogy a teljes darabszámot, mennyiséget nem ismerik.
Katinak 3-mal több lufija van, mint Petinek. Petinek 5-tel több lufija van, mint Borinak. Mennyivel van több lufija Katinak, mint Borinak? (3 + 5 = , itt két hasonlítás szerepel)
Kati nyert 5 lufit, így 3-mal kevesebb lufija van, mint Petinek. Mennyivel volt kevesebb lufija eredetileg Katinak, mint Petinek? (5 + 3 = , itt egy változás és egy hasonlítás szerepel)
Az összeadás és a kivonás kapcsolata
A fenti szövegek alapján megfigyelhető az összeadás és a kivonás kapcsolata: a kivonás az összeadás fordított művelete.
Katinak 5 lufija volt, kapott még 3 lufit, így 5 + 3 = 8 lufija lett.
Kati 8 lufijából 3 kipukkadt, így 8 – 3 = 5 lufija maradt.
Ez alapján az összeadást ellenőrizhetjük kivonással, a kivonást összeadással.