11.2. A geometria felépítése a felső tagozaton, transzformációk
A geometria tananyag a felső tagozaton jelenleg a transzformációk során megfigyelt szabályosságokra épül.
A transzformálás tágabb értelemben változtatást jelent, ahogy például a logikai készlet lapjainál a lyukasakat telire, a teliket lyukasra változtatjuk.
Geometriai transzformációnak nevezzük a tér (a sík) önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezését.
Egybevágósági transzformációnak nevezzük a tér (a sík) önmagára való kölcsönösen egyértelmű távolságtartó leképezését. Két alakzatot egybevágónak nevezünk, ha egybevágósági transzformációval egymásba átvihetők.
A gyerekek számára ez azt jelenti, hogy egybevágó testek (síkidomok) alakja és mérete is megegyezik.
Hasonlósági transzformációnak nevezzük a tér (a sík) önmagára való kölcsönösen egyértelmű távolság-arány tartó leképezését. Két alakzatot hasonlónak nevezünk, ha hasonlósági transzformációval egymásba átvihetők.
A gyerekek számára ez azt jelenti, hogy a hasonló testek alakja ugyanolyan.
1. Egybevágósági transzformációk
Térben: síkra való tükrözés, síkban: tengelyes tükrözés:
A gyerekek szerezzenek tapasztalatokat a tükrözésről tükör használatával!
Rakjanak ki utcát építőkockákból úgy, hogy a szemközti házak egymás tükörképei legyenek!
Rajzoljanak másolópapírra, és a papír megfordítása utáni képet hasonlítsák össze az eredetivel!
Félbehajtott papírból vágjanak ki alakzatokat, és figyeljék meg a szétnyitás után a tulajdonságait!
Játék:
Egy négyzetrácsos (később sima) lapon az egyik játékos kijelöl tollal pontokat. Összehajtja a lapot, a hajtásvonal lesz a tükörtengely. A másik játékosnak becsléssel be kell rajzolnia a pontoknak a hajtásvonalra vonatkozó tükörképét grafit ceruzával. Ezután összehajtják a lapot, és a grafit pöttyök hátulját golyóstollal átrajzolják, így a grafit a szemközti lapon nyomot hagy, ami a grafit pötty tengelyes tükörképe lesz. Ezzel ellenőrizhető, hogy a grafit pötty nyoma eltér-e az eredeti, tollal rajzolt pöttytől.
Figyeljük meg, hogy
- Az alakzatból mozgatással nem tudjuk előállítani a tükörképét.
- A pont és a tükörképe ugyanakkora távolságra van a tükörtengelytől.
- A pontot és a tükörképét összekötő szakasz merőleges a tükörtengelyre.
- Az alakzat és a tükörképe ellentétes körüljárású, a „bal és jobb felcserélődik”.
- Szakasz tükörképe az eredetivel egyenlő hosszúságú szakasz.
- Szög tükörképe az eredetivel egyenlő nagyságú szög.
Az alábbi oldalon alakzat tükörképét kell megrajzolni pontrácson:
http://tananyag.geomatech.hu/b/508685#material/795365
További egybevágósági transzformációk a felső tagozaton: középpontos tükrözés, eltolás, pont körüli elforgatás.
Az eltolás és a síkban pont körüli (térben egyenes körüli) elforgatással különböző sormintákat, síkmintákat kapunk. Fedezzük fel a mintákban az eltolást, a forgatást!
Az alábbi címen kaleidoszkópot lehet készíteni, amelyen jól megfigyelhető a forgásszimmetria:
http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartCALED.asp?file=AZartCALED.swf
2. Hasonlósági transzformációk
Nagyítás, (kicsinyítés) megtapasztalását segítő tevékenységek:
- Építsd meg nagy kockákból, amit kis kockákból építettem! (például lego – duplo)
- Rajzold le nagy négyzetrácsra, amit a kis négyzetrácsra rajzoltam!
- Rajzolj ugyanarra a négyzetrácsra kétszer akkorát! (Itt a nehézség az, hogy az alakzatot minden irányban duplázni kell.)
Tapasztalják meg a gyerekek, hogy a testek alakja megváltozik, ha például egy kódolt alaprajzzal adott építményt a színes rúdkészlet fehér kockái helyett álló rózsaszín rudakból építünk meg! Ugyancsak megváltozik a négyzetrácsra rajzolt síkidomok alakja, ha torzított rombuszrácsra másoljuk át.
8. osztályban találkoznak a gyerekek a középpontos hasonlósággal, ennél többet általános iskolában nem foglalkoznak hasonlósággal, a további tulajdonságok és alkalmazások a középiskolára maradnak.
A geometria tananyag a transzformációkra épül. Egybevágósági transzformációval hozunk létre egybevágó alakzatokat, és erre építve a geometria általános és középiskolában előforduló tételei bizonyíthatók.
A geometria felépítése 6. osztályban a tengelyes tükrözéssel kezdődik. Ebből felfedezzük a szakaszfelező merőleges tulajdonságait, ami lehetőséget ad a merőleges szerkesztésére. Foglalkozunk még a tengelyesen szimmetrikus síkbeli alakzatokkal, szerkesztésükkel, kerületükkel, területükkel. A 2012-es NAT szerint már ekkor előkerül a trapéz és a paralelogramma meghatározása, ami nem igazán illik a transzformációs felépítésbe, hiszen a paralelogramma a szakasz középpontos tükrözéséből lenne származtatható a transzformációs felépítés szerint. Problémás az is, hogy kerület és területszámítást csak tengelyesen szimmetrikus alakzatok esetén végzünk. Leginkább az egyenlő szárú háromszög területe a kritikus, hiszen a gyerekek ekkor találkoznak először háromszög magasságával, valamint csak abban az esetben működik a módszer, ha a háromszög alapja és a hozzá tartozó magasság van megadva. Külön problémás, ha a kerület- és területszámítást képlet alapján végzik 6. osztályban.
7. osztályban a középpontos tükrözésből kapjuk a paralelogrammát, ez alapján tudjuk megadni a tulajdonságait. Itt találkoznak a gyerekek a váltószögek egyenlőségével, amiből következik az egyállású szögek egyenlősége is. Mivel az eltolás 8. osztályos tananyag, a pont körüli elforgatás kimarad az általános iskolai geometriából, például a háromszögek egybevágóságának alapeseteit nem tudjuk a transzformációk alapján levezetni. 7. osztályban a transzformációs bevezetés további kavarodásokat okoz. A középpontos tükrözésből kapjuk a paralelogrammát, és tulajdonságait, ekkor foglalkozunk többek között a középvonalával, ami maga után vonja a trapéz, háromszög középvonalát, de ebben a fejezetben mégis furcsa ezek tárgyalása. A váltószögek egyenlőségét általános iskolában a háromszög szögösszegének bizonyítására használjuk, ez viszont a középpontos tükrözés fejezetben szintén furcsa.
Következetesebb felépítést tenne lehetővé, ha az általános iskolai geometriát a háromszögek egybevágóságának alapeseteire, és a váltószögek egyenlőségére építenénk. A háromszögek egybevágóságát a szerkesztésre alapoznánk, amennyiben az adatokból egyféle háromszög szerkeszthető, az összes, ugyanezekkel az adatokkal szerkesztett háromszög egybevágó. 5. osztályban az alap szerkesztések során szerkesztünk háromszögeket. A háromszöget először három oldalából szerkesztjük. Ez alapján a szakaszfelező merőleges tulajdonságai beláthatók, amiből kapjuk a merőleges szerkesztését, és további szögek szerkeszthetőségét. A tengelyes tükrözés definíciója után belátható, hogy a tengelyes tükrözés távolság és szögtartó. A váltószögek egyenlőségéből a paralelogramma tulajdonságaira következtethetünk. Így lehetőség lenne a speciális sokszögek, háromszögek, négyszögek meghatározását, tulajdonságait egységben tárgyalni, csakúgy, mint a kerületüket, területüket.