3.1. A műveletek bevezetésének áttekintése

Alsó tagozatban a gyerekek megismerkednek a négy alapművelettel. A műveletek tanításának két fontos aspektusa: egyrészt azok a szöveges feladatok, amelyek modellje a művelet, másrészt a műveletek elvégzésének algoritmusa, amelyet készség szintre kellene fejleszteni. A műveletek bevezetéséről és elvégzésének tanításáról részletesen lehet olvasni a Matematika tantárgy-pedagógia tanító hallgatók számára című tananyagban. Röviden összefoglalunk néhány lényeges momentumot, amelyekre felső tagozatban is oda kell figyelni.

Az összeadásra, kivonásra vezető szövegek főbb típusai a hozzátevés/elvétel, a hasonlítás és az egyesítés.  Lényegesek a fordított szövegű feladatok, amikor a szövegben szereplő kulcsszó ellentétes műveletre utal, mint amit valójában végezni kell (például: Zolinak 180 Ft-ja van, 50 Ft-tal kevesebb, mint a kedvenc csokijának az ára, mennyibe kerül Zoli kedvenc csokija?).

A hozzátevés kapcsolódik a Peano axiómarendszerhez, amely alapján az összeadás definíciója a természetes számok halmazán:

Minden a, b természetes számra a + 1 = a’, ahol a’ az a rákövetkezője, és a + b’ = (a + b)’.

A szorzást 2. osztályban ismételt összeadásként vezetik be. A 3 + 3 összeget kétféleképpen írhatjuk fel szorzatként a tényezők sorrendjétől függően. A szorzó · szorzandó sorrendben 2 · 3, azaz „kétszer három”, a szorzandó · szorzó sorrendben 3 · 2, azaz „három szorozva kettővel”. A tanulóknak tudniuk kell, hogy a szorzás kommutatív, így mindkét felírás helyes, azonban érdemes megfigyelnünk, hogy a tanulóknak melyik sorrend a természetes, hogyan rögzült alsó tagozatban, mert az algebrai kifejezéseknél célszerű az x + x = 2x sorrendet használni.

A Peano axiómarendszerben a szorzás meghatározása: minden a, b természetes számra a · 1 = a és a · b’ = ab + a.

Az osztás kétféle bevezetése a bennfoglalás és a részekre osztás, amelyeket sajnos alsó tagozatban sok helyen eltérően is jelölnek kettős ponttal és / jellel. Bennfoglalásról beszélünk, amikor mennyiséget osztunk ugyanazzal a mennyiséggel, és darabszámot kapunk (Egy 12 cm-es szalagot 4 cm-es darabokra vágunk, hány darabot kapunk?). Részekre osztásnál a mennyiséget darabszámmal osztjuk és mennyiséget kapunk (Egy 12 cm-es szalagot 4 egyenlő részre osztunk, hány centiméteres darabokat kapunk?). Valójában mindkét esetben osztásról beszélünk, az éles megkülönböztetés zavaró is lehet, különösen, hogy van olyan osztás, amelyik nem bennfoglalás, és nem is részekre osztás, például a sebesség, ami a megtett út és az eltelt idő hányadosa egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén. Felső tagozatban már nem foglalkozunk a megkülönböztetéssel, csak arra kell figyelnünk, hogy mindkét fajta szöveggel találkozzanak a gyerekek a szöveges feladatok kapcsán.

A természetes számok halmazán elvégezhető a maradékos osztás, azaz minden a, b≠0 természetes számhoz léteznek olyan q, r természetes számok, amelyekre a = qb + r és 0≤r<b.

A műveletek elvégzését folyamatosan gyakorolniuk, ismételniük kell a gyerekeknek, ahhoz, hogy számolási készségük kialakuljon, fejlődjön. Lényeges, hogy a műveleteket visszafelé is tudják, például a szorzásnál nem elég, hogy tudják, hogy 5 · 7 = 35, azt is kell tudni, hogy a 35 hányszor hány.