13.3. Sorba rendezések ismétlődéssel
A zászló csíkjainak sorba rendezése a legegyszerűbb sorba rendezési feladat. A csíkok sorba rendezéséhez hasonló stratégiával megkapjuk, hogy 4 különböző színű gyöngyöt 4 · 3 · 2 · 1 = 24-féleképpen fűzhetünk fel egy pálcára.
Példa: Fűzzünk a pálcára háromféle színű gyöngyöt, egy pirosat, egy kéket és két sárgát. Keressük meg az összes lehetőséget (a pálca elejét és végét megkülönböztetjük).
Megoldás:
A kezdő színt rögzítve kirakjuk a lehetőségeket, csak most vigyázni kell, mert nem azonos a lehetőségek száma minden szín esetén. Ezt ábrázoljuk ágrajzzal:
Az ábráról leolvasható, hogy a lehetőségek száma 12.
Tipikus hiba: a gyerekek a többször előforduló színt a nyíldiagramon is többször ábrázolják egy szinten. A nyíldiagramon azonos színt nem szabad többször feltüntetni egy szinten!
Képzeljük el, hogy a 4 különböző szín sorrendjeit kiraktuk pálcákon. Ekkor a példában a lehetőségeket összeszámolhatjuk úgy, hogy ha az előző kirakásban szereplő négy különböző színű gyöngyből álló 24 pálcát párba állítjuk úgy, hogy egy párba tartozzanak azok a pálcák, amelyekben a zöld és a sárga gyöngy ugyanazon a két helyen van, csak más sorrendben. Így mindegyik pálcának pontosan egy párja lesz, ezért a lehetőségek száma a 24-nek a fele, azaz 12.
Példa: Fűzzünk a pálcikára kétféle színű gyöngyöt, két kéket és két sárgát. Keressük meg az összes lehetőséget (a pálca elejét és végét megkülönböztetjük).
Megoldás:
Ábrázoljuk nyíldiagramon a lehetőségeket!
Az ábráról leolvasható, hogy a lehetőségek száma 6.
A lehetőségeket összeszámolhatjuk úgy, hogy ha az előző feladatban szereplő három különböző színű gyöngyből álló 12 pálcát párba állítjuk úgy, hogy egy párba tartozzanak azok a pálcák, amelyekben a piros és a kék gyöngy ugyanazon a két helyen van, csak más sorrendben. Így mindegyik pálcának pontosan egy párja lesz, ezért a lehetőségek száma a 12-nek a fele, azaz 6.
Példa: Fűzzünk a pálcikára kétféle színű gyöngyöt, két kéket és három sárgát. Keressük meg az összes lehetőséget (a pálca elejét és végét megkülönböztetjük).
Megoldás:
Ábrázoljuk nyíldiagramon a lehetőségeket!
Látható, hogy a lehetőségek száma 10.
A lehetőségek számát megkaphatjuk úgy is, hogy gondolatban öt különböző szín, piros, sárga, kék, zöld, lila összes sorrendjét kirakjuk, ez 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 lehetőség. Ezután párba állítjuk azokat a pálcákat, amelyeknél a kék és a lila ugyanazon a két helyen van, csak más sorrendben. Ezeket az eseteket egynek kell venni, ha két kék van, így 120 : 2 = 60 eset marad. Majd rakjuk egy csoportba azokat a pálcákat, amelyeknél a sárga, a piros és a zöld ugyanazon a helyen van, csak más sorrendben. Mivel három különböző gyöngynek 6-féle sorrendje lehet, ezért egy csoportba 6 különböző pálca kerül. Így a különböző sorrendek száma két kék és három sárga gyöngy esetén 60 : 6 = 10.