4.2. Az egész számok tanítása

5. osztályban az egész számokat és a nem negatív racionális számokat tanítjuk, majd 6. osztályban szintetizáljuk a racionális számokat, amikor már negatív törtekkel is számolunk.

Így 5. osztályban eldönthetjük, hogy a negatív egész számokat vagy a törteket tanítjuk előbb. Mechanikusan a negatív egész számokkal végzendő műveleteket könnyebb megtanítani, azonban a törtek jobban szemléltethetők, lerajzolhatók, és a mindennapi életben is nélkülözhetetlenek. Arra kell figyelni, hogy a koordináta-rendszerhez szükség van a negatív számokra, és a törtek tanítása előtt ne adjunk olyan számítási feladatot (például kerület), amelyben törtekre lenne szükség, utána viszont igen.

Az egész számok konkrét modellje a hőmérő és az adósság cédulák, univerzális modellje a számegyenes.

Alsó tagozatban ezekkel a szemléltetésekkel vezetik be a negatív számokat, és összehasonlítják a nagyságukat, egyszerű változtatásokat hajtanak végre (hőmérséklet növekedése, csökkenése).

Vigyázni kell a hétköznapi kifejezésekkel, amelyek már magukban kifejezik azt, hogy a mennyiség negatív, például az árleszállítás árcsökkenést jelent, ha ez negatív, pl. −20%-os árengedmény, akkor az valójában növekedést jelent. A hétköznapi életben általában nyelvi kifejezésekkel kikerülik a negatív számok alkalmazását, a különböző számlákon azonban még megtalálhatók.

Bizonyos tankönyvekben megkülönböztetik a mínusz előjel és a kivonás jelét úgy, hogy az előjelet a szám bal felső sarkához írják. Véleményünk szerint ez olyan módszertani pontosítás, ami a gyerekeket inkább zavarja, mint segíti. Megoldhatjuk a kétféle „mínusz” megkülönböztetését úgy, hogy közben a gyerekeket nem zavarjuk meg úgy, hogy következetesen kiírjuk az előjeleket, és az előjeles számot zárójelbe tesszük.

5. osztályban tanítjuk az egész számok összeadását, kivonását adósságcédulákkal szemléltetve, sok példával gyakoroltatva.

Az egész számok összeadásánál az alábbi típusokat különböztetjük meg:

       -azonos előjelű számok összeadása

                  a közös előjel pozitív

                  a közös előjel negatív

      -különböző előjelű számok összeadása

                  a pozitív előjelű szám a nagyobb abszolút értékű

                  a negatív előjelű szám a nagyobb abszolút értékű

                  egyenlők az abszolút értékek.

Ezekre a típusokra kell példákat mutatni a gyerekeknek. Először megállapítjuk az összeg előjelét, majd az összeg abszolút értékét. Ennél részletesebb „szabályt” nem szabad tanítani a gyerekeknek.

A különböző előjelű számok összeadásának összefoglaló szabálya a következő.

Két különböző előjelű számot úgy adunk össze, hogy először vesszük a két szám abszolút értékét. Az összeg előjele a nagyobb abszolút értékű szám előjele lesz. A nagyobb abszolút értékből kivonjuk a kisebb abszolút értéket, így kapjuk az összeg abszolút értékét. Ha a különböző előjelű számok abszolút értéke egyenlő, akkor az összegük nulla.

Nyilvánvaló, hogy ilyen szabály alapján kevesen fognak tudni egész számokat összeadni, bár a szabály pontos és igaz. A számolás során rendkívül káros, ha a gyerekek a memóriájukban kutatnak a szabály után, amire néhány hét múlva egyáltalán nem fognak emlékezni. Sokkal hasznosabb, ha a szabály helyett egy példára gondolnak a gyerekek, ha elbizonytalanodnak, amit kirakhatnak készpénz és adósságcédulákkal. Ehhez az analógiás gondolkodásukat kell erősíteni, és megtanítani nekik, hogy az adott feladattal analóg egyszerű példákat tudjanak kigondolni és megoldani.

A szabályok azért hasznosak, hogy a gyerekek megtanulják szavakkal megfogalmazni a tevékenységüket, a gondolataikat.

Az egész számok kivonásánál hasonlóan megkülönböztetjük a pozitív szám kivonását és a negatív szám kivonását. Mindegyik esetben lehet a kisebbítendő pozitív, negatív vagy nulla.

Két típust mutatunk be, amelyek szemléltetése, magyarázata a legkritikusabb.

Pozitív szám kivonása, ha a kivonandó nagyobb a kisebbítendőnél:

Példa:

(+2) – (+5) = ?

Megoldás:

Ha 2 Ft-unk van, akkor ahhoz, hogy ki tudjunk fizetni 5 Ft-ot kölcsön kell kérnünk 3 Ft-ot. Ekkor kapunk 3 Ft készpénzt és 3 Ft adósság cédulát. Kifizetjük az 5 Ft-ot, és megmarad a 3 Ft adósságunk.

Tehát  (+2) – (+5) = (−3).

Negatív szám kivonása pozitív számból:

Példa:

(+2) – (−5) = ?

Megoldás:

2 Ft-unk van, és elengedik 5 Ft adósságunkat. Ezt csak úgy tudjuk hasznosítani, ha felveszünk 5 Ft kölcsönt, ezzel kapunk 5 Ft készpénzt és 5 Ft adósságcédulát. Ha elveszik az 5 Ft adósságcédulát, akkor marad 2 + 5 = 7 Ft készpénzünk.

Tehát (+2) – (−5) = (+2) + (+5) = (+7).

Már 5. osztályban elkezdjük előkészíteni az összevonást azzal, hogy a kivonást összeadásra írjuk át: bármely szám kivonását elvégezhetjük az ellentettjének a hozzáadásával.

Egész számok szorzása

Az előző fejezet alapján láttuk, hogy a negatív számok szorzatának előjelét a különbségek szorzatával magyaráztuk. Ezt a gyerekeknek nem lehet így elmondani.

A természetes számokkal való szorzás akkor is értelmezhető ismételt összeadásként, amikor negatív számot szorzunk:

3 · (−2) = (−2) + (−2) + (−2) = (−6).

A negatív számmal való szorzást a monotonitás alapján definiáljuk:

3 · (−2) = (−6)

2 · (−2) = (−4)

1 · (−2) = (−2)

0 · (−2) = 0           A szorzó 1-gyel csökken, a szorzat 2-vel nő, ez alapján:

(−1) · (−2) = (+2)

(−2) · (−2) = (+4)

(−3) · (−2) = (+6)

A gyerekek könnyen megtanulják, hogy negatív számok szorzata pozitív.

Vigyázzunk, hogy ne csak formálisan maradjon meg bennük, hogy „két mínusz az plusz”, mert akkor a −3 − 2 re is azt gondolják, hogy pozitív.

Az egész számok osztása a szorzásra való visszavezetéssel már könnyen adódik.

A számolási készség kifejlődése hosszú folyamat, állandó gyakorlást igényel. Ne csodálkozzunk, ha a gyerekek az egyenletek megoldásánál elbizonytalanodnak a negatív számokkal való számolásban annak ellenére, hogy az egész számokkal felírt műveletsorokat kiválóan számolták. Ez csak azt jelenti, hogy az egész számokkal végzendő műveletek még nem automatizálódtak, még több gyakorlásra van szükség.