2.5. Számrendszerek
A számrendszerek tanítása csak emelt szinten szerepel a felső tagozatos tantervben, a csoportosítás – beváltás – leltározás, és az írásbeli műveletek könnyebben megérthetők, jobban elmélyíthetők, ha nem csak tízes számrendszerben végezzük el. Hivatkozhatunk a másodperc – perc – óra beváltásokra, amely a 60-as csoportosításon alapul.
Példaként a 17-et írjuk fel 3-as számrendszerben!
A baloldalon a tevékenység, a jobboldalon az ennek megfelelő osztásos modell követhető nyomon. A gyerekeknek természetesen csak a baloldali eljárást mutatjuk meg.
|
Rakjunk ki 17 korongot, és csoportosítsuk hármasával! Kaptunk 5 hármas csoportot és kimaradt 2 korong. A hármas csoportokat is csoportosítsuk hármasával! Kapunk 1 kilences csoportot, és kimarad 2 hármas csoport. Az 1 kilences csoportot már nem tudjuk hármasával csoportosítani. Leltározzunk:
A A hármas számrendszer helyi értékei balra haladva háromszorozódnak. |
Írjuk fel a csoportosításokat művelettel: 17 : 3 = 5 hármas csoport 2 egyes
5 : 3 = 1 kilences csoport 2 hármas csoport 1 : 3 = 0 huszonhetes csoport 1 kilences csoport
Az algoritmusnak akkor van vége, ha a hányados 0. Ekkor az osztási maradékok visszafelé haladva megadják a hármas számrendszerbeli szám számjegyeit. |
A hármas számrendszer számjegyei a 0; 1 és 2.
Példa: Írjuk fel sorban a számokat a hármas számrendszerben 2003-ig! Melyek a páros számok?
Megoldás:
0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200.
A páros számokat vastagon írtuk. Érdekesség, hogy nem a páros számjegyre végződő számok a párosak. Mivel a helyi értékek páratlanok a hármas számrendszerben, ezért a szám pontosan akkor lesz páros, ha számjegyeinek összege páros, ugyanis ekkor lesz páros számú csoport, amelyek mindegyike páratlan számú korongból áll.
Érdemes megfigyelni, hogy a csoportosítás felel meg a halmazos számfogalomnak, a számok felsorolása a számlálásos számfogalomnak, a gyerekeknek itt is mindkettőre szükségük van ugyanúgy, ahogy a tízes számrendszerben a számfogalom alakulásakor.
A számrendszerek bevezetéséhez készíthetünk pénzérméket a gyerekeknek kupakokból. Például a kettes számrendszer bevezetéséhez 1-es, 2-es, 4-es, 8-as, 16-os, 32-es és 64-es érméket készítünk. Ezután adott pénzösszegeket kell a lehető legkevesebb ilyen érmével kifizetni. Ez rávezeti a gyerekeket a csoportosításra és a nagyobb értékű érmére való beváltásra amíg csak lehet. A végén táblázatban leltározzák, hogy melyik érméből hány darabot használtak. A csoportosítás – beváltás módszerét fokozatosan elhagyják, és a nagyobb számok kettes számrendszerben való felírásához megnézik, hogy melyik az a legnagyobb címletű érme, amelyre szükségük van, ezzel mennyi pénzt fizettek ki, és mennyit kell még kifizetni. Erre a maradékra folytatják az eljárást, megint megkeresik, melyik a szükséges legnagyobb címlet, sít.
Segíti a kettes számrendszer gyakorlását, ha az ujjunkon számolunk kettes számrendszerben a következőképpen. Az ujjaink sorban a kettes számrendszer helyi értékeit jelentik: hüvelykujj – 1; mutatóujj – 2; középső ujj – 4; gyűrűs ujj – 8; kisujj – 16. Mivel a kettes számrendszerben 0 és 1 számjegyek vannak, a
A kettes számrendszer helyi értékeiről szerezhetünk tapasztalatokat az alábbi „2048” játékkal:
http://www.jatekstart.com/jatekok/matek-j%C3%A1t%C3%A9k/20140402/2048
A helyi érték fogalmát mélyíti például a következő feladattípus:
Példa: El lehet-e dönteni, hogy melyik szám a nagyobb?
a) 100 111
b) 101 110
c) 10 101
Megoldás:
a) 100 > 111, mert több számjegyből áll.
b) 101 < 110, mert balról az első eltérő számjegy a jobboldali számban nagyobb.
c) 10 ≤ 101, mert ha a baloldali számban az egyesek helyén 1 áll, akkor egyenlőség van, ha 0, akkor a baloldali szám a kisebb.
A tízes számrendszerben az írásbeli műveletek a helyi értékes írásmódon alapulnak. Ezt tudatosíthatjuk, ha a hármas számrendszerben végzünk írásbeli műveleteket. Ehhez el kell készíteni a hármas számrendszer összeadó tábláját a számlálás alapján, és a szorzó tábláját az ismételt összeadás alapján. Az írásbeli műveletek végzésekor a táblákban levő összegeket és szorzatokat használjuk, semmiképp se számoljunk vissza a tízes számrendszerbe!
Az összeadó tábla:
|
+ |
0 |
1 |
2 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
10 |
|
2 |
2 |
10 |
11 |
A szorzó tábla:
|
· |
0 |
1 |
2 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
|
2 |
0 |
2 |
11 |