1.1. A természetes szám fogalom alakulásának kezdeti lépései
A természetes szám fogalma nem alakult ki azzal, hogy a gyermek tudja sorban a számneveket, esetleg meg is tud számlálni dolgokat. Az alkalmazható számfogalomhoz sokrétűbb tapasztalatokra van szükség. Ha az iskolába lépés előtt nem gyűjtött kellő tapasztalatot a gyermek, akkor azt külön odafigyeléssel gazdag tárgyi környezettel kell pótolni tudatosítva az élményeket.
A természetes szám fogalma alapvetően kétféle tartalommal alakul: darabszámként (tőszám) és mennyiségként (mérőszám). A későbbiekben látni fogjuk a különbséget, ezért fontos, hogy ne használjuk a darabszám és mennyiség szavakat szinonimaként, a kérdésekben a „hány” és „mennyi” kérdőszavakkal is próbáljuk elkülöníteni őket. Ezeket a tartalmakat egészíti ki a természetes szám, mint sorszám.
|
1. Érzékszervi összehasonlítás nagy különbség esetén |
|
|
Darabszám |
Mennyiség |
|
Két halmaz elemszámának összehasonlítása: melyikben van több, melyikben van kevesebb elem. Több körte van, mint alma. Kevesebb alma van, mint körte. Fontos mindkét irány, a több és a kevesebb viszony megnevezése is. Változtassuk a méreteket, így a darabszám függetlenedik a konkrét tárgyaktól. 2 alma vagy 5 dió a több? Változtassuk az érzékszerveket! A látás mellett hallás, és tapintás útján is döntsünk!
|
A különböző mennyiségek esetén a gyerekeknek ismerniük kell a reláció szókincset konkrét tárgyi tapasztalatokhoz kötődve. Hosszúság: Magasabb-alacsonyabb Hosszabb-rövidebb Szélesebb-keskenyebb Vastagabb-vékonyabb Távolabb-közelebb Tömeg: Nehezebb-könnyebb Terület: Nagyobb-kisebb területet fed le. Például két levelet hasonlítsunk össze, melyik fed le nagyobb területet. Térfogat: Több-kevesebb víz fér bele. Idő: Hosszabb-rövidebb ideig tart. |
|
2. Objektív összehasonlítás közvetlen összeméréssel kis különbség, egyenlőség esetén |
|
|
Darabszám |
Mennyiség |
|
Két halmaz darabszámának közvetlen összemérése azt jelenti, hogy párba állítjuk az egyik halmaz elemeit a másik halmaz elemeivel (kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítünk a két halmaz elemei között). Ha a párba állítás során egyik halmazból sem maradt ki elem, akkor a két halmazban ugyanannyi elem van, (a két halmaz ekvivalens). Sokféle tárgyi tapasztalattal érhető el, hogy az „ugyanannyi” fogalma állandósuljon, leváljon a tárgyi megvalósulásról. Ehhez szükséges, hogy különféle színű, formájú, méretű, tömegű tárgyakkal kísérletezzünk, ahol a két halmaz közös tulajdonsága az elemszáma. Különösen lényeges a tárgyak elrendezésének variálása. Ellenőrizhető az „ugyanannyi” állandósulása Piagetnak azzal az egyszerű kísérletével, hogy kirakunk a gyermek elé két sorba ugyanannyi piros és kék korongot úgy, hogy a piros-kék párok egymás mellett legyenek. Megbeszéljük, hogy ekkor ugyanannyi piros korong van, mint kék. Ezután a gyermek szeme láttára a kék korongok sorát széthúzzuk, így a darabszám nem, csak a sor hossza változik. 4-5 éves gyermekek ekkor a darabszámról a hosszúságra váltanak, és azt mondják, hogy több kék korong van, mint piros. Ahhoz, hogy lássák azt, hogy a két darabszám ugyanannyi, szükséges, hogy a darabszám függetlenedjen a megvalósulási formától, más mennyiségektől.
Tranzitivitás (közvetítődés): Ha kevesebb alma van, mint körte, és kevesebb körte van, mint szilva, akkor kevesebb alma van, mint szilva. Ugyanez az „ugyanannyi” kapcsolatra is érvényes. Minden tányéron van egy alma. Letakarjuk őket egy-egy szalvétával, és megszámoljuk, hogy 5 tányér van, ezután megkérdezzük, hogy hány alma van a tányérokon. Amíg a gyermek nem tudja, hogy 5 alma van, addig nem állandósult számára az „ugyanannyi” fogalma.
Egyenlővé tevés: Ha több alma van, mint körte, akkor tegyük egyenlővé az almák számát a körték számával! Megtehetjük úgy, hogy elveszünk az almákból, vagy úgy, hogy hozzáteszünk a körtékhez. Ezek a tárgyi tapasztalatok alapját képezik később a megfelelő műveletsor, majd az egyenlet felírásának is.
|
A közvetlen összeméréssel megállapíthatóvá válik a több-kevesebb mellett az „ugyanakkora”: ugyanolyan hosszú, ugyanolyan nehéz, ugyanakkora területet fed le, ugyanannyi víz fér bele, ugyanannyi ideig tart. Különböző tárgyak tömegét kétkarú mérleggel hasonlíthatjuk össze. Kétkarú mérleget készíthetünk úgy, hogy vállfa két oldalára papírtányérokat akasztunk. Levelek területét összemérhetjük úgy, hogy egymásra rakjuk őket, ha az alakjuk eltérő, akkor az egyiket darabolhatjuk, és a darabokkal fedjük le a másikat. Ezzel a terület fogalma is kezd fejlődni, hiszen a gyerekek tapasztalatot szereznek arról, hogy a terület a lefedéshez kötődik. Poharak térfogatát összemérhetjük úgy, hogy az egyiket teletöltjük vízzel, és beleöntjük a másikba. Időtartamokat összemérhetünk például versenyek alkalmával, ki futotta le a távot rövidebb idő alatt.
Végezzünk tevékenységeket a tranzitivitás bemutatására különböző mennyiségekkel! Például vegyünk egy almát, egy körtét és egy őszibarackot! Rakjunk közéjük nyilakat úgy, hogy a nyíl a könnyebbtől a nehezebb felé mutasson! Kétkarú mérleggel, hasonlítsuk össze először az almát és a körtét, majd a körtét és az őszibarackot! Ha az alma nehezebb a körténél és a körte az őszibaracknál, akkor ebből tudjuk, hogy az alma nehezebb az őszibaracknál, elég volt két mérés. Viszont ha a körte a könnyebb, akkor a körte lett a legkönnyebb, így kell még egy mérés, hogy megállapítsuk, hogy az alma vagy az őszibarack a nehezebb.
Vágjunk ki két papírcsíkot, hasonlítsuk össze a hosszúságukat, szélességüket, és tegyük egyenlővé vágással! |
|
3. Objektív összehasonlítás közvetítővel |
|
|
Darabszám |
Mennyiség |
|
A több, a kevesebb és az ugyanannyi kapcsolatok tranzitivitása teszi lehetővé a közvetítők alkalmazását akkor, amikor a közvetlen összemérés nem lehetséges. Közvetítő lehet bármi, de célszerű univerzális modelleket, kavicsokat, korongokat, pálcikákat, ujjakat választani, amelyek bármilyen konkrét tárgynak megfelelhetnek, ezzel is segítve az absztrakció alakulását.
|
Választunk egy közvetítő mennyiséget, és ezzel végezzük az összemérést. Hosszúságok összemérésénél lehet közvetítő a spárga, a tömegnél például építőkockák, területnél papírdarab, térfogatnál egy harmadik edény, időnél a homokóra. |
A számérzék azt jelenti, hogy a gyermek kis számokat: 1, 2, 3, 4, 5 ránézésre, összkép alapján meg tud állapítani. Ehhez olyan elrendezés szükséges, amely egy pillantással átfogható.
A természetes szám halmazos fogalmának alapja az, hogy a természetes számokat, mint véges halmazok elemszámát értelmezzük. Az ekvivalens véges halmazok közös tulajdonsága, az elemeik száma. Az ekvivalens halmazok elemeinek párba állítása valójában a halmazok közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.
A darabszámokat először rendezett formában, sokszor a dominóképnek vagy dobókocka képnek megfelelő statikus számkép alakjában ismerik fel a gyerekek, később fokozatosan, dinamikusan változtathatjuk az elrendezést.
A nagyobb számoknál szükségszerű a tagolás.
Nem mondhatjuk, hogy kialakult számfogalma van a gyerekeknek addig, amíg nem alakult ki a számérzékük, nem tudják a darabszámot kis számok esetén ránézésre számlálás nélkül megállapítani. Ebben a tekintetben nagy szerepe van az óvodai foglalkozásoknak, és a megfelelő iskolaérettségi vizsgálatoknak. Hiszen, ha egy gyerek nem látja a darabszámokat 5-ig, akkor ennek kialakítására az iskolában rendelkezésre álló rövid idő miatt kevés esélye van, vagy mire megszerezné, már az erre épülő műveletekben marad le.
A darabszámok ránézéses felismerését gyakorolhatják a gyerekek gyorsolvasási gyakorlatokkal: a kártyákon kis elemszámokat ábrázolunk különböző formában, versenyezhetnek, ki tudja gyorsabban leolvasni az összes kártyát. A gyorsaság igénye biztosítja azt, hogy ne tudják megszámlálni az elemeket.
Ugyanez hallás útján nem fejleszthető, hiszen a hangok nem foghatók át egyszerre egy hallással.
4. b. A szám megjelenése darabszámnál számlálással
Számlálásra van szükség, ha a darabszám nem fogható át egy pillantásra.
A számlálás tanulásának lépései:
3. Egy dologra egy számnevet mondjunk. 3-4 évesek még tipikusan elkövetik azt a hibát, hogy nem ugyanabban a ritmusban mondják a számneveket, amelyben mutatják a megszámlált dolgokat.
4. Minden dologra mondjunk egy számnevet. Könnyebb a rendezett alakban levő dolgokat megszámlálni, mert jobban tudjuk követni, melyeket számláltuk már meg, így jobban látjuk, hogy mikor vagyunk készen.
5. Az utolsónak kimondott számnév a darabszám.
A számlálás továbbfejlődése:
6. Visszafelé számlálás. (6-7 éves kor között ugrásszerűen fejlődik, lényeges eleme a számfogalomnak, feltétele a műveletvégzésnek. Gyakorolhatjuk játék közben: rakétakilövés, futóverseny indításakor.)
7. Továbbszámlálás. (Két dobókockával dobunk, 5-öt és 2-t. Hiába tudja az 5 éves, hogy az egyik kockán 5 pötty van, a további 2 hozzá vételéhez nem 5-től számlál 2-t, hanem újrakezdi a számlálást 1-től. A 7 éves már továbbszámlál.)
8. Számnevek képzésének rendszere. (Az analógiák felismerése a tízesek után az egyesek sorában.)
9. Számlálás kettesével, ötösével, stb. (Segíthetjük a kettesével, ötösével számlálást, ha színes golyókat fűzünk kötélre megfelelő csoportosításban, és versenyt rendezünk, ki tud gyorsabban adott számú golyót lehúzni.
Figyeljük meg, hogy a számlálásos számfogalom és a természetes számok Peano-féle axiómáinak kapcsolatát. Alapfogalom a
Figyeljünk a szóhasználatra!
Számlálás a számnevek felsorolása. Itt is jó gyakorlat, ha adott számtól kell folytatni a gyermeknek a számlálást növekvő, csökkenő sorrendben, kettesével, ötösével, stb.
Megszámlálás: adott dolgok darabszámának meghatározása.
Leszámlálás: adott darabszámú halmaz előállítása.
Számolás: műveletvégzés számokkal
Kiszámítás: műveletsor eredményének meghatározása.
A számlálás matematikai alapját a természetes számok Peano axiómái jelentik, amely szerint minden természetes számnak van követője, amely a számlálás során a következő természetes szám.
Figyeljünk egyénileg a gyermekekre, ugyanis vannak, akiknek számlálásos, és vannak, akik halmazos számfogalma erősebb. Tudatosan építsük a kapcsolatot a halmazos és a számlálásos számfogalom épülés között, mindenkinél azt erősítve, ahol támogatásra szorul. Jól segítik a kapcsolatok épülését például a társasjátékok, ahol a dobókockával dobott számot kell lelépni a játéktáblán. A gyorsasági játékok motiválják a gyerekeket a darabszám ránézéses felismerésére.
Figyeljünk arra, hogy bár a számlálás is egyfajta közvetítő mondókaként alkalmas a több-kevesebb reláció eldöntésére, hiszen amelyik halmaz esetén tovább jutunk a számlálásban, annak az elemszáma nagyobb, mégis igyekezzünk a darabszámok összehasonlítását ránézésre, párba állítással végezni a halmazos szemlélet erősítésére.
A több-kevesebb kapcsolat gyors felismerésére hasznos társasjáték a Gloobz, amelyben kártyákon szörnyek vannak, amelyek lehetnek pirosak, kékek és sárgák, kúp, gömb vagy henger alakúak. Középre ki van rakva a színeknek megfelelő három festékes vödör, és a formáknak megfelelő három fehér szörny. Minden lap felfordítása előtt a soron következő játékos kimondja, hogy több, vagy kevesebb. Ennek megfelelően kell azokat a színeket és formákat a lehető leggyorsabban elkapni középről, amelyekből a legtöbb vagy legkevesebb van a kártyán. Ha két színből ugyanannyi van, akkor mindkettőt el lehet kapni. A legkevesebbnél a kisebbeknek nehézséget jelent a 0, hiszen előfordulhat, hogy azt a színt kell elkapni, amiből egyet sem látnak a kártyán. A játék a több-kevesebb gyors eldöntése mellett fejleszti a kétféle szempont egyidejű figyelését, a formaállandóságot, gyorsaságot.
4. c. A sorszám.
A természetes szám fogalma alakul sorszámként is. A futóverseny végén az első, második és harmadik helyezett áll a dobogóra, sorakozáskor van első, második, harmadik, stb. pár, megbeszélhetjük, hogy a lépcsőfokokra helyezett tárgyak közül melyik van az első, második, harmadik fokon, elmesélhetjük, hogy mi történt a nyaralás első, második, harmadik, stb. napján.
A következő példák a sorszámnak a darabszámtól eltérő tartalmára mutatnak rá.
Példa:
Egy utcában hat fa áll sorban, a szomszédos fák távolsága egyenlő. Az első és a hatodik fa távolsága
Megoldás:
A rajz segít, hogy ne essünk abba a hibába, hogy automatikusan a feladatban szereplő számokkal végzünk valamiféle műveletet:
Látható, hogy a 6 fa 5 szakaszt határoz meg, így a szomszédos fák közötti távolság a
Példa:
A 11 kocsiból álló vonatnak hátulról hányadik kocsijába szálljunk, ha elölről az 5. kocsiba szól a jegyünk?
Megoldás:
Megint a lejátszás, a rajz segít elkerülni a 11 – 5 = 6 téves választ.
Megszámolhatjuk, hogy az elölről 5. kocsi hátulról a 7.
Gondolkodhatunk úgy is, hogy az 5. kocsi után 11 – 5 = 6 kocsi van, hátulról ezek után következik az 5. kocsi, így ez a 7. lesz.
Nézhetjük azt is, hogy az 5. kocsi előtt 4 kocsi van, így az 5. kocsi hátulról a 11 – 4 = 7.
4. d. A szám megjelenése mérőszámként – mérés
A mennyiségek összehasonlítását végezhetjük úgy, hogy választunk egy egységet, és mérés során megszámoljuk, hogy hány egységgel tudjuk kirakni a mennyiséget. Ez a szám a mérőszám, ami megmutatja, hogy a mennyiség hányszorosa a mértékegységnek. Ez a meghatározás csak addig érvényes, amíg a mérőszám racionális, hiszen az egység törtrészeivel csak addig mérhető meg a mennyiség. A későbbiekben a mennyiségekre vonatkozó axiómák határozzák meg az alakzatok mértékét. A mérték az alakzatok valamely halmazán értelmezett nemnegatív valós értékű függvény, amelyre vonatkozó axiómák fő elemei szemléletesen a következők: az egybevágó alakzatok mértéke egyenlő, és a szétvágás után kapott darabok mértékeinek összege egyenlő az egész mértékével.
A méréssel kapcsolatos fontos tapasztalatok a gyerekek számára a következők:
-Nagyobb mennyiséget több egységgel tudunk kirakni.
-Kétszer akkora mennyiséget kétszer annyi egységgel tudunk kirakni.
-Ha nagyobb egységet választunk, akkor kevesebb egységgel tudjuk kirakni ugyanazt a mennyiséget. Ha kisebb egységet választunk, akkor több egységgel tudjuk kirakni ugyanazt a mennyiséget.
-Ha kétszer akkora egységet választunk, akkor feleannyi egységgel tudjuk kirakni ugyanazt a mennyiséget. Ha feleakkora egységet választunk, akkor kétszer annyi egységgel tudjuk kirakni ugyanazt a mennyiséget.
Ezek alapján a gyermekek tapasztalatot szerezhetek a mérőszám és a mértékegység között fennálló fordított arányosságról, ami a mértékegységváltás egyik fő nehézsége. Célszerű minél több ilyen konkrét tapasztalatot szerezni még a standard egységekkel mérés, a konkrét mennyiségek megjelenése nélküli mértékváltások előtt.
Az egységgel mérés fő lépései a következők:
1. Tapasztalati egységekkel mérés
Tapasztalati egységek a lépés, tyúklépés, amelyekkel játékhoz mérhetünk távolságot, az arasz például az asztal hosszának lemérésére. Tömeget, térfogatot mérnek a mesékben vékával, a receptekben bögrével, kanállal. Területet mérhetünk tenyérrel.
A mérés ekkor nem egységes, hiszen az egységek esetenként eltérhetnek, azonban a fenti tapasztalatszerzésekre kiválóan alkalmasak.
2. Objektív egységekkel mérés
Objektív egységek lehetnek például az építőkockák, a színes rudak, amelyekkel hosszúságot, térfogatot is mérhetünk. Területet mérhetünk különböző mozaik lapokkal, háromszögekkel, rombuszokkal, hatszögekkel, stb. Fontos, hogy különböző dolgokat válasszunk egységnek ugyanannál az eszköznél is, ahhoz, hogy a mérőszám és mértékegység között kapcsolat konkrét tapasztalatokon épüljön. Még 5. osztályban is kell különböző egységekkel méregetni például a téglalap területének kiszámítása előtt ahhoz, hogy a terület ne egy képlet legyen a gyerekek számára.
3. Standard egységekkel mérés
A tanulók fokozatosan megtanulják a különböző mennyiségek általánosan használt egységeit és ezek váltásait. Megkönnyíti a váltásokat, ha mindegyik egységhez jól megjegyezhető tárgyi tartalom kapcsolódik. Gondoljuk el, hogy tudjuk-e például, hogy a konyhai szemetesbe hány literes zsákot kell vásárolni?
Például a hosszúság egységek szemléltethetők a kezünkön, körülbelül 1mm a köröm vastagsága,
Megjegyezzük, hogy a terület egysége az 1 cm2, ami az
Az idő mérésekor fontos megkülönböztetnünk az időpont és az időtartam mérését!
Az egységek kirakását el lehet kerülni, ha skálázott mérőeszközöket használunk, amelyeken be vannak jelölve az egység többszörösei. Ezután a mennyiségeket már az egység többszöröseihez hasonlítjuk. Ilyen skálázott mérőeszköz például az óra számlapja, ami az ötösével számlálást sugallja.
Készíthetünk papírcsíkból mérőszalagot úgy, hogy az egység a rózsaszín rúd, befőttes üvegből mérőhengert, úgy, hogy az egység egy pohár, és méréseket végezhetünk a saját magunk által készített mérőeszközökkel.
Láthatjuk, hogy annál pontosabban tudunk mérni, minél kisebb egységeket választunk. Figyeljük meg, hogy a pontosság a mérés céljától függ, például két város távolságát kilométerben mérjük, a testmagasságot centiméterben, a gépalkatrészeket a milliméter törtrészeiben.
A gyerekek számára fontos a mérések valóságos elvégzése, valamint a mennyiségek becslésének gyakorlása. Például olyan feladattal, hogy rajzoljanak egy szakaszt, amiről azt gondolják, hogy
A számláláshoz hasonlóan lényeges a szóhasználat:
Megmérni egy mennyiséget, azt jelenti, hogy adott egységhez megadjuk a mérőszámot.
Kimérni egy mennyiséget, azt jelenti, hogy adott egységhez és mérőszámhoz megadjuk a mennyiséget.
Általánosan mérésről beszélünk akkor is, amikor két mennyiséget összehasonlítunk, összemérünk.
Megfigyelhettük, hogy a számfogalom tapasztalati alapozása mennyivel gazdagabb a puszta számlálásnál. Különösen fontos a mennyiségek, darabszámok sokféle konkrét megtapasztalása, összehasonlítása számlálás nélkül azoknál a gyermekeknél, akik számolási nehézségekkel küzdenek, diszkalkulia gyanúsak.