5.3. A tizedes törtek tanítása

Van olyan irányzat, amely a tizedes törteket a törtfogalom nélkül, kizárólag a helyiérték-táblázat alapján tanítja. Így a fogalomalkotás nem a megértésen, hanem a formalizmuson alapul, mindenképpen próbáljuk meg elkerülni.

A tizedes törtek bevezetéséhez írjunk fel különböző törteket olyan törtek alakjában, amelyek nevezője 10, 100, 1000, stb., majd írjuk ezeket összeg alakban és helyezzük el a helyiérték-táblázatban!

Ezt a törtet tizedes tört alakba írva 23,451 -et kapunk.

A tizedes törtek összehasonlítása, kerekítése, összeadása, kivonása, szorzása, osztása a helyiérték-táblázat alapján történik. Figyeljünk oda, hogy a tizedes törtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel ne csak a tizedes vessző ide-oda léptetését jelentse, hanem a helyiérték-táblázatban a számjegyek nagyobb-kisebb helyi értékre írását. Különösen jól gyakorolhatók ezek a műveletek a mértékegység váltásnál, valamint a mennyiségekkel számolásnál.

A 0, a₁a₂a₃…a_n… tizedes tört pozitív tagú végtelen sor: 

 amelynek létezik az összege, mert 1-nél nem nagyobb. Így a sor abszolút konvergens, ezért lehet vele műveleteket végezni.

A közönséges törtek tizedes tört alakját megkapjuk, ha a tört számlálóját elosztjuk a nevezőjével.

Például:

ahol a számjegyeken levő pontok, vagy a vonal az ismétlődő szakaszt jelentik. Mivel természetes számmal osztunk, véges sok maradék lehetséges, ezért az osztás során előbb-utóbb megismétlődik egy korábbi maradék, innentől kezdve a hányados számjegyei, és a maradékok is ciklikusan ismétlődnek. A két természetes szám hányadosaként felírható számok tizedes tört alakja ezért szakaszos tizedes tört.

A szám közönséges tört alakjából meg lehet mondani, hogy a tizedes tört alakja milyen lesz.

Ha a közönséges tört nevezőjének prímtényezős felbontásában a 2-n és az 5-ön kívüli prímtényező nem szerepel, akkor a tizedes tört alakja véges tizedes tört, mert 10 hatványra bővíthető a nevező.

Ha a tört nevezőjének prímtényezős felbontásában a 2 és az 5 nem szerepel, de más prímszám igen, akkor a tizedes tört alakja tiszta szakaszos, a szakasz ismétlődésén kívül más számjegy nem szerepel benne.

Ha a tört nevezőjében a 2 vagy az 5 és mellette más prímszám is szerepel, akkor a tizedes tört alakja vegyes szakaszos: .

A végtelen szakaszos tizedes törtek felírhatók közönséges tört alakban.

A végtelen mértani sor összegképlete alapján:

A végtelen szakaszos tizedes tört közönséges tört alakjának megadását szemlélteti a következő példa:

Példa:

Egy csokoládé papírjában egy kupon található, amelyből ha összegyűjtünk 10 darabot, azért kapunk egy újabb csokoládét. Ha egy tábla csokoládé ára 200 Ft, akkor hány tábla csokoládét lehet kapni 200 Ft-ért?

Megoldás:

200 Ft-ért kapunk egy tábla csokoládét, aminek a papírjában levő kupon  csokoládét ér, de az  csokoládéban levő kupon további  csokoládét ér, és így tovább, a 200 Ft így csokoládét ér. 

Másképp: 1800 Ft-ért veszünk 9 darab csokoládét, ebben van 9 darab kupon. Kölcsön kérünk valakitől egy kupont, így van 10 kuponunk, amiért kapunk egy újabb csokoládét, és az ebben levő kupont visszaadjuk annak, akitől kaptunk egy kupont. Így 9 tábla csokoládé árából lett 10 tábla csokoládénk, és már nincs kuponunk, tehát 200 Ft  csokoládét ér. Vagyis= .

A végtelen szakaszos tizedes tört közönséges tört alakját megadhatjuk az alábbi módszerrel:

Példa:

Írjuk fel a közönséges tört alakját!

Megoldás:

Legyen 

Ekkor  (célszerű az A 100-szorosát venni, mert a szakasz két számjegyből áll). A második egyenletből az elsőt kivonva:

, amiből