4.1. Az egész számok bevezetése a permanencia elv alapján

A természetes számok halmazán az összeadás művelete nem invertálható, ezért szükség van a számkör bővítésére. A számkörbővítést, és az új számkörben a műveletek definícióját úgy végezzük el, hogy a természetes számok körében megismert azonosságok érvényben maradjanak. Ezt nevezzük permanencia elvnek.

A természetes számok különbségeként előálló számokat egész számoknak nevezzük. Az előző fejezetben láttuk, hogy ugyanazt a különbséget többféle alakban fel lehet írni:

2 – 5 = 7 – 10 = 0 – 3.

Az előző fejezetben szerepeltek a természetes számokra vonatkozó azonosságok, amelyek szerint különbségek összege is különbség, különbségek szorzata is különbség. Ezekben az azonosságokban elhagyva azt a kikötést, hogy a különbségekben a kisebbítendő nagyobb a kivonandónál, a permanencia elv alapján definiálható az egész számok összege és szorzata.

(m – n) + (k – l) = (m + k) – (n + l)

(m – n)(k – l) = (mk + nl) – (ml + nk)

Belátható, hogy a különbségek egyenlősége reláció az összegre és a szorzásra nézve is kongruencia reláció, azaz a műveletek eredményét nem befolyásolja, hogy az egymással egyenlő különbségek közül melyikkel végezzük a műveletet. A különbségek közül válasszuk azt, ahol a kisebbítendő és a kivonandó közül legalább az egyik 0. Definíció szerint az a – 0 alakú különbségek a pozitív egész számok ahol a 0-tól különböző természetes szám, a 0 – a alakú számok a negatív egész számok, ahol a 0-tól különböző természetes szám, a 0 egész szám pedig se nem pozitív, se nem negatív.

A 0 – a különbségnek megfelelő számot (a egész szám) – a-val jelöljük, és az a szám ellentettjének nevezzük. A −a az a inverze az összeadásra nézve, mert a + (0 – a) = 0.

0 – (0 – a) = a, azaz −(−a) = a.

A negatív számokkal végzendő műveletek közül a negatív szám kivonását és a negatív számok szorzását mutatjuk meg.

A különbség kivonására vonatkozó m – (n – k) = (m – n) + k azonossággal indokolható, hogy negatív számot úgy vonunk ki, hogy az ellentettjét hozzáadjuk a kisebbítendőhöz.

Negatív számok szorzata pozitív, ugyanis m, n természetes számokra (0 – m)(0 – n) = (0 + mn) – (0n + m0) = mn.

Természetesen 5-6. osztályban nem így magyarázzuk az egész számok bevezetését, és a velük végzendő műveleteket.