5.1. Az tört számok bevezetése a permanencia elv alapján

A természetes számok halmazán a szorzás művelete nem invertálható, ezért szükség van a számkör bővítésére. A permanencia elv értelmében a számkörbővítést úgy végezzük el, hogy az új számkörben a természetes számok körében megismert azonosságok érvényben maradjanak.

A természetes számok hányadosaként előálló számokat (pozitív) tört számoknak nevezzük (az osztó nem 0). A 3. fejezetben láttuk, hogy ugyanazt a hányadost többféle alakban fel lehet írni:

30 : 5 = (30 · 3) : (5 · 3) = (30 · 6) : (5 · 6).

A 3. fejezetben szerepeltek a természetes számokra vonatkozó azonosságok, amelyek szerint hányadosok összege is hányados, hányadosok szorzata is hányados. Ezekben az azonosságokban elhagyva azt a kikötést, hogy a hányadosokban az osztandó többszöröse az osztónak, a permanencia elv alapján definiálható a tört számok összege és szorzata.

Minden m, n és k,l ≠0 természetes számra

(m : k) + (n : k) = (m + n) : k, ha az osztó azonos, és

(m : k) + (n : l) = (ml + nk) : kl, ha az osztó nem azonos.

(m : k)(n : l) = (mn) : (kl).

Belátható, hogy a hányadosok egyenlősége reláció az összegre és a szorzásra nézve is kongruencia reláció, azaz a műveletek eredményét nem befolyásolja, hogy az egymással egyenlő hányadosok közül melyikkel végezzük a műveletet.